2018年考研数学二真题

答案： B，$a=-1/2,b=-1$。

思路： 幂指极限为 $1$ 等价于其对数趋于 $0$。展开底数，依次消去一次、二次项。

详细解答：

1. 底数在 $0$ 附近为正，且

   $$e^x+ax^2+bx=1+(1+b)x+\left(a+\frac12\right)x^2+o(x^2).$$

2. 若 $1+b\ne0$，其对数除以 $x^2$ 有主项 $(1+b)/x$，不可能趋于 $0$。故先要求 $b=-1$。

3. 此时

   $$\frac1{x^2}\ln(e^x+ax^2-x)\longrightarrow a+\frac12.$$

   原极限为 $\exp(a+1/2)$，要等于 $1$，必须 $a=-1/2$，所以选 B。

答案： D。

思路： 可导性按差商判断；含绝对值不一定不可导，要看它前面的阶数是否足够高。

详细解答：

1. A、B 都满足 $f(0)=0$，其差商分别为

   $$\frac{|h|\sin|h|}{h}=\operatorname{sgn}(h)\sin|h|\to0,$$

   $$\frac{|h|\sin\sqrt{|h|}}h =\operatorname{sgn}(h)\sin\sqrt{|h|}\to0.$$

   所以二者在 $0$ 可导，导数为零。

2. C 中 $\cos|x|=\cos x$，是可导函数，在 $0$ 的导数为零。

3. D 中 $f(0)=1$，利用 $\cos u=1-u^2/2+o(u^2)$，

   $$\frac{\cos\sqrt{|h|}-1}{h} =-\frac{|h|}{2h}+o(1).$$

   右极限为 $-1/2$，左极限为 $1/2$，不相等，所以 D 不可导。

答案： D，$a=-3,b=2$。

思路： 两个函数各段内部均连续，只需检查拼接点 $-1,0$。

详细解答：

1. 在 $x=-1$ 附近，$f$ 两侧都为 $-1$，故要求 $g$ 连续。左支在 $-1$ 的值是 $2+a$，右极限是 $-1$，因此 $2+a=-1$，得 $a=-3$。

2. 在 $x=0$ 处，$f+g$ 的左极限是 $-1+0=-1$，右侧及函数值是 $1-b$。连续要求 $-1=1-b$，所以 $b=2$。

3. 代入后两个拼接点都连续，其他位置也连续，所以选 D。

答案： D。

思路： 严格凸函数在中点的值小于平均值，利用对称配对证明。

详细解答：

1. 若 $f''>0$，则严格凸。对 $0<t<1/2$，中点不等式给出

   $$f(1/2-t)+f(1/2+t)>2f(1/2).$$

2. 在 $0<t<1/2$ 上积分，得

   $$\int_0^1f(x)\,\mathrm dx>f(1/2).$$

   左边为零，所以 $f(1/2)<0$，D 正确。

3. 一阶单调性不能保证这个严格不等式。A 可用 $f(x)=1/2-x$ 反驳，C 可用 $f(x)=x-1/2$ 反驳：两函数积分都为零，中点值也为零。

4. B 可用 $f(x)=1/12-(x-1/2)^2$ 反驳。它满足 $f''=-2<0$、积分为零，但中点值为 $1/12>0$。

答案： C，$K>M>N$。

思路： 先用奇偶性求出 $M$，再分别比较 $K,N$ 与它。

详细解答：

1. 被积函数可写为

   $$\frac{(1+x)^2}{1+x^2}=1+\frac{2x}{1+x^2}.$$

   第二项为奇函数，在对称区间上积分为零，因此 $M=\pi$。

2. 在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 内 $\sqrt{\cos x}>0$，故 $K=\pi+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos x}\,\mathrm dx>\pi$。

3. 记 $h=\pi/2$，将 $N$ 的正、负半区间配对：

   $$N=\int_0^h\bigl((1+x)e^{-x}+(1-x)e^x\bigr)\,\mathrm dx.$$

   设括号内为 $q(x)$，则 $q(0)=2$，且

   $$q'(x)=-xe^{-x}-xe^x<0\qquad(x>0).$$

   因此 $q(x)<2$，所以 $N<\int_0^h2\,\mathrm dx=\pi$。

4. 合并 $K>\pi=M>N$，选 C。

答案： C，$7/3$。

思路： 两段积分拼成关于 $y$ 轴对称的区域，奇函数项积分为零，只需计算面积。

详细解答：

1. 区域统一表示为

   $$-1\le x\le1,\qquad |x|\le y\le2-x^2.$$

   它关于 $y$ 轴对称，而 $xy$ 对 $x$ 为奇函数，所以 $\iint_Dxy=0$。

2. 原积分等于 $\iint_D1$，即区域面积：

   $$I=\int_{-1}^1(2-x^2-|x|)\,\mathrm dx =2\int_0^1(2-x^2-x)\,\mathrm dx.$$

3. 计算得 $I=2(2-1/3-1/2)=7/3$，选 C。

答案： A。

思路： 减去单位矩阵后比较幂零部分。用一组链式向量直接证明 A 与原矩阵相似。

详细解答：

1. 记原矩阵为 $T$，则 $N_0=T-E$ 满足 $N_0^2\ne0,N_0^3=0$。相似关系会保持矩阵各次幂是否为零。

2. 对选项 A 的矩阵 $M$，令

   $$N=M-E=\begin{pmatrix}0&1&-1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

   取 $p_3=(0,0,1)^T$，则 $p_2=Np_3=(-1,1,0)^T$，$p_1=Np_2=(1,0,0)^T$，且 $Np_1=0$。

3. 令 $P=(p_1,p_2,p_3)$，其行列式为 $1$。这些关系表明 $MP=PT$，故 $P^{-1}MP=T$，选项 A 与原矩阵相似。

4. B、C、D 减去 $E$ 后的矩阵平方都为零，与 $N_0^2\ne0$ 不符，故不能相似。

答案： A，$r(A,AB)=r(A)$。

思路： 分块矩阵的秩由全部列向量的张成空间决定。$AB$ 的列已经包含在 $A$ 的列空间中。

详细解答：

1. 设 $A$ 的列为 $a_1,\ldots,a_n$。$AB$ 的每列都是这些列的线性组合，所以在 $A$ 后添加 $AB$ 的列，不会扩大列空间。故 $r(A,AB)=r(A)$。

2. B 不成立。例如

   $$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}.$$

   $BA$ 的第一列为 $(0,1)^T$，与 $A$ 的第一列独立，所以 $r(A,BA)=2>r(A)=1$。

3. C 不成立：取 $A=\operatorname{diag}(1,0),B=\operatorname{diag}(0,1)$，则 $r(A,B)=2$，但两者各自的秩都为 $1$。

4. D 不成立：取 $A=\operatorname{diag}(1,0),B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，则 $r(A,B)=1$；而转置后两矩阵的列共同张成平面，$r(A^T,B^T)=2$。

答案： $1$。

思路： 对反正切函数用中值定理，把两个相近点的函数值差化为导数。

详细解答：

1. 在 $[x,x+1]$ 上，中值定理给出 $\xi_x\in(x,x+1)$，使

   $$\arctan(x+1)-\arctan x=\frac1{1+\xi_x^2}.$$

2. 因 $1<\xi_x/x<1+1/x$，有 $\xi_x/x\to1$，所以

   $$\frac{x^2}{1+\xi_x^2} =\frac1{x^{-2}+(\xi_x/x)^2}\longrightarrow1.$$

答案： $y=4x-3$。

思路： 求二阶导数找凹凸性变化点，再求该点切线。

详细解答：

1. 定义域为 $x>0$。导数为 $y'=2x+2/x$，$y''=2-2/x^2$。

2. $y''$ 在 $(0,1)$ 为负，在 $(1,\infty)$ 为正，所以 $x=1$ 是拐点横坐标。该点为 $(1,1)$。

3. 切线斜率为 $y'(1)=4$，因此 $y-1=4(x-1)$，即 $y=4x-3$。

答案： $\displaystyle\frac12\ln2$。

思路： 因式分解分母并拆分部分分式，两个对数在无穷远相互抵消。

详细解答：

1. 有

   $$\frac1{x^2-4x+3} =\frac1{(x-1)(x-3)} =\frac12\left(\frac1{x-3}-\frac1{x-1}\right).$$

2. 所以

   $$\int_5^R\frac{\mathrm dx}{x^2-4x+3} =\frac12\left[\ln\frac{x-3}{x-1}\right]_5^R.$$

3. $R\to\infty$ 时对数趋于零，而 $x=5$ 时为 $\ln(1/2)$，故积分为 $-\frac12\ln(1/2)=\frac12\ln2$。

答案： $2/3$。

思路： 使用参数曲线曲率公式，计算指定参数处的一、二阶导数。

详细解答：

1. 有

   $$x'=-3\cos^2t\sin t,\quad y'=3\sin^2t\cos t,$$

   $$x''=3\cos t(2\sin^2t-\cos^2t),\quad y''=3\sin t(2\cos^2t-\sin^2t).$$

2. 在 $t=\pi/4$ 时，$x'=-3/(2\sqrt2),y'=3/(2\sqrt2)$，且 $x''=y''=3/(2\sqrt2)$。

3. 切向量非零，故

   $$\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}} =\frac{9/4}{(9/4)^{3/2}}=\frac23.$$

答案： $1/4$。

思路： 先确定给定点的 $z$，再对隐式方程求偏导。

详细解答：

1. 在 $(2,1/2)$ 处 $xy=1$，$z=1$ 满足 $\ln z+e^{z-1}=1$。左边在 $z>0$ 的导数为 $1/z+e^{z-1}>0$，所以解唯一。

2. 对 $x$ 求偏导时固定 $y$，得到

   $$\left(\frac1z+e^{z-1}\right)z_x=y.$$

3. 代入 $y=1/2,z=1$，得到 $2z_x=1/2$，故 $z_x=1/4$。

答案： $2$。

思路： 已知向量组为一组基，按每个基向量的像写出相似矩阵，再求其特征多项式。

详细解答：

1. 令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，因三向量无关，$P$ 可逆。按列写出给定关系：

   $$AP=PC,\qquad C=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&1&-1\\1&2&1\end{pmatrix}.$$

   所以 $A$ 与 $C$ 相似。

2. 沿 $\lambda E-C$ 第一行展开，得到

   $$|\lambda E-C|=(\lambda-2)\bigl((\lambda-1)^2+2\bigr).$$

3. 后一因子对实数 $\lambda$ 始终为正，所以唯一实特征值为 $2$。

答案：

$$\frac12e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1} -\frac16(e^x+2)\sqrt{e^x-1}+C.$$

思路： 将反正切放在分部积分中被微分的位置，剩余根式积分再换元。

详细解答：

1. 在 $x>0$ 上令 $w=\sqrt{e^x-1}$，则

   $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan w =\frac{e^x}{2w(1+w^2)}=\frac1{2w}.$$

2. 分部积分取 $u=\arctan w,\mathrm dv=e^{2x}\,\mathrm dx$，得到

   $$I=\frac12e^{2x}\arctan w-\frac14\int\frac{e^{2x}}w\,\mathrm dx.$$

3. 由于 $e^x=1+w^2,e^x\,\mathrm dx=2w\,\mathrm dw$，后一个积分化为

   $$\int\frac{e^{2x}}w\,\mathrm dx =2\int(1+w^2)\,\mathrm dw=2w+\frac23w^3.$$

4. 所以 $I=\frac12e^{2x}\arctan w-\frac12w-\frac16w^3+C$。用 $w^2=e^x-1$ 合并后两项，即得到答案。

答案：（1）$f(x)=2a(1-e^{-x})$；（2）$a=e/2$。

思路： 先对卷积项换元，避免直接对未知函数求导，再将积分方程变成微分方程。

详细解答：

1. 令 $u=x-t$，则第二个积分变为 $\int_0^x(x-u)f(u)\,\mathrm du$。原式因此为

   $$\int_0^xf(u)\,\mathrm du+\int_0^x(x-u)f(u)\,\mathrm du=ax^2.$$

2. 因 $f$ 连续，可以求导，得到

   $$f(x)+\int_0^xf(u)\,\mathrm du=2ax.$$

   此式又说明 $f$ 可导。代入 $x=0$ 得 $f(0)=0$；再求导得到 $f'+f=2a$。

3. 乘积分因子 $e^x$，得 $(e^xf)'=2ae^x$，所以 $f=2a+Ce^{-x}$。由 $f(0)=0$，得 $C=-2a$，完成（1）。

4. 求（2）。 区间长度为 $1$，平均值就是积分：

   $$1=\int_0^1f(x)\,\mathrm dx =2a[x+e^{-x}]_0^1=\frac{2a}e.$$

   因此 $a=e/2$。

答案： $3\pi^2+5\pi$。

思路： 摆线一拱关于 $x=\pi$ 对称，可直接求 $x$ 的一阶矩；$y$ 的一阶矩用竖直截面积分。

详细解答：

1. 参数导数 $x'=1-\cos t\ge0$，所以一拱可作为上边界。面积为

   $$S=\int y\,\mathrm dx=\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,\mathrm dt =2\pi+\pi=3\pi,$$

   这里整周期上 $\int\cos t=0,\int\cos^2t=\pi$。

2. 因 $x(2\pi-t)=2\pi-x(t)$，$y(2\pi-t)=y(t)$，区域关于 $x=\pi$ 对称。设 $M_x=\iint_Dx$，则对称变换给出 $M_x=\iint_D(2\pi-x)=2\pi S-M_x$，所以 $M_x=\pi S=3\pi^2$。

3. 先对 $y$ 积分：

   $$2\iint_Dy\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\int y(x)^2\,\mathrm dx =\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,\mathrm dt.$$

4. 展开为 $1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t$。整周期上两个奇次余弦积分均为零，而平方积分为 $\pi$，故该项为 $2\pi+3\pi=5\pi$。

5. 合并得到 $\iint_D(x+2y)=3\pi^2+5\pi$。

答案： 对所有 $x>0$，题中不等式成立。

思路： 证明第二个因子单调增加且在 $1$ 处为零，它就与第一个因子同号。

详细解答：

1. 定义域为 $x>0$。令 $F(x)=x-\ln^2x+2k\ln x-1$，则 $F(1)=0$，且

   $$F'(x)=\frac{x-2\ln x+2k}{x}.$$

2. 令 $G(x)=x-2\ln x+2k$，则 $G'=1-2/x$。它在 $(0,2)$ 为负，在 $(2,\infty)$ 为正，故 $G$ 在 $2$ 取得最小值：

   $$G(2)=2-2\ln2+2k\ge0,$$

   最后一步用到了 $k\ge\ln2-1$。

3. 因 $x>0$，有 $F'=G/x\ge0$，所以 $F$ 单调不减。$0<x<1$ 时 $F(x)\le0$，$x>1$ 时 $F(x)\ge0$。

4. 因此 $F(x)$ 与 $x-1$ 同号或为零，乘积 $(x-1)F(x)\ge0$，证明完毕。

答案： 存在最小值，为 $\displaystyle\frac1{\pi+4+3\sqrt3}\,\mathrm m^2$。

思路： 用三段周长表示面积，应用加权柯西不等式求下界，并检查取等条件能否实现。

详细解答：

1. 设三段长度的米数为 $p,q,r>0$，则 $p+q+r=2$。圆的面积为 $p^2/(4\pi)$；正方形面积为 $q^2/16$；正三角形边长为 $r/3$，面积为 $r^2/(12\sqrt3)$。面积总和的平方米数为

   $$S=\frac{p^2}{4\pi}+\frac{q^2}{16}+\frac{r^2}{12\sqrt3}.$$

2. 由柯西不等式，

   $$(p+q+r)^2 \le\left(\frac{p^2}{4\pi}+\frac{q^2}{16}+\frac{r^2}{12\sqrt3}\right) (4\pi+16+12\sqrt3).$$

   所以 $S\ge4/(4\pi+16+12\sqrt3)=1/(\pi+4+3\sqrt3)$。

3. 等号条件是 $p:q:r=4\pi:16:12\sqrt3=\pi:4:3\sqrt3$。结合总长为 $2$，可取

   $$p=\frac{2\pi}{\pi+4+3\sqrt3},\quad q=\frac8{\pi+4+3\sqrt3},\quad r=\frac{6\sqrt3}{\pi+4+3\sqrt3}.$$

4. 三个长度均为正，可以围成对应图形，所以该下界可实际取得，最小值存在并等于答案。

答案： $\displaystyle\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}=10$。

思路： 先用动点横坐标表示面积，再乘横坐标关于时间的变化率。

详细解答：

1. 设 $P=(x,4x^2/9)$，其中 $x>0$。直线 $AP$ 连接纵轴上的高度 $1$ 与 $P$，在 $[0,x]$ 上位于抛物线上方。

2. 直线下的梯形面积为 $\frac12(1+4x^2/9)x$；减去抛物线下的面积，得到

   $$S(x)=\frac12\left(1+\frac{4x^2}9\right)x-\int_0^x\frac{4u^2}9\,\mathrm du =\frac x2+\frac{2x^3}{27}.$$

3. 因此 $\mathrm dS/\mathrm dx=1/2+2x^2/9$。由链式法则，在 $x=3,\mathrm dx/\mathrm dt=4$ 时，

   $$\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt} =\left(\frac12+\frac{2\cdot9}9\right)\cdot4=10.$$

答案： 数列收敛，极限为 $0$。

思路： 对指数函数用中值定理，递推式直接说明后一项在 $0$ 与前一项之间，再用原递推式求极限。

详细解答：

1. 若 $x_n>0$，在 $[0,x_n]$ 上对 $e^x$ 用中值定理，存在 $\xi_n\in(0,x_n)$，使

   $$e^{x_n}-1=x_ne^{\xi_n}.$$

   与递推式比较，得 $e^{x_{n+1}}=e^{\xi_n}$，指数函数单射，故 $x_{n+1}=\xi_n$。

2. 因而 $0<x_{n+1}<x_n$。由 $x_1>0$ 归纳可知全数列正且严格递减，下界为 $0$，所以收敛。记极限为 $L\ge0$。

3. 对原递推式取极限，得 $Le^L=e^L-1$。令 $H(t)=te^t-e^t+1$，则 $H(0)=0$，且 $H'(t)=te^t>0$ 对 $t>0$ 成立。

4. 所以 $H$ 在正半轴严格增加，不可能再为零。由于 $H(L)=0$ 且 $L\ge0$，只能 $L=0$。