2009年山东专升本高等数学统考真题

答案：A

原式为 $1+(-1)^n/n$。因 $|(-1)^n/n|=1/n\to0$，故极限为 $1$，选 A。有界振荡项除以趋于无穷大的正数后趋于零。

答案：D

左极限 $\lim_{x\to0^-}(x-1)=-1$，右极限 $\lim_{x\to0^+}(x+1)=1$。两者不同，所以双侧极限不存在，与单点函数值 $f(0)=0$ 无关。选 D。

答案：B

原式在 $x=\pi/2$ 无定义。但在其附近可写成 $x\cos x/\sin x$，极限为 $(\pi/2)\cdot0/1=0$，左右相同且有限。补定义该点函数值为 $0$ 即连续，所以是可去间断点，选 B。

答案：C

驻点的定义就是导数为零的点，所以必为驻点。导数为零并不保证极值，例如 $x^3$ 在零点导数为零但没有极值；也不一定是拐点，例如 $x^2$ 在零点没有凹凸改变。选 C。

答案：A

不定积分表示原函数族 $F(x)+C$，求导后为 $F'(x)=f(x)$，所以 A 正确。若求微分，应为 $d[\int f(x)dx]=f(x)dx$，B、D 都缺 $dx$。C 将大写 $F$ 与小写 $f$ 混用，且没有积分常数；一般应为 $\int F'(x)dx=F(x)+C$。

答案：A

直线方向向量为 $v=(-2,-7,3)$，平面法向量为 $n=(4,-2,-2)$，点积 $v\cdot n=-8+14-6=0$，所以直线方向平行于平面。再取直线上点 $(-3,-4,0)$ 代入平面，得 $-12+8-3=-7\ne0$，它不在平面内。因此直线与平面平行，选 A。

答案：A

可微一定能沿两个坐标方向求导，所以偏导存在是必要条件。但偏导存在不保证可微，例如 $f(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$（原点补为零），在原点两个偏导均为零，而沿 $y=x$ 的函数值为 $|x|/\sqrt2$，不是比距离更高阶的无穷小，故不可微。因此选 A。

答案：B

在 $x\to+\infty$ 时，令 $t=1/x\to0^+$，有 $x\sin(1/x)=\sin t/t\to1$，故水平渐近线为 $y=1$。在定义域的有限边界 $x\to0^+$，由 $|x\sin(1/x)|\le x$ 得极限为零，不会趋于无穷；其他正点连续，故没有铅直渐近线。选 B。

答案：C

系数 $a_n=[3+(-1)^n]/3^n$ 的分子只取 $2$ 或 $4$，所以 $\sqrt[n]{|a_n|}=[3+(-1)^n]^{1/n}/3\to1/3$。根值公式给出 $R=1/(1/3)=3$，选 C。直接对原系数作相邻比值会振荡，根值法更稳妥。

$0<\ln2<1$，所以先用分段函数第一段得 $f(\ln2)=1$。再代入外层指数函数，$g(1)=e$。

从原点出发的两个向量为 $(1,0,1)$、$(2,1,0)$，叉积为 $(-1,2,1)$。它可作平面法向量，经过原点的方程为 $-x+2y+z=0$，等价于 $x-2y-z=0$。代入另外两点均为零。

求导 $f'(x)=[x\cos x-\sin x]/x^2$。令 $H(x)=\sin x-x\cos x$，则 $H(0)=0$，在 $(0,\pi/2]$ 内 $H'(x)=x\sin x>0$，所以 $H(x)>0$。因此 $f'(x)=-H(x)/x^2<0$，在所给区间严格递减。只比较两个端点值不足以证明整个区间单调，必须检查导数符号。

取趋于零的两列正数，使 $1/x_n=\pi/2+2n\pi$、$1/y_n=3\pi/2+2n\pi$，函数值分别恒为 $1$ 与 $-1$。所以连右极限都不存在，属于第二类间断点。它是有界振荡，而非无穷间断。

先得 $f'(u)=-e^{-u}$，故 $f'(\ln x)=-1/x$。被积函数为 $-1/x^2$，积分为 $1/x+C$。对数要求 $x>0$。

在变上限积分基本定理适用处，两边对 $x$ 求导，左端为 $f(x)$，右端为 $2x+1/x$，所以得答案。代回积分，从 $1$ 积到 $x$ 为 $[t^2+\ln t]_1^x=x^2+\ln x-1$，吻合原等式。

平方后用数量积：$|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2|a||b|\cos(\pi/3)=4+9+2\cdot2\cdot3\cdot1/2=19$。模非负，所以 $|a+b|=\sqrt{19}$。

导数为 $f'(x)=6(x-1)(x-2)$。闭区间最大值要比较内部驻点和端点：$f(0)=1$、$f(1)=6$、$f(2)=5$。最大的是 $f(1)$，所以最大值点为 $x=1$。

指数曲线与水平线在 $x=1$ 相交，$y$ 轴为 $x=0$。在 $[0,1]$ 上上界为 $e$，下界为 $e^x$，故面积 $S=\int_0^1(e-e^x)dx=[ex-e^x]_0^1=1$。

在 $x>0$ 上方程为 $y'=2y/x$，分离后积分得 $y=Cx^2$（也包含零解）。由 $y(1)=2$ 得 $C=2$。代回原方程，$xy'=x(4x)=4x^2=2y$，满足。

因 $1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$，通分得 $(x^2+x-2)/(1-x^3)$。分子为 $(x-1)(x+2)$，分母为 $-(x-1)(x^2+x+1)$，在 $x\ne1$ 约去后为 $-(x+2)/(x^2+x+1)$，极限 $=-3/3=-1$。

分子分母为 $0/0$ 型，洛必达一次得 $(e^x+e^{-x})/\cos x$，极限为 $(1+1)/1=2$。也可用指数函数在零点的一阶展开验证。

先对外层正弦求导，保留内层，再乘内层导数。内层 $u=2x/(1+x^2)$，商法则给 $u'=[2(1+x^2)-4x^2]/(1+x^2)^2=(2-2x^2)/(1+x^2)^2$。因此 $y'=\cos u\cdot u'$，即答案。

取 $u=\ln x$、$dv=x^{-1/2}dx$，则 $du=dx/x$、$v=2\sqrt x$。分部积分得 $2\sqrt x\ln x-\int2x^{-1/2}dx=2\sqrt x\ln x-4\sqrt x+C$。求导时两个不含对数的项相消，回到原被积函数。

分子分母同时乘 $e^x$，得到 $\int_0^1e^x/(1+e^{2x})dx$。令 $t=e^x$，则 $dt=e^xdx$，上下限为 $1,e$。积分为 $\int_1^e dt/(1+t^2)=[\arctan t]_1^e=\arctan e-\pi/4$。

固定 $y$ 对 $x$ 求偏导，$w_x=1$；固定 $x$ 对 $y$ 求偏导，$w_y=\frac12\cos(y/2)+e^y$，其中 $1/2$ 来自内层 $y/2$ 的导数。函数处处可微，故 $dw=w_xdx+w_ydy$。

当 $y\ne0$ 时，分离为 $dy/y=2xdx$，积分得 $\ln|y|=x^2+C_0$，即 $y=Ce^{x^2}$。分离时暂除去的零解可由 $C=0$ 纳入，因此 $C$ 可为任意实数。求导得 $y'=2xCe^{x^2}=2xy$。

所求平面包含方向向量 $v=M_2-M_1=(1,6,1)$，其法向量还应与已知平面法向量 $n_1=(1,-8,3)$ 垂直。可取 $v\times n_1=(26,-2,-14)$，化简为 $(13,-1,-7)$。过 $M_1$ 的点法式为 $13(x-3)-(y+5)-7(z-1)=0$，整理得到答案。代入 $M_2$ 也为零，且法向量点积 $13+8-21=0$，验证垂直。

将两条边界都写成 $x$ 关于 $y$ 的式子：$x=y^2$、$x=y+2$。交点满足 $y^2=y+2$，所以 $y=-1,2$。在 $[-1,2]$ 内左界为 $y^2$、右界为 $y+2$。积分为

$$\int_{-1}^2dy\int_{y^2}^{y+2}xy\,dx=\frac12\int_{-1}^2y[(y+2)^2-y^4]dy.$$

展开并积分得 $[y^4/8+2y^3/3+y^2-y^6/12]_{-1}^2=45/8$。下半部分有负贡献，应保留 $y$ 的符号，不能把积分当面积。

通项绝对值之比趋于 $|x|$，所以 $|x|<1$ 绝对收敛，$|x|>1$ 发散，收敛半径为 $1$。端点需另查：$x=-1$ 时各项为 $-1/n$，发散；$x=1$ 时为交错调和级数，按莱布尼茨判别法收敛。因此收敛域 $(-1,1]$。

设垂直于旧墙的两边各长 $x>0$，则沿墙边长为 $512/x$。需新砌的总长 $L(x)=2x+512/x$。求导 $L'=2-512/x^2$，得唯一驻点 $x=16$。当 $x<16$ 时导数负、$x>16$ 时导数正，故它是全局最小点。沿墙边长 $512/16=32$，总新墙长 $2\times16+32=64$ 米。利用旧墙的一侧不计入材料。

令 $F(x)=x^a-ax-(1-a)$。$F(1)=0$，且 $F'(x)=a(x^{a-1}-1)$。由于 $a-1<0$，在 $0<x<1$ 时 $x^{a-1}>1$，所以 $F'>0$；在 $x>1$ 时 $x^{a-1}<1$，所以 $F'<0$。因此 $F$ 在 $x=1$ 取得唯一最大值 $0$，即 $F(x)\le0$，等号只在 $x=1$。

暂无。扫描缺少 f 在 x₀ 处可导的条件，无法确定单选答案。