1992年考研数学二真题

答案： $3$。

思路： 参数导数之比给出 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$，复合的 $f$ 还需乘内层导数。

详细解答：

1. 对参数 $t$ 求导：

   $$x'(t)=f'(t),\qquad y'(t)=3\mathrm{e}^{3t}f'(\mathrm{e}^{3t}-1).$$

2. 在 $t=0$ 处，$x'(0)=f'(0)\ne0$，可以使用参数求导公式。因为 $\mathrm{e}^0-1=0$，

   $$\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{t=0} =\frac{3f'(0)}{f'(0)}=3.$$

答案： $\dfrac\pi6+\sqrt3$。

思路： 闭区间最大值可由导数的符号判断，检查函数何处由增转减。

详细解答：

1. $y'=1-2\sin x$。在 $[0,\pi/2]$ 上正弦严格增加，令 $y'=0$，得 $\sin x=1/2$，即 $x=\pi/6$。

2. 当 $0<x<\pi/6$ 时 $y'>0$，当 $\pi/6<x<\pi/2$ 时 $y'<0$。所以函数在该闭区间先增后减，最大值在 $x=\pi/6$：

   $$y_{\max}=\frac\pi6+2\cos\frac\pi6=\frac\pi6+\sqrt3.$$

答案： $0$。

思路： 分子有根号差，先有理化；分母的一阶项不相消，比较阶数即可。

详细解答：

1. 有理化分子：

   $$1-\sqrt{1-x^2}=\frac{x^2}{1+\sqrt{1-x^2}}\sim\frac{x^2}2.$$

2. 当 $x\to0$ 时，$\mathrm{e}^x=1+x+O(x^2)$、$\cos x=1+O(x^2)$，故 $\mathrm{e}^x-\cos x=x+O(x^2)$。因此

   $$\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{\mathrm{e}^x-\cos x} =\frac{x}{[1+\sqrt{1-x^2}](1+O(x))}\longrightarrow0.$$

答案： $\dfrac12\ln2$。

思路： 部分分式分解后先计算截断积分，再求无穷远极限。

详细解答：

1. 分解为

   $$\frac1{x(x^2+1)}=\frac1x-\frac{x}{x^2+1}.$$

   所以原函数为 $\ln x-\frac12\ln(x^2+1)$。

2. 对 $R>1$，

   $$\int_1^R\frac{\mathrm{d}x}{x(x^2+1)} =\left[\frac12\ln\frac{x^2}{x^2+1}\right]_1^R =\frac12\ln\frac{R^2}{R^2+1}+\frac12\ln2.$$

   当 $R\to+\infty$ 时，第一项趋于零，所以反常积分收敛且值为 $\frac12\ln2$。

答案： $S=\dfrac{\mathrm{e}}2-1$。

思路： 先找两曲线交点及区间内的上下关系，再积分上方减下方。

详细解答：

1. 交点满足 $x\mathrm{e}^x=\mathrm{e}x$，即 $x(\mathrm{e}^x-\mathrm{e})=0$，得 $x=0,1$。在 $0<x<1$ 时 $\mathrm{e}^x<\mathrm{e}$，所以直线 $\mathrm{e}x$ 在上方。

2. 因此

   $$S=\int_0^1(\mathrm{e}x-x\mathrm{e}^x)\mathrm{d}x =\left[\frac{\mathrm{e}x^2}2-(x-1)\mathrm{e}^x\right]_0^1.$$

   上端为 $\mathrm{e}/2$，下端为 $1$，故 $S=\mathrm{e}/2-1$。

答案： B，高阶无穷小。

思路： 比较两个无穷小的阶，计算它们之比的极限。

详细解答：

1. 用 $\sin x=x-x^3/6+o(x^3)$，得

   $$\frac{x-\sin x}{x^2} =\frac{x^3/6+o(x^3)}{x^2} =\frac x6+o(x)\longrightarrow0.$$

2. 比值趋于零，说明 $x-\sin x$ 比 $x^2$ 更快趋于零，故是高阶无穷小，选 B。等价要求比值趋于 $1$，同阶要求非零有限极限，低阶要求比值绝对值无穷，均不符合。

答案： D。

思路： $f(-x)$ 要按输入 $-x$ 的正负选择原函数分支，并非把函数值取负。

详细解答：

1. 当 $x<0$ 时，$-x>0$，使用原函数第二段：

   $$f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x.$$

2. 当 $x\ge0$ 时，$-x\le0$，使用第一段，得到 $f(-x)=(-x)^2=x^2$。所以

   $$f(-x)=\begin{cases}x^2-x,&x<0,\\x^2,&x\ge0.\end{cases}$$

   对应 D。

答案： D，双侧极限不存在，也不是双侧无穷大。

思路： 先约去 $x-1$，再分别检查指数项在左右两侧的行为。

详细解答：

1. 在 $x\ne1$ 时，

   $$\frac{x^2-1}{x-1}\mathrm{e}^{1/(x-1)} =(x+1)\mathrm{e}^{1/(x-1)}.$$

2. 当 $x\to1^-$ 时，$1/(x-1)\to-\infty$，所以表达式趋于 $2\cdot0=0$。

3. 当 $x\to1^+$ 时，$1/(x-1)\to+\infty$，表达式趋于正无穷。左右行为不同，故无有限双侧极限；左侧绝对值趋于零，也不符合双侧无穷大的定义，所以选 D。

答案： C，$F'(x)=2xf(x^4)$。

思路： 先对积分上限求导，再把上限代入被积函数；要注意被积函数本身是 $f(t^2)$。

详细解答：

1. 令 $G(u)=\int_0^uf(t^2)\mathrm{d}t$。因为 $f$ 连续，$f(t^2)$ 连续，所以 $G'(u)=f(u^2)$。

2. $F(x)=G(x^2)$，由链式法则，

   $$F'(x)=G'(x^2)\cdot2x=f((x^2)^2)\cdot2x=2xf(x^4).$$

   因而选 C，不能遗漏上限导数 $2x$，也不能漏掉被积函数中的平方。

答案： B，即 $1-\sin x$。

思路： 已知的是 $f'$，求 $f$ 时会出现任意常数；再求 $f$ 的原函数时，这个常数产生一次项。必须先用初值 $f(0)=-1$ 确定常数，再核验选项。

详细解答：

1. 由 $f'(x)=\sin x$，先对导函数求不定积分，只能得到

   $$f(x)=-\cos x+C_1.$$

   如果尚未使用初值，它的原函数族为

   $$\int f(x)\,\mathrm{d}x=-\sin x+C_1x+C_2.$$

   这里 $C_1$ 是从 $f'$ 恢复 $f$ 时产生的常数，$C_2$ 是再求原函数时产生的常数，两者作用不同。

2. 将 $x=0$ 代入 $f(x)=-\cos x+C_1$，由 $\cos0=1$ 和 $f(0)=-1$ 得

   $$-1=-1+C_1,\qquad C_1=0.$$

   因而题设函数被唯一确定为 $f(x)=-\cos x$，它的原函数族为 $-\sin x+C_2$。取 $C_2=1$，就得到 $1-\sin x$，对应 B。

3. 也可以直接通过求导核验。A、B、C、D 四个表达式的导数分别为

   $$\cos x,\qquad -\cos x,\qquad -\sin x,\qquad \sin x.$$

   只有 B 的导数等于已确定的 $f(x)=-\cos x$，所以选 B。

条件的作用： 初值 $f(0)=-1$ 用于确定 $C_1$，不能省略。若只知道 $f'(x)=\sin x$，例如 $f(x)=1-\cos x$ 也有同一个导函数，其原函数为 $x-\sin x+C_2$，四个选项就都不适合。这个例子在本题中被初值排除，因为它在 $0$ 处的值是 $0$，不等于 $-1$。

易错点： 不定积分中的常数不能直接设为零；应先使用题设初值确定它。题目要找的是 $f$ 的原函数，其导数应等于 $f$，而不是等于 $f'$。

答案： $\mathrm{e}^{-3/2}$。

思路： 将底数写成 $1$ 加无穷小，再取对数。

详细解答：

1. 对充分大的 $x$，底数为正。令

   $$A(x)=\left(1-\frac3{x+6}\right)^{(x-1)/2}.$$

   取对数得

   $$\ln A(x)=-\frac{3(x-1)}{2(x+6)} \frac{\ln(1-3/(x+6))}{-3/(x+6)}.$$

2. 两因子分别趋于 $-3/2$ 和 $1$，所以 $\ln A(x)\to-3/2$。由指数函数连续性，$A(x)\to\mathrm{e}^{-3/2}$。

答案： $y''(0)=2\mathrm{e}^2$。

思路： 先求 $y(0)$ 和 $y'(0)$，再对隐式方程求第二次导数。

详细解答：

1. 在原式 $y-x\mathrm{e}^y=1$ 中令 $x=0$，得 $y(0)=1$。求导得

   $$y'-\mathrm{e}^y-x\mathrm{e}^yy'=0.$$

   令 $x=0$，得 $y'(0)=\mathrm{e}$。

2. 再求导：

   $$y''-2\mathrm{e}^yy' -x\mathrm{e}^y[(y')^2+y'']=0.$$

   在 $x=0$ 时，含 $x$ 的项消失，因此

   $$y''(0)=2\mathrm{e}^{y(0)}y'(0)=2\mathrm{e}^2.$$

答案： $\dfrac13(1+x^2)^{3/2}-\sqrt{1+x^2}+C$。

思路： 将 $x^3\mathrm{d}x$ 拆成 $x^2(x\mathrm{d}x)$，用根号整体换元。

详细解答：

1. 令 $u=\sqrt{1+x^2}$，则 $x^2=u^2-1$，并由微分得 $x\mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}u$。所以

   $$\int\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x =\int\frac{x^2(x\mathrm{d}x)}u =\int(u^2-1)\mathrm{d}u.$$

2. 积分得到 $u^3/3-u+C$，代回即为所列结果。对该结果直接求导为

   $$x\sqrt{1+x^2}-\frac x{\sqrt{1+x^2}} =\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}},$$

   所以表达式在全实数上均适用。

答案： $4(\sqrt2-1)$。

思路： 半角公式将根号写成绝对值，必须在符号改变的位置分段。

详细解答：

1. 因为

   $$1-\sin x=\left(\cos\frac x2-\sin\frac x2\right)^2,$$

   所以根号为 $|\cos(x/2)-\sin(x/2)|$。在 $[0,\pi/2]$ 内括号非负，在 $[\pi/2,\pi]$ 内非正。

2. 因此

   $$I=\int_0^{\pi/2}\left(\cos\frac x2-\sin\frac x2\right)\mathrm{d}x +\int_{\pi/2}^{\pi}\left(\sin\frac x2-\cos\frac x2\right)\mathrm{d}x.$$

3. 第一段为

   $$\left[2\sin\frac x2+2\cos\frac x2\right]_0^{\pi/2} =2\sqrt2-2.$$

   第二段为

   $$\left[-2\cos\frac x2-2\sin\frac x2\right]_{\pi/2}^{\pi} =-2+2\sqrt2.$$

   两段相加，得 $I=4(\sqrt2-1)$。

答案： $y=C\sqrt{|x|}-x^3/5$，分别在 $x>0$ 或 $x<0$ 的区间上成立。若要求在全实轴上可微，则只有 $y=-x^3/5$。

思路： 整理为一阶线性方程，分别求齐次解和多项式特解；零点处不能使用除以 $x$ 的方程。

详细解答：

1. 在 $x\ne0$ 时，原式给出

   $$y'-\frac{y}{2x}=-\frac{x^2}2.$$

   齐次方程的非零解满足 $\mathrm{d}y/y=\mathrm{d}x/(2x)$，积分得 $\ln|y|=\frac12\ln|x|+\text{常数}$。连同零解，齐次通解为 $C\sqrt{|x|}$。

2. 设非齐次特解为 $y_p=Ax^3$，则

   $$y_p'-\frac{y_p}{2x} =3Ax^2-\frac A2x^2=\frac{5A}2x^2.$$

   与 $-x^2/2$ 比较得 $A=-1/5$，故通解为所列结果。

3. 在 $x=0$ 处，原方程要求 $y(0)=0$。若左右两侧的 $C$ 非零，差商 $[y(x)-y(0)]/x$ 中的 $C\sqrt{|x|}/x$ 发散，无法在零点可微。因此全实轴可微时两侧常数均须为零，得到 $y=-x^3/5$。

答案： $\dfrac73-\mathrm{e}^{-1}$。

思路： 复合输入 $x-2$ 的分段点是 $x=2$，换元后在零点分开积分。

详细解答：

1. 令 $u=x-2$，则 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，上下限变为 $-1,1$：

   $$I=\int_{-1}^1f(u)\mathrm{d}u =\int_{-1}^0(1+u^2)\mathrm{d}u+\int_0^1\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}u.$$

2. 两段分别为

   $$\left[u+\frac{u^3}3\right]_{-1}^0=\frac43,\qquad [-\mathrm{e}^{-u}]_0^1=1-\mathrm{e}^{-1}.$$

   相加得 $I=7/3-\mathrm{e}^{-1}$。

答案： $y=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{2x}-(x^2/2+x)\mathrm{e}^x$。

思路： 先求齐次通解，令特解为 $\mathrm{e}^x$ 乘多项式，可处理右端指数与齐次解重复的情形。

详细解答：

1. 齐次特征方程为 $(r-1)(r-2)=0$，所以 $y_h=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{2x}$。

2. 令 $y=u\mathrm{e}^x$，则

   $$y'=(u'+u)\mathrm{e}^x,\qquad y''=(u''+2u'+u)\mathrm{e}^x.$$

   代入方程得 $(u''-u')\mathrm{e}^x=x\mathrm{e}^x$，即 $u''-u'=x$。

3. 设多项式特解 $u_p=Ax^2+Bx$，则 $u_p''-u_p'=-2Ax+(2A-B)$。比较系数得 $-2A=1$、$2A-B=0$，故 $A=-1/2$、$B=-1$。

4. 因此 $y_p=-(x^2/2+x)\mathrm{e}^x$，加到齐次通解上即得答案。

答案： 弧长 $L=\ln3-\dfrac12$。

思路： 用平面曲线弧长公式，根号中的分子恰可合成完全平方。

详细解答：

1. 在给定区间内 $1-x^2>0$，函数可导，

   $$y'=-\frac{2x}{1-x^2},\qquad L=\int_0^{1/2}\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x.$$

2. 整理根号：

   $$1+(y')^2 =\frac{(1-x^2)^2+4x^2}{(1-x^2)^2} =\frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}.$$

   因分子分母在该区间均为正，根号为 $(1+x^2)/(1-x^2)$。

3. 分解并积分，

   $$\frac{1+x^2}{1-x^2}=-1+\frac1{1-x}+\frac1{1+x},$$

   $$L=\left[-x-\ln(1-x)+\ln(1+x)\right]_0^{1/2} =-\frac12+\ln\frac{3/2}{1/2} =\ln3-\frac12.$$

答案： 切线 $l:y=(x+1)/2$；最小面积 $2-\dfrac{4\sqrt2}3$。

思路： 用切点参数表示切线；切线始终在平方根曲线上方，面积可写成参数的函数，再用基本不等式求最小值。

详细解答：

1. 设切点横坐标为 $a>0$，切点为 $(a,\sqrt a)$。导数为 $1/(2\sqrt x)$，所以切线为

   $$y-\sqrt a=\frac{x-a}{2\sqrt a},\qquad y=\frac{x+a}{2\sqrt a}.$$

2. 对所有 $x\ge0$，

   $$\frac{x+a}{2\sqrt a}-\sqrt x =\frac{(\sqrt x-\sqrt a)^2}{2\sqrt a}\ge0.$$

   因此无需再分上下关系，面积为

   $$S(a)=\int_0^2\left(\frac{x+a}{2\sqrt a}-\sqrt x\right)\mathrm{d}x =\frac1{\sqrt a}+\sqrt a-\frac{4\sqrt2}3.$$

3. 令 $u=\sqrt a>0$，有 $u+1/u-2=(u-1)^2/u\ge0$，等号仅在 $u=1$ 时成立。故最小点为 $a=1$，切线为 $y=(x+1)/2$，最小面积为 $2-4\sqrt2/3$。

答案： 对所有 $x_1,x_2>0$，$f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2)$。

思路： $f''<0$ 说明 $f'$ 严格递减，同样长度的函数增量越靠右越小。

详细解答：

1. 任取 $u<v$，对 $f'$ 用中值定理，有

   $$f'(v)-f'(u)=f''(\xi)(v-u)<0\qquad(u<\xi<v).$$

   因此 $f'$ 严格递减。

2. 固定 $x_2>0$，定义 $G(t)=f(t+x_2)-f(t)$。由上一步，

   $$G'(t)=f'(t+x_2)-f'(t)<0,$$

   所以 $G$ 严格递减。由于 $x_1>0$，有 $G(x_1)<G(0)$。

3. 展开该不等式并代入 $f(0)=0$，

   $$f(x_1+x_2)-f(x_1)<f(x_2)-f(0)=f(x_2).$$

   移项得到所证结论，严格不等号来自 $f''$ 严格为负。