2015年考研数学二真题

答案： D。

思路： 分别求四个积分的原函数，检查上限趋于无穷时是否存在有限极限。

详细解答：

1. A 的原函数为 $2\sqrt x$，因此

   $$\int_2^R\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=2\sqrt R-2\sqrt2\to+\infty.$$

2. B 的原函数为 $(\ln x)^2/2$，C 的原函数为 $\ln(\ln x)$，所以

   $$\int_2^R\frac{\ln x}x\,\mathrm dx =\frac12\bigl((\ln R)^2-(\ln2)^2\bigr)\to+\infty,$$

   $$\int_2^R\frac{\mathrm dx}{x\ln x} =\ln(\ln R)-\ln(\ln2)\to+\infty.$$

3. D 用分部积分，$\int xe^{-x}\,\mathrm dx=-(x+1)e^{-x}$。因 $(R+1)e^{-R}\to0$，

   $$\int_2^\infty xe^{-x}\,\mathrm dx=3e^{-2}<\infty.$$

   因此只有 D 收敛。

答案： B，有可去间断点。

思路： 先对固定的非零 $x$ 计算定义中的极限，再考察 $x=0$。

详细解答：

1. 固定 $x\ne0$ 时，$t$ 足够接近 $0$ 可使 $1+\sin t/x>0$。令幂指表达式为 $Y(t)$，取对数：

   $$\ln Y(t)=\frac{x^2}t\ln\left(1+\frac{\sin t}x\right) =x\frac{\sin t}t \frac{\ln(1+\sin t/x)}{\sin t/x}\longrightarrow x.$$

2. 由指数函数连续性，$f(x)=e^x$，适用于 $x\ne0$。所以除了 $0$，函数处处连续。

3. 在 $x=0$ 时，定义式含 $\sin t/x$，没有意义；但 $\lim_{x\to0}f(x)=1$，左右极限相同且有限。补定义 $f(0)=1$ 就能连续，因此 $0$ 是可去间断点，而不是跳跃或无穷间断点。

答案： A，$\alpha-\beta>1$。

思路： 导函数在 $0$ 连续，需要先保证 $f'(0)$ 存在，再让右侧导函数趋于它。

详细解答：

1. 在左侧 $f=0$，故左导数为 $0$；右差商是

   $$\frac{f(h)-f(0)}h=h^{\alpha-1}\cos(h^{-\beta}),\qquad h>0.$$

   若 $\alpha>1$，此差商趋于 $0$，于是 $f'(0)=0$。若 $\alpha=1$，沿余弦分别为 $1,-1$ 的序列得到不同极限；若 $\alpha<1$，沿同样序列绝对值发散。因此在 $0$ 可导必须且只需 $\alpha>1$。

2. 在 $x>0$ 上求导：

   $$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\cos(x^{-\beta}) +\beta x^{\alpha-\beta-1}\sin(x^{-\beta}).$$

   已知 $\alpha>1$ 时第一项趋于 $0$。第二项趋于 $0$ 的条件是 $\alpha-\beta-1>0$。

3. 这个条件也是必要的：取 $x_m=(\pi/2+2m\pi)^{-1/\beta}$，则余弦为 $0$、正弦为 $1$，导函数为 $\beta x_m^{\alpha-\beta-1}$。若指数为 $0$，其值为 $\beta\ne0$；若指数为负，绝对值趋于无穷，都不满足连续性。

4. 所以充要条件为 $\alpha-\beta>1$。由于 $\beta>0$，它也自动保证 $\alpha>1$。选 A。

答案： C，$2$ 个拐点。

思路： 拐点看函数凹凸性是否改变，即二阶导数两侧是否变号；不能只数二阶导数的零点。

详细解答：

1. 图中左半轴的曲线表示 $f''$，它在一个负横坐标处与横轴相切，该点两侧均为正。虽然那里 $f''=0$，但凹凸性未改变，所以不是拐点。

2. 在 $x=0$ 左侧，图中 $f''>0$；右侧紧邻 $0$ 时 $f''<0$。因此凹凸性在 $0$ 两侧改变。题设 $f$ 在此连续，所以对应点是拐点；拐点不要求该点的二阶导数一定存在。

3. 在正半轴的那个横轴交点处，$f''$ 从负变正，凹凸性再次改变，又产生一个拐点。再往右符号保持为正，没有新的变化。

4. 合计有 $2$ 个拐点，选 C。

答案： D，依次为 $0,-1/2$。

思路： 解出变量替换的逆变换，直接把 $f$ 写成 $u,v$ 的函数。

详细解答：

1. 令 $u=x+y,v=y/x$，则 $y=vx$，从而在 $(u,v)=(1,1)$ 附近，

   $$x=\frac u{1+v},\qquad y=\frac{uv}{1+v}.$$

2. 因此

   $$f(u,v)=x^2-y^2 =\frac{u^2(1-v^2)}{(1+v)^2} =u^2\frac{1-v}{1+v}.$$

3. 求偏导：

   $$f_u=2u\frac{1-v}{1+v},\qquad f_v=u^2\frac{-(1+v)-(1-v)}{(1+v)^2} =-\frac{2u^2}{(1+v)^2}.$$

   代入 $u=v=1$，得到 $f_u=0,f_v=-1/2$。

答案： B。

思路： 两条直线确定极角，两条双曲线确定半径，面积元还要乘雅可比因子 $r$。

详细解答：

1. 在第一象限，$y=x$ 对应 $\theta=\pi/4$，$y=\sqrt3x$ 对应 $\theta=\pi/3$。所以 $\pi/4\le\theta\le\pi/3$。

2. 区域内 $1/4\le xy\le1/2$。由于

   $$xy=r^2\cos\theta\sin\theta=\frac{r^2}2\sin2\theta,$$

   所以

   $$\frac1{\sqrt{2\sin2\theta}}\le r\le\frac1{\sqrt{\sin2\theta}}.$$

3. 由 $\mathrm dx\,\mathrm dy=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$，积分应为

   $$\int_{\pi/4}^{\pi/3}\mathrm d\theta \int_{1/\sqrt{2\sin2\theta}}^{1/\sqrt{\sin2\theta}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr.$$

   A、C 把 $r^2$ 的界误当成 $r$ 的界；C、D 还缺少面积元中的 $r$。故选 B。

答案： D，$a\in\{1,2\}$ 且 $d\in\{1,2\}$。

思路： 无穷多解要求系数矩阵秩小于未知数个数，同时增广矩阵不能增加秩。

详细解答：

1. 记 $v(t)=(1,t,t^2)^T$。$A$ 的列为 $v(1),v(2),v(a)$，右端为 $v(d)$。用第二、三行减去第一行的适当倍数，或直接展开，得到

   $$|A|=(a-1)(a-2).$$

   若 $a\notin\{1,2\}$，矩阵可逆，只能有唯一解，不能无穷多解。

2. 当 $a=1$ 或 $2$ 时，第三列重复前两列之一。前两列线性无关，所以 $r(A)=2<3$，此时只需判断 $v(d)$ 是否在它们的张成空间中。

3. 同样计算三列行列式：

   $$|v(1),v(2),v(d)|=(d-1)(d-2).$$

   它为零当且仅当 $d=1$ 或 $2$。因为前两列已经独立，行列式为零正好意味着增广列属于其张成空间。

4. 故无穷多解的充要条件是 $a,d$ 均属于 $\{1,2\}$，选 D。

答案： A，$2y_1^2-y_2^2+y_3^2$。

思路： 正交矩阵的列是按顺序选取的特征向量。重排列会重排平方项系数，特征向量变号不会改变系数。

详细解答：

1. 记二次型矩阵为 $M$，原标准形说明

   $$Me_1=2e_1,\qquad Me_2=e_2,\qquad Me_3=-e_3.$$

2. 新矩阵的列依次为 $e_1,-e_3,e_2$，对应特征值依次为 $2,-1,1$。例如 $M(-e_3)=-(-e_3)$，所以负号不会把特征值 $-1$ 改成 $1$。

3. 新列仍两两正交且为单位向量，故 $Q^TMQ=\operatorname{diag}(2,-1,1)$，标准形为 $2y_1^2-y_2^2+y_3^2$。

答案： $48$。

思路： 参数曲线先求 $\mathrm dy/\mathrm dx$，再对参数求导并除以 $\mathrm dx/\mathrm dt$。

详细解答：

1. 有 $x'_t=1/(1+t^2),y'_t=3+3t^2$，因此

   $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{3(1+t^2)}{1/(1+t^2)}=3(1+t^2)^2.$$

2. 二阶导数为

   $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{\mathrm d[3(1+t^2)^2]/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt} =12t(1+t^2)^2.$$

3. 代入 $t=1$ 得 $12\cdot4=48$。对参数求导后必须再除以 $x'_t$，否则不是关于 $x$ 的二阶导数。

答案： $\displaystyle f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln2)^{n-2}$，$n\ge2$；$f(0)=f'(0)=0$。

思路： 展开 $2^x=e^{x\ln2}$，读出 $x^n$ 的系数，再乘以 $n!$。

详细解答：

1. 指数函数展开为

   $$f(x)=x^2e^{x\ln2} =x^2\sum_{j=0}^\infty\frac{(\ln2)^j}{j!}x^j.$$

2. 当 $n\ge2$ 时，$x^n$ 的系数来自 $j=n-2$，等于 $(\ln2)^{n-2}/(n-2)!$。泰勒系数等于 $f^{(n)}(0)/n!$，所以

   $$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(n-2)!}(\ln2)^{n-2} =n(n-1)(\ln2)^{n-2}.$$

3. 展开式没有常数项与一次项，因此 $f(0)=f'(0)=0$。

答案： $2$。

思路： 将不随积分变量变化的因子 $x$ 提到积分号外，再用乘积法则与变上限积分求导。

详细解答：

1. 写成 $\varphi(x)=x\int_0^{x^2}f(t)\,\mathrm dt$。由 $\varphi(1)=1$，得 $\int_0^1f(t)\,\mathrm dt=1$。

2. 因 $f$ 连续，可用微积分基本定理，得到

   $$\varphi'(x)=\int_0^{x^2}f(t)\,\mathrm dt +x\cdot f(x^2)\cdot2x.$$

3. 代入 $x=1$ 与 $\varphi'(1)=5$，得 $5=1+2f(1)$，所以 $f(1)=2$。

答案： $y=2e^x+e^{-2x}$。

思路： 极值条件给出两个初值 $y(0)=3,y'(0)=0$，据此确定齐次方程通解中的常数。

详细解答：

1. 特征方程为 $r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0$，所以通解是

   $$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}.$$

2. 在 $x=0$ 取得极值 $3$，故 $C_1+C_2=3$。可导函数内部极值点的导数为零，又有 $C_1-2C_2=0$。

3. 联立得 $C_1=2,C_2=1$。所得函数满足 $y''(0)=2+4=6>0$，确实在 $0$ 取得极小值 $3$，所以答案满足全部条件。

答案： $\displaystyle\mathrm dz=-\frac13\,\mathrm dx-\frac23\,\mathrm dy$。

思路： 先确定原点处的 $z$，再对方程取全微分。

详细解答：

1. 代入 $x=y=0$，得到 $e^{3z}=1$，故 $z=0$。

2. 全微分为

   $$e^{x+2y+3z}(\mathrm dx+2\,\mathrm dy+3\,\mathrm dz) +yz\,\mathrm dx+xz\,\mathrm dy+xy\,\mathrm dz=0.$$

3. 在 $(0,0,0)$ 处，乘积项全部为零，得到 $\mathrm dx+2\,\mathrm dy+3\,\mathrm dz=0$。$\mathrm dz$ 的系数非零，解出所填结果。

答案： $21$。

思路： 矩阵多项式作用于特征向量时，对应特征值也代入同一个多项式；行列式等于特征值之积。

详细解答：

1. 若 $Av=\lambda v$，则

   $$Bv=(A^2-A+E)v=(\lambda^2-\lambda+1)v.$$

2. $A$ 有三个不同特征值 $2,-2,1$，因此有完整特征向量基。$B$ 在该基下的特征值分别为

   $$2^2-2+1=3,\quad(-2)^2-(-2)+1=7,\quad1^2-1+1=1.$$

3. 所以 $|B|=3\cdot7\cdot1=21$。

答案： $a=-1,b=-1/2,k=-1/3$。

思路： 要与三次项等价，函数的一次、二次项必须消失，三次项系数必须等于 $k$。

详细解答：

1. 在 $x\to0$ 时，

   $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+o(x^3),\qquad x\sin x=x^2+o(x^3).$$

2. 代入得到

   $$f(x)=(1+a)x+\left(-\frac a2+b\right)x^2+\frac a3x^3+o(x^3).$$

3. 等价要求 $f(x)/(kx^3)\to1$，其中 $k\ne0$，故

   $$1+a=0,\qquad-\frac a2+b=0,\qquad k=\frac a3.$$

   依次解出 $a=-1,b=-1/2,k=-1/3$。此时 $f(x)=-x^3/3+o(x^3)$，验证了等价关系。

答案： $\displaystyle A=\frac8{\pi}$。

思路： 绕 $x$ 轴用圆盘法，绕 $y$ 轴用柱壳法，再令体积相等。

详细解答：

1. 绕 $x$ 轴旋转，截面圆盘半径为 $A\sin x$：

   $$V_1=\pi A^2\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,\mathrm dx.$$

   用 $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$，积分为 $\pi/4$，所以 $V_1=\pi^2A^2/4$。

2. 绕 $y$ 轴旋转，柱壳半径为 $x$、高度为 $A\sin x$：

   $$V_2=2\pi A\int_0^{\pi/2}x\sin x\,\mathrm dx.$$

   分部积分得 $\int x\sin x\,\mathrm dx=-x\cos x+\sin x$，代入两端得 $1$，所以 $V_2=2\pi A$。

3. 由 $\pi^2A^2/4=2\pi A$，并用 $A>0$ 约去 $\pi A$，得到 $\pi A/4=2$，因此 $A=8/\pi$。

答案： 在 $(0,-1)$ 取得极小值 $-1$，无极大值。

思路： 逐步积分恢复函数，再解驻点并检查二阶导数。

详细解答：

1. 对 $f_{xy}=2(y+1)e^x$ 关于 $y$ 积分，得

   $$f_x=e^x(y^2+2y)+g(x).$$

   条件 $f_x(x,0)=(x+1)e^x$ 给出 $g(x)=(x+1)e^x$。

2. 再对 $x$ 积分，利用 $\int(x+1)e^x\,\mathrm dx=xe^x$，得到

   $$f=e^x(y^2+2y+x)+h(y).$$

   代入 $f(0,y)=y^2+2y$，得 $h(y)=0$，所以 $f=e^x(y^2+2y+x)$。

3. 一阶偏导为

   $$f_x=e^x\bigl(x+(y+1)^2\bigr),\qquad f_y=2e^x(y+1).$$

   因 $e^x>0$，驻点条件先给出 $y=-1$，再给出 $x=0$，只有一个驻点。

4. 二阶偏导为

   $$f_{xx}=e^x\bigl(x+(y+1)^2+1\bigr),\quad f_{xy}=2e^x(y+1),\quad f_{yy}=2e^x.$$

   在 $(0,-1)$ 处为 $1,0,2$，二阶导数矩阵正定，因此是极小值点。函数值为 $f(0,-1)=-1$。函数在整个平面可导，内部极值必须是驻点，而唯一驻点已确定为极小值点，所以无极大值。

答案： $\displaystyle\frac\pi4-\frac25$。

思路： 区域关于 $y$ 轴对称，先消去奇函数项 $xy$；剩余积分按竖直截面计算。

详细解答：

1. 在变换 $x\mapsto-x$ 下，区域不变，$xy$ 变号，因此 $\iint_Dxy\,\mathrm dx\,\mathrm dy=0$，原积分只剩 $\iint_Dx^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy$。

2. 联立 $y=x^2$ 与 $x^2+y^2=2$，得 $x^4+x^2=2$。令 $u=x^2\ge0$，则 $(u-1)(u+2)=0$，所以交点为 $(\pm1,1)$。区域为

   $$-1\le x\le1,\qquad x^2\le y\le\sqrt{2-x^2}.$$

3. 对 $y$ 积分并利用偶性：

   $$I=2\int_0^1x^2\sqrt{2-x^2}\,\mathrm dx-2\int_0^1x^4\,\mathrm dx.$$

4. 第一项令 $x=\sqrt2\sin t$，$0\le t\le\pi/4$，得到

   $$2\int_0^1x^2\sqrt{2-x^2}\,\mathrm dx =8\int_0^{\pi/4}\sin^2t\cos^2t\,\mathrm dt =\int_0^{\pi/4}(1-\cos4t)\,\mathrm dt=\frac\pi4.$$

   第二项为 $2/5$，所以 $I=\pi/4-2/5$。

答案： $2$ 个零点。

思路： 求导确定单调区间，再在每个区间上利用符号与连续性确定零点数量。

详细解答：

1. 对两个变限积分求导：

   $$f'(x)=-\sqrt{1+x^2}+2x\sqrt{1+x^2} =(2x-1)\sqrt{1+x^2}.$$

   根号始终为正，所以 $f$ 在 $(-\infty,1/2)$ 严格递减，在 $(1/2,\infty)$ 严格递增。

2. $f(1)=0$。因为 $1>1/2$ 且右侧严格递增，右侧区间恰有这个零点，并且 $f(1/2)<f(1)=0$。

3. 在 $x=-1$ 时，第二个积分上下限都为 $1$，因此

   $$f(-1)=\int_{-1}^1\sqrt{1+t^2}\,\mathrm dt>0.$$

   $f$ 连续，故在 $(-1,1/2)$ 内至少有一个零点。左侧严格递减，保证最多一个。

4. 最小值点 $1/2$ 的函数值为负，不是零点。两侧各有一个，因此一共 $2$ 个。

答案： 还需冷却 $30$ 分钟。

思路： 用牛顿冷却方程描述温差的指数衰减，先由已知温度确定衰减率，再计算达到目标温度的时间。

详细解答：

1. 令 $t$ 的单位为分钟，物体温度为 $T(t)$。介质温度恒为 $20$，且温度在降低，所以可写

   $$T'=-k(T-20),\qquad k>0.$$

   分离变量积分得 $T-20=Ce^{-kt}$。

2. 初值 $T(0)=120$ 给出 $C=100$。由 $T(30)=30$，

   $$10=100e^{-30k},\qquad e^{-30k}=\frac1{10}.$$

3. 目标 $T(t)=21$ 要求 $1=100e^{-kt}$，即 $e^{-kt}=1/100=(e^{-30k})^2=e^{-60k}$。因此从开始冷却算起需要 $60$ 分钟。

4. 已经冷却了 $30$ 分钟，所以还需 $60-30=30$ 分钟。