2012年山东专升本高等数学统考真题

答案：D

根号要求 $x\ge-1$。分母在 $x<0$ 时为 $-1$，不为零；在 $x\ge0$ 时为 $2x-1$，所以只需排除 $x=1/2$。综合为 $[-1,1/2)\cup(1/2,+\infty)$，选 D。

答案：A

同一函数要求定义域相同、对每个输入的输出也相同，自变量字母可不同。A 完全符合。B 的第一个函数排除 $2$，第二个不排除；C 的第一个要求 $x\ge1$，第二个还允许 $x\le0$；D 只在 $[0,3]$ 上等于 $3$，在该区间外不相同。所以选 A。

答案：C

定义域排除 $\pi/2+k\pi$，关于原点对称；又 $(-x)\tan(-x)=x\tan x$，所以为偶函数。它在正切极点附近无界；整个定义域也不单调，乘上非周期的 $x$ 后不保留正切的周期性。选 C。

答案：B

交线方向为两平面法向量叉积：$(1,3,2)\times(2,-1,-10)=(-28,14,-7)=-7(4,-2,1)$。第三平面的法向量恰为 $(4,-2,1)$，与直线方向平行，所以直线垂直于平面，选 B。

答案：D

原级数收敛，去掉第一项后的移位级数 $\sum a_{n+1}$ 也收敛，二者相加除以 $2$ 仍收敛，所以 D 必成立。A、B 可用 $a_n=(-1)^n/n$ 反驳。C 取 $a_n=(-1)^n/\sqrt n$，原级数交错收敛，但 $a_na_{n+1}=-1/\sqrt{n(n+1)}$ 与 $-1/n$ 同阶，级数发散。

输入负数、零、正数时，输出分别为 $-1,0,1$，三种数都能取到，且不可能有其他输出。故值域是三个离散数构成的集合，而不是区间 $[-1,1]$。

代入得 $f[f(x)]=\frac{x/\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2/(x^2+1)+1}}$。内根号化为 $(2x^2+1)/(x^2+1)$，且各分母平方根均为正，约去 $\sqrt{x^2+1}$ 得 $x/\sqrt{2x^2+1}$，对全部实数 $x$ 成立。

实数幂按正底数定义，在零点附近要求 $1+1/x>0$，所以只存在右侧定义域。取对数得 $x\ln(1+1/x)$。令 $t=1/x\to+\infty$，它变为 $\ln(1+t)/t\to0$，可用洛必达法则得 $1/(1+t)\to0$。故原式趋于 $e^0=1$。不能套用 $x\to\infty$ 时同一式子的极限 $e$。

定义域为 $x>0$ 或 $x<-1/2$。当 $x\to-1/2^-$ 时，$2+1/x\to0^+$，对数趋于负无穷，而 $x$ 趋于负常数，所以函数趋于正无穷，铅直渐近线为 $x=-1/2$。当 $x\to0^+$，$x\ln(2+1/x)\to0$，这里不是铅直渐近线。

当 $x\to\pm\infty$ 时，$y/x\to\ln2$，且 $y-x\ln2=x\ln[1+1/(2x)]\to1/2$，故斜渐近线为 $y=x\ln2+1/2$。没有有限水平极限。

本地答案页把 $x=-1/2$ 误称水平渐近线，并使用不在定义域内的右侧趋近；这里按定义域从左侧求极限，得到铅直渐近线。该答案订正仍待人工复核。

在 $x=2$ 指数中的分母为零；在其余点，外分母为零等价于 $x/(x-2)=0$，即 $x=0$。其他点初等函数复合连续。$x\to0$ 时外分母趋零且造成无穷发散；$x\to2^-$ 时指数趋于负无穷，函数趋于 $-1$，$x\to2^+$ 时趋于 $0$，两侧不同，所以这两点均间断。

复合等式就是 $\sin\varphi(x)=1-x^2$。正弦值必须介于 $-1,1$，故 $-1\le1-x^2\le1$，即 $|x|\le\sqrt2$。设 $\alpha=\arcsin(1-x^2)$ 取主值，则正弦同值的全部角为 $2k\pi+\alpha$ 或 $2k\pi+\pi-\alpha$。未给出 $\varphi$ 的值域或连续性，不能只保留主值一支；逐点选择时整数也可以随 $x$ 改变。

分子是公比 $1/2011$ 的等比和，其极限为 $(1/2011)/(1-1/2011)=1/2010$。分母类似，极限为 $1/2011\ne0$。因此比值极限为 $(1/2010)/(1/2011)=2011/2010$。分母不为零，才可直接将两个和的极限相除。

本地答案页的等比求和中间项/分母有误写；这里分别按题面公比 $1/2011$ 与 $1/2012$ 求和，最终比值为 $2011/2010$。该答案订正仍待人工复核。

乘积为 $e^{1+2+\cdots+n}$，取自然对数得 $n(n+1)/2$。再除以 $n^2$，为 $(1+1/n)/2\to1/2$。先取对数把乘积化成和，可避免直接处理巨大乘积。

当 $x\to1^-$，$1/(x-1)\to-\infty$，指数函数趋于 $0$；当 $x\to1^+$，指数趋于正无穷，所以函数趋于 $+\infty$。两侧不同，双侧极限不存在，不能只根据一侧写成无穷大。

对充分大的 $|x|$ 取对数，指数为 $x\ln[1+2a/(x-a)]\to2a$，所以原极限是 $e^{2a}$。与 $e$ 相等，利用实指数函数单射性得 $2a=1$，故 $a=1/2$。若 $a=0$，极限为 $1$，不满足条件。

定义域由 $1+ax>0$ 得 $x>-1/a$。一阶导为 $y'=a/(1+ax)$。再求导时外层倒数导数给负号，内层 $1+ax$ 再给一个 $a$，故 $y''=-a\cdot a/(1+ax)^2=-a^2/(1+ax)^2$。参数虽是常数，链式法则的系数仍须保留。

本地答案页的二阶导数漏了一个链式法则系数 $a$；这里由 $y\prime=a/(1+ax)$ 再求导，得到 $-a^2/(1+ax)^2$。该答案订正仍待人工复核。

先求 $dx/dt=2t/(1+t^2)$，$dy/dt=1/(1+t^2)$，所以在 $t\ne0$ 时 $dy/dx=1/(2t)$。二阶导应再对 $x$ 求导，即用 $(d/dt)(dy/dx)$ 除以 $dx/dt$：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-1/(2t^2)}{2t/(1+t^2)}=-\frac{1+t^2}{4t^3}.$$

只对 $1/(2t)$ 求一次 $t$ 导数还不是所求二阶 $x$ 导数。$t=0$ 处参数横坐标导数为零，公式不适用。

原关系中 $x>0$，令 $t=\ln x$，则 $x=e^t$ 且 $t$ 遍历全部实数。关系变为 $f'(t)=1+e^t$，积分得 $f(t)=t+e^t+C$。将哑变量 $t$ 改名为 $x$，得到所求函数。不能直接对原等式把 $\ln x$ 当成 $x$ 积分。

先固定 $y$ 对 $x$ 求导，得 $u_x=e^{x/y}/y$。再对 $y$ 求导，使用乘积法则：$u_{xy}=(-1/y^2)e^{x/y}+(1/y)e^{x/y}(-x/y^2)=-e^{x/y}(x+y)/y^3$。定义域必须排除 $y=0$。

在 $x<0$ 时，$|x|>0$ 而 $x^3<0$，两曲线不再相交；全部交点为 $(0,0)$、$(1,1)$，唯一有界闭区域在 $0\le x\le1$、$x^3\le y\le x$。先对 $y$ 积分，得 $I=\int_0^1(x-x^3)e^{x^2}dx$。令 $t=x^2$，则 $I=\frac12\int_0^1(1-t)e^tdt=\frac12[(2-t)e^t]_0^1=e/2-1$。

先用平方差有理化，分子变成两和之差 $n$，分母为 $\sqrt{n(n+1)/2}+\sqrt{n(n-1)/2}$。分子分母同除以 $n$，得到 $1/[\sqrt{(1+1/n)/2}+\sqrt{(1-1/n)/2}]$，极限为 $1/\sqrt2=\sqrt2/2$。

设切点为 $(a,a^2)$，其中 $a>0$。切线 $y=2ax-a^2$，写成 $x=(y+a^2)/(2a)$。对 $0\le y\le a^2$ 的水平截线，左边界为抛物线 $x=\sqrt y$，右边界为切线，所以

$$S=\int_0^{a^2}\left[\frac{y+a^2}{2a}-\sqrt y\right]dy=\frac{a^3}4+\frac{a^3}2-\frac{2a^3}3=\frac{a^3}{12}.$$

令 $S=1/12$ 得 $a^3=1$，由 $a>0$ 得 $a=1$，所求点 $(1,1)$。

原方程要求 $x\ne0$、$|y|\le|x|$。令 $u=y/x$，则 $y=ux$、$y'=u+xu'$。必须保留根号 $\sqrt{x^2-y^2}=|x|\sqrt{1-u^2}$，所以

$$xu'=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{1-u^2}.$$

在内部 $|u|<1$，分离积分得 $\arcsin u=\operatorname{sgn}(x)\ln|x|+C$，在不跨 $x=0$ 且右端落在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 的区间成立。具体是 $x>0$ 取正号，$x<0$ 取负号，不能任意搭配。

分离时除去的 $\sqrt{1-u^2}=0$ 还给出 $u=\pm1$，即 $y=\pm x$。直接代回原方程，根号为零，斜率分别为 $\pm1$，均满足。若考察全部解曲线，还可在满足连续可微的边界接点将内部支与相应边界直线段拼接；单一反正弦隐式式子不涵盖这些边界延续。

本地答案页分离变量时未保留根号中的 $|x|$ 所产生的符号，并遗漏除去的边界情形 $y=\pm x$；这里按 $x>0$、$x<0$ 分域求解，并单独代回边界解。该答案订正仍待人工复核。

设切点为 $(a,1/a)$，$a\ne0$。写成 $y=1/x$，切线斜率为 $-1/a^2$，切线方程 $y-1/a=-(x-a)/a^2$。令 $y=0$ 得横截距 $2a$，令 $x=0$ 得纵截距 $2/a$。不论 $a$ 正负，三角形两直角边的长度分别为 $|2a|$、$|2/a|$，所以面积 $S=\frac12|2a||2/a|=2$，与切点无关。面积计算要用截距的绝对值，才能覆盖第三象限分支。