2013年山东专升本高等数学统考真题

答案：A

在 $(-1,0)$ 上可约成 $-1/[(x-1)(x-2)^2]$，分母的绝对值至少为 $4$，因此绝对值不超过 $1/4$，有界。B 靠近 $1$，C 靠近 $1$ 或 $2$，D 靠近 $2$ 时分母趋零而约分后的分子非零，均无界。故选 A。

答案：D

导数 $y^{\prime}=2x-2$。当 $x<1$ 时为负，函数递减；当 $x>1$ 时为正，函数递增。所以选 D。

答案：D

自变量出现在积分下限，求导须取负号，再乘下限导数 $2x$，因此结果为 $-f(x^2)\cdot2x=-2xf(x^2)$，选 D。

答案：B

方程中最高阶导数是 $y^{\prime\prime}$，即二阶。五次方和三次方只是导数的幂次，不改变阶数，所以选 B。

由 $f(x+2)=f(x)$，两边对 $x$ 求导，得到 $f^{\prime}(x+2)=f^{\prime}(x)$，所以 $2$ 也是导函数的周期。题设未强调最小正周期，这里也不额外宣称最小性。

四次根要求 $x\ge0$，故在实数定义域内从右侧趋零。分子提出 $x^{1/4}$，得 $x^{1/4-k}(1+x^{1/12})$。括号趋于 $1$，要有有限非零极限，幂次必须为零，即 $k=1/4$，此时 $A=1$。

求导得 $xf(x)=x$，所以当 $x\ne0$ 时 $f(x)=1$，所求积分为 $x+C$。若还要求 $f$ 在零点连续，也有 $f(0)=1$；仅由加权等式不能单独确定孤立点 $f(0)$，通常原函数结论在相应区间上使用。

对 $y$ 求偏导得 $z_y=6x+3y^2$，代入 $x=1,y=2$ 得 $6+12=18$。注意本题求 $y$ 偏导，不能误用 $x$ 偏导。

逐项求导不会改变幂级数的收敛半径，故导级数在幂变量 $u=x-1$ 的开区间 $(-2,2)$ 内收敛。解 $|x-1|<2$ 得 $-1<x<3$。零次项求导为零，通常导级数从 $n=1$ 起写；题面从 $n=0$ 起的零项不产生实际贡献。端点需另行判断。

通分得 $(x^2-\sin^2x)/(x^2\sin^2x)$。由 $\sin x=x-x^3/6+O(x^5)$，平方为 $x^2-x^4/3+O(x^6)$，所以分子为 $x^4/3+O(x^6)$，分母与 $x^4$ 等价。比值极限为 $1/3$。必须先消去主项，不能把两项分别取极限相减。

$e$ 和 $a$ 都是常数。$x^e$ 按幂函数规则导为 $ex^{e-1}$，$e^x$ 导数仍为 $e^x$；$x^x$ 在 $x>0$ 时写为 $e^{x\ln x}$，导数为 $x^x(\ln x+1)$。最后 $a^{2a}$ 与 $x$ 无关，导数为零。各项相加即得结果。

当 $x\to\pm\infty$，分式 $2x/(x-1)^2\to0$，所以水平渐近线为 $y=1$。当 $x\to1$，分式分子趋于 $2$、分母以正值趋零，函数趋正无穷，所以垂直渐近线为 $x=1$。

实数被积式要求 $|x|<1$。可令 $x=\sin t$，取 $t\in(-\pi/2,\pi/2)$ 使 $\cos t>0$，于是积分为 $\int\sec^2t\,dt=\tan t+C$，还原为 $x/\sqrt{1-x^2}+C$。也可直接求导验证该原函数。

水平切片范围为 $0\le y\le1,0\le x\le y$。先对 $x$ 积分得 $\int_0^12y^3e^{1-y^2}dy$。令 $u=y^2$，$du=2ydy$，变为 $\int_0^1u e^{1-u}du$。分部积分或用原函数 $-(u+1)e^{1-u}$，代上下限得 $e-2$。

直接积分得 $f(x)=\ln(1+x)-\ln2$。于是差为 $\ln(1+x)-\ln(1+1/x)=\ln[(1+x)/(1+1/x)]=\ln x$，其中 $x>0$ 保证各对数有定义。

特征方程 $r^2-2r+1=(r-1)^2=0$，有二重根 $r=1$。两个线性无关解为 $e^x$、$xe^x$，所以通解为 $(C_1+C_2x)e^x$。

令 $G(x)=\int_0^{2x}e^{t^2}dt$。对 $G(-x)$ 换元 $t=-u$，得到 $G(-x)=-\int_0^{2x}e^{u^2}du=-G(x)$，所以 $G$ 是奇函数。另一个因子 $xe^{x^2}$ 也是奇函数，故 $f(-x)=(-xe^{x^2})(-G(x))=f(x)$，为偶函数。全实轴内积分与指数均有定义。

目标可改写为 $\xi f^{\prime}(\xi)-2f(\xi)=0$，这正是 $f(x)/x^2$ 求导后的分子。令 $F(x)=f(x)/x^2$，因区间不含零，它在闭区间连续、开区间可导。$F(2)=1/4,F(4)=4/16=1/4$，由罗尔定理存在内部点 $\xi$ 使 $F^{\prime}(\xi)=[\xi f^{\prime}(\xi)-2f(\xi)]/\xi^3=0$。整理即得结论。

第一条交线的方向向量为两平面法向量叉积 $(2,-4,1)\times(1,3,0)=(-3,1,10)$。第二条方向为 $(4,-1,2)$。与两方向都正交，可取叉积 $(-3,1,10)\times(4,-1,2)=(12,46,-1)$。再过指定点写出 $\frac{x+1}{12}=\frac{y+4}{46}=\frac{z-3}{-1}$。按空间直线夹角为直角的方向条件理解垂直。

两曲线在 $(0,0),(1,1)$ 相交，区域位于第一象限，竖直切片为 $0\le x\le1,x^2\le y\le\sqrt x$。积分为 $\int_0^1[x(\sqrt x-x^2)+(x-x^4)/2]dx$。逐项积分得 $2/5-1/4+1/4-1/10=3/10$。也可利用区域关于 $y=x$ 对称，将 $x$ 和 $y$ 的积分相加。

暂无。扫描中A、B两项等价且同时成立，无法确定唯一答案。