2016年山东专升本高等数学统考真题

答案：C

分母的根式须有定义且不为零，所以 $|x|-1>0$，即 $x<-1$ 或 $x>1$。反正弦要求 $-1\le x-1\le1$，即 $0\le x\le2$。两条件取交集，得到 $(1,2]$，故选 C。

答案：B

各分支在自己的区间内连续，只需检查 $x=0$。左极限为 $1$，右极限与函数值均为 $a$，因此连续当且仅当 $a=1$，选 B。

答案：D

极大值定义只保证附近 $f(x)\le f(x_0)$，并不保证同一侧任意两点的函数值具有固定大小关系。即使函数连续，也可能在零点附近振荡并保持低于峰值，例如 $f(0)=0$、$f(x)=-x^2[2+\sin(1/x)]$（$x\ne0$）。所以不能据此确定左右单调性，选 D。

答案：D

对变上限积分求导得到被积函数在上限处的值，再乘上限导数。本题变量位于下限，故要加负号：$\frac d{dx}\int_{2x}^{-1}f(t)dt=-f(2x)\cdot2=-2f(2x)$，选 D。

答案：A

两次求导有 $y^{\prime\prime}=-c_1\cos x-c_2\sin x=-y$，所以满足 A。对应特征根为 $\pm i$，两个三角解线性无关，任意两常数组合构成通解，选 A。

两项的最小正周期分别为 $4\pi$、$6\pi$。要使两个不同频率的分量同时重复，需 $T/(4\pi)$、$T/(6\pi)$ 都为整数，最小正解为 $12\pi$。所以最小正周期为 $12\pi$，其正整数倍也是周期。

在 $x>0$ 时，$2\ln x=\ln x^2$，括号等于 $\ln(1+1/x^2)$。令 $u=1/x^2\to0^+$，原式为 $\ln(1+u)/u\to1$。先合并对数可避免无穷大相减。

由于 $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)=F(x)$，有 $(f-g)^{\prime}=0$，故二者在共同区间上相差常数。用零点值确定该常数为 $5-2=3$。

对 $x$ 求偏导时将 $y$ 当常数，所以 $z_x=3x^2+6y$。代入 $(1,2)$ 得 $3+12=15$。

通项为正，且 $\frac{\sin(1/n)}{1/n}=n\sin(1/n)\to1$。由正项级数极限比较法，原级数与 $\sum1/n$ 同敛散。调和级数发散，所以原级数发散。通项趋零只是收敛的必要条件，不能据此判断收敛。

利用 $\sin x\sim x$，分母与 $x^2$ 等价。再由 $x-\sin x=x^3/6+O(x^5)$，比值为 $x/6+O(x^3)\to0$。也可对 $(x-\sin x)/x^2$ 用洛必达法则得相同结论。

对通常的实数幂表达式，在 $x>0,a>0$ 时求导。第一项写为 $e^{x^2\ln x}$，其导数为 $x^{x^2}(2x\ln x+x)=x^{x^2+1}(2\ln x+1)$。第二项按链式法则为 $e^{\sin x}\cos x$。第三项先对外层对数求导，再乘 $a^{x^2}$ 的导数 $2xa^{x^2}\ln a$，得到所列分式。若另允许参数 $a=0$，在 $x>0$ 时第三项恒为零，导数也为零，不能直接使用含 $\ln a$ 的形式。

当 $x\to\pm\infty$，同除 $x$ 得极限 $2/3$，故水平渐近线为 $y=2/3$。分母在 $x=-2/3$ 为零而分子为 $-1/3\ne0$，函数绝对值趋于无穷，因此垂直渐近线为 $x=-2/3$。

对已知原函数等式求导，得 $xf(x)=1/\sqrt{1-x^2}$。因此在相应区间 $1/f(x)=x\sqrt{1-x^2}$。令 $u=1-x^2$，$du=-2xdx$，得到 $I=-\frac12\int u^{1/2}du=-\frac13u^{3/2}+C$。原关系不能在含零点的区间以有限 $f(0)$ 成立，求解取不跨越零点且位于 $(-1,1)$ 的区间。

固定 $x$ 观察区域，左端 $x=1/2$，右端 $x=1$；上下曲线分别为 $y=x^2$、$y=x$。换序为 $I=\int_{1/2}^1dx\int_{x^2}^xe^{y/x}dy$。内层积分对 $y$ 易算，等于 $x[e^{y/x}]_{x^2}^x=x(e-e^x)$。所以 $I=e[x^2/2]_{1/2}^1-[(x-1)e^x]_{1/2}^1=3e/8-\sqrt e/2$。

相邻通项绝对值之比为 $|x|/(n+1)\to0$，对每个固定实数 $x$ 都小于 $1$，因此级数在全实轴绝对收敛，收敛半径为无穷，收敛区间为 $(-\infty,+\infty)$。

展开为 $x^2dx-y\,dx-x\,dy+y\,dy=0$。利用 $d(xy)=y\,dx+x\,dy$，可合成 $d(x^3/3-xy+y^2/2)=0$，所以通解为 $x^3/3-xy+y^2/2=C$。直接微分该隐式方程可还原原式。

由于 $\sqrt{x^2+1}>|x|$，对所有实数 $x$，对数真数都为正，定义域是关于零对称的全实轴。又 $(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)=1$，所以 $f(-x)=\ln(\sqrt{x^2+1}-x)=\ln[1/(\sqrt{x^2+1}+x)]=-f(x)$。因此函数为奇函数。

由连续函数积分中值定理，存在 $\eta\in[1/2,1]$，使 $\int_{1/2}^1f(x)dx=(1/2)f(\eta)$。结合题设得 $f(\eta)=f(0)$。因为 $\eta\ge1/2>0$，可在 $[0,\eta]$ 用罗尔定理，得到 $\xi\in(0,\eta)\subset(0,1)$，使 $f^{\prime}(\xi)=0$。允许积分中值点在端点并不影响最后的开区间结论。

将另一条边 $\boldsymbol\beta$ 分解为沿底边 $\boldsymbol a$ 的投影与垂直分量。设沿底边投影为 $\lambda\boldsymbol a$，则高线向量 $\boldsymbol h=\boldsymbol\beta-\lambda\boldsymbol a$。由 $\boldsymbol h\cdot\boldsymbol a=0$ 得 $\lambda=(\boldsymbol\beta\cdot\boldsymbol a)/|\boldsymbol a|^2$，代回得到答案。高线由投影脚指向 $\boldsymbol\beta$ 终点；取反向也表示同一高线的反向向量。真正平行四边形须两边非共线。

两曲线在 $x=\pi/4$ 相交。$[0,\pi/4]$ 上余弦在上，$[\pi/4,\pi/2]$ 上正弦在上。因此面积为 $\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x-\cos x)dx$，两段都等于 $\sqrt2-1$，总和为 $2(\sqrt2-1)$。直接相减积分会使两块有向面积抵消。