2021年考研数学二真题

答案： C，是 $x^7$ 的高阶无穷小。

思路： 先求积分的首项，再与 $x^7$ 相除。

详细解答：

1. 因 $e^{t^3}-1=t^3+o(t^3)$，积分得

   $$\int_0^{x^2}(e^{t^3}-1)\,\mathrm dt =\frac{(x^2)^4}4+o(x^8)=\frac{x^8}4+o(x^8).$$

2. 除以 $x^7$ 后为 $x/4+o(x)$，趋于零，正好是高阶无穷小的定义，选 C。

答案： D，可导且导数为 $1/2\ne0$。

思路： 展开指数到二次项，得到原点附近的函数变化，再计算差商。

详细解答：

1. 对 $x\ne0$，由 $e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)$，

   $$f(x)=1+\frac x2+o(x).$$

   所以 $\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0)$，函数连续。

2. 差商为 $(f(x)-f(0))/x=1/2+o(1)$，故 $f'(0)=1/2$。

3. 可导函数在内部极值点的导数应为零，这里导数非零，故 A、B 的极值判断不成立，C 的导数数值也不成立。

答案： C，分别为 $-100\pi\,\mathrm{cm^3/s}$、$40\pi\,\mathrm{cm^2/s}$。

思路： 半径和高都在变化，对体积与完整表面积使用乘积法则。

详细解答：

1. 令半径为 $r(t)$，高为 $h(t)$，则 $r'=2,h'=-3$。体积 $V=\pi r^2h$，因此

   $$V'=\pi(2rr'h+r^2h') =\pi(2\cdot10\cdot2\cdot5+100\cdot(-3))=-100\pi.$$

2. 表面积含两个底面及侧面，$S=2\pi r^2+2\pi rh$，所以

   $$S'=4\pi rr'+2\pi(r'h+rh') =80\pi+2\pi(10-30)=40\pi.$$

3. 对应题中单位，选 C。只算侧面积会遗漏两个底面随半径变化的贡献。

答案： A，$b/a>e$。

思路： 先按 $b$ 的符号判断可能的零点数；有两个零点需要唯一最小值低于横轴。

详细解答：

1. 定义域为 $x>0$，$f'=a-b/x$。若 $b\le0$，导数始终为正，函数严格增加，最多一个零点，不符合题设。

2. 若 $b>0$，导数在 $0<x<b/a$ 为负，在 $x>b/a$ 为正；且 $x\to0^+$、$x\to\infty$ 时函数都趋于正无穷。因此恰有两个零点当且仅当最小值严格小于零。

3. 最小值为

   $$f(b/a)=b-b\ln(b/a)=b\bigl(1-\ln(b/a)\bigr).$$

   因 $b>0$，要求 $\ln(b/a)>1$，即 $b/a>e$。等于 $e$ 时只有一个零点，不能包含端点。

答案： D，$a=0,b=1/2$。

思路： 用余弦的二次展开，再取倒数。

详细解答：

1. $\cos x=1-x^2/2+o(x^2)$，因此

   $$\sec x=\frac1{1-x^2/2+o(x^2)} =1+\frac{x^2}2+o(x^2).$$

2. 与二次泰勒多项式 $1+ax+bx^2$ 比较，得 $a=0,b=1/2$。

答案： C，$\mathrm df(1,1)=\mathrm dy$。

思路： 两条参数曲线都经过 $(1,1)$，分别求导得到该点两个偏导的线性方程。

详细解答：

1. 对 $f(t+1,e^t)=t(t+1)^2$ 求导，在 $t=0$ 处得到

   $$f_x(1,1)+f_y(1,1)=1.$$

   这里右端导数为 $(t+1)^2+2t(t+1)$。

2. 对 $f(t,t^2)=2t^2\ln t$ 求导，在 $t=1$ 处得到

   $$f_x(1,1)+2f_y(1,1)=2,$$

   右端导数为 $4t\ln t+2t$。

3. 联立得 $f_y(1,1)=1,f_x(1,1)=0$。函数可微，故全微分为 $0\,\mathrm dx+1\,\mathrm dy=\mathrm dy$。

答案： B。

思路： 黎曼和的权重是每个小区间长度，取样点可以选各段中点。

详细解答：

1. 将 $[0,1]$ 等分成 $n$ 段，段长为 $1/n$，第 $k$ 段中点是 $(2k-1)/(2n)$。因 $f$ 连续，中点黎曼和满足

   $$\int_0^1f(x)\,\mathrm dx =\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\frac{2k-1}{2n}\right).$$

2. A 的权重只有正确值一半，例如 $f=1$ 时结果为 $1/2$。C 把 $[0,1]$ 等分为 $2n$ 段并使用左端点 $(k-1)/(2n)$，但权重 $1/n$ 是实际段长 $1/(2n)$ 的两倍，所得极限是积分的两倍，例如 $f=1$ 时结果为 $2$。D 虽有正确区间内取样点，但权重总和为 $2n\cdot2/n=4$，例如 $f=1$ 时得到 $4$。所以只有 B 正确。

答案： B，正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $1$。

思路： 展开并配方，得到可逆变换下的一正一负平方项。

详细解答：

1. 展开得

   $$f=2x_2^2+2x_2(x_1+x_3)+2x_1x_3 =2\left(x_2+\frac{x_1+x_3}2\right)^2-\frac12(x_1-x_3)^2.$$

2. 令 $y_1=x_2+(x_1+x_3)/2,y_2=x_1-x_3,y_3=x_1+x_3$。由 $y_2,y_3$ 可恢复 $x_1,x_3$，再由 $y_1$ 恢复 $x_2$，所以变换可逆。

3. 变换后 $f=2y_1^2-y_2^2/2$，一个正平方项、一个负平方项、一个零系数。由惯性定理，指数分别为 $1,1$。

答案： D。

思路： 列向量能被另一组表示，意味着列空间包含；转置齐次方程的解则是与列空间正交的向量。

详细解答：

1. 题设给出 $A$ 的列空间包含在 $\beta_1,\beta_2$ 的张成空间中，因此也包含在 $B$ 的列空间中。

2. 若 $B^Tx=0$，则 $\beta_j^Tx=0$ 对全部 $j$ 成立。$A$ 的每列都是 $\beta_1,\beta_2$ 的线性组合，所以也与 $x$ 正交，即 $A^Tx=0$。因此 D 正确。

3. A、B 不能反向推。例如 $B=E,A=\operatorname{diag}(1,1,0)$ 满足题设，但 $x=(0,0,1)^T$ 满足 $Ax=A^Tx=0$，却不满足 $Bx=B^Tx=0$。

4. C 也不成立。例如取

   $$B=\operatorname{diag}(1,0,0),\qquad A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

   $A$ 的列仍可由 $\beta_1,\beta_2$ 表示，但 $x=(0,1,0)^T$ 满足 $Bx=0$，不满足 $Ax=0$。

答案： C。

思路： 左乘下三角矩阵完成行消元，右乘上三角矩阵再消去非对角元素。

详细解答：

1. 取 C 中的 $P$，其第二行操作为原第一行的 $2$ 倍减原第二行，第三行操作为原第一行的 $-3$ 倍加原第二行的 $2$ 倍再加原第三行。得到

   $$PA=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-3\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

2. 右乘 C 中的 $Q$，相当于把第一列加上第二列的 $3$ 倍再加到第三列，故

   $$PAQ=\operatorname{diag}(1,1,0).$$

   $P,Q$ 均是三角矩阵，对角元素非零，因此可逆。

3. A 只右乘该 $Q$，仍保留原矩阵第二行第一列的 $2$；B 只左乘该 $P$，仍有最后一列的 $-1,-3$；D 相乘后第一行第二列为 $2$。这些都不是对角矩阵，故选 C。

答案： $1/\ln3$。

思路： 被积函数为偶函数，化到正半轴后换元 $x^2\ln3$。

详细解答：

1. 有

   $$I=2\int_0^\infty x e^{-x^2\ln3}\,\mathrm dx.$$

2. 令 $u=x^2\ln3$，$\mathrm du=2x\ln3\,\mathrm dx$，得到

   $$I=\frac1{\ln3}\int_0^\infty e^{-u}\,\mathrm du=\frac1{\ln3}.$$

答案： $2/3$。

思路： 使用参数曲线二阶导数公式，计算指定参数处的四个导数。

详细解答：

1. $x'=2e^t+1,x''=2e^t$；$y'=4te^t+2t$，$y''=4(t+1)e^t+2$。

2. 在 $t=0$ 时，$x'=3,x''=2,y'=0,y''=6$。因 $x'\ne0$，

   $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{y''x'-y'x''}{(x')^3} =\frac{6\cdot3-0\cdot2}{27}=\frac23.$$

答案： $1$。

思路： 先确定对应 $z$，再用隐函数偏导公式。

详细解答：

1. 在 $(x,y)=(0,2)$ 处，方程为 $z+2\ln z=1$。$z=1$ 满足，且左边在 $z>0$ 上导数为 $1+2/z>0$，所以该值唯一。

2. 记方程左侧减右侧为 $F$，则

   $$F_x=z-\frac{2y}{1+4x^2y^2},\qquad F_z=x+1+\frac yz.$$

3. 在 $(0,2,1)$ 处分别为 $-3,3$，后者非零，所以 $z_x=-F_x/F_z=1$。

答案： $\displaystyle\frac\pi2\cos\frac2\pi$。

思路： 参数 $t$ 同时出现在外层积分上限 $t^2$ 和内层积分上限。可以先交换积分次序，把内层的三角函数对 $x$ 积分，再对变上限积分求导。

详细解答：

1. 在 $t=\pi/2$ 的某个邻域内有 $t>1$，积分涉及的 $y$ 均为正，被积函数连续，因此可以交换积分次序。原积分区域为

   $$D_t=\{(x,y):1\le x\le t^2,\ \sqrt x\le y\le t\}.$$

   固定 $y$ 时，$y$ 从 $1$ 到 $t$，$x$ 从 $1$ 到 $y^2$。所以

   $$f(t)=\int_1^t\mathrm{d}y\int_1^{y^2}\sin(x/y)\,\mathrm{d}x.$$

2. 对 $x$ 积分，把 $y$ 看作常数：

   $$\int_1^{y^2}\sin(x/y)\,\mathrm{d}x =[-y\cos(x/y)]_1^{y^2} =y\bigl(\cos(1/y)-\cos y\bigr).$$

   故

   $$f(t)=\int_1^t y\bigl(\cos(1/y)-\cos y\bigr)\,\mathrm{d}y.$$

3. 由变上限积分求导公式，得到

   $$f'(t)=t\bigl(\cos(1/t)-\cos t\bigr).$$

   代入 $t=\pi/2$，并用 $\cos(\pi/2)=0$，得

   $$f'(\pi/2)=\frac\pi2\cos\frac2\pi.$$

4. 也可直接求导核验。外层上限变化会产生一个边界项，但在 $x=t^2$ 处内积分的上下限都是 $t$，因此这一项为零；内层上限的导数给出

   $$f'(t)=2t\int_t^t\sin(t^2/y)\,\mathrm{d}y +\int_1^{t^2}\sin(x/t)\,\mathrm{d}x =[-t\cos(x/t)]_1^{t^2} =t\bigl(\cos(1/t)-\cos t\bigr),$$

   与换序计算一致。

易错点： 外层上限是 $t^2$，随参数变化；不能把它当作常数 $2$。交换次序时，$\sqrt x\le y$ 等价于 $x\le y^2$。

答案：

$$y=C_1e^x+e^{-x/2}\left(C_2\cos\frac{\sqrt3x}2+ C_3\sin\frac{\sqrt3x}2\right).$$

思路： 求三阶常系数齐次方程的特征根，复根用实指数乘正弦、余弦表示。

详细解答：

1. 特征方程为 $r^3-1=(r-1)(r^2+r+1)=0$，根为 $1,(-1\pm i\sqrt3)/2$。

2. 实根产生 $e^x$；共轭复根产生 $e^{-x/2}\cos(\sqrt3x/2)$ 与 $e^{-x/2}\sin(\sqrt3x/2)$。三个解独立，各乘任意常数相加就是答案。

答案： $-5$。

思路： 行列式每项选取每行、每列各一个元素。只列出能恰好含三个 $x$ 的排列。

详细解答：

1. 第二、三、四行只有各自对角位置含 $x$。第一行含 $x$ 的位置为第一、二、四列。

2. 若第一行选第一列的 $x$，其他行要得到三次项，就需恰好两个对角位置；但剩余那一行也只能选自己的对角列，结果会成为四次项，不能产生三次项。第一行选第三列的常数时，也不能从其他三行都选 $x$，因为第三列已经占用。

3. 第一行选第二列 $x$ 时，唯一三次项排列是 $(2,1,3,4)$，即乘积 $x\cdot1\cdot x\cdot x$。一次交换的符号为负，贡献 $-x^3$。

4. 第一行选第四列 $2x$ 时，唯一三次项排列是 $(4,2,3,1)$，乘积 $2x\cdot x\cdot x\cdot2$。其排列有 $5$ 个逆序，符号为负，贡献 $-4x^3$。

5. 合计三次项为 $-5x^3$，所求系数为 $-5$。

答案： $1/2$。

思路： 两个分式的主项都是 $1/x$，分别展开到常数项再相减，不能把它们的发散极限直接相减。

详细解答：

1. 在 $0$ 附近 $e^{t^2}=1+t^2+O(t^4)$，因此

   $$\int_0^xe^{t^2}\,\mathrm dt=x+\frac{x^3}3+O(x^5).$$

2. 又 $e^x-1=x+x^2/2+O(x^3)$，所以

   $$\frac{1+\int_0^xe^{t^2}\,\mathrm dt}{e^x-1} =\frac{1+x+O(x^3)}{x(1+x/2+O(x^2))} =\frac1x+\frac12+O(x).$$

3. 由 $\sin x=x+O(x^3)$，有 $1/\sin x=1/x+O(x)$。两式相减后为 $1/2+O(x)$，所以极限为 $1/2$。

答案： 凹向上（$f''>0$）区间为 $(-\infty,-1),(0,\infty)$；凹向下（$f''<0$）区间为 $(-1,0)$。渐近线为 $x=-1$、$y=-x+1$（左端）、$y=x-1$（右端）。

思路： 按绝对值分段后做多项式除法，同一表达式既方便求二阶导数，也方便找渐近线。

详细解答：

1. 定义域为 $\mathbb R\setminus\{-1\}$。在 $x<0$ 时，

   $$f(x)=-\frac{x^2}{1+x}=-x+1-\frac1{x+1},\qquad f''(x)=-\frac2{(x+1)^3}.$$

   因此在 $(-\infty,-1)$ 上为正，在 $(-1,0)$ 上为负。

2. 在 $x>0$ 时，

   $$f(x)=\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac1{x+1},\qquad f''(x)=\frac2{(x+1)^3}>0.$$

   在 $0$ 处 $f$ 连续，左右凹凸性不同，但二阶导数不存在，所以上述区间按 $0$ 分开。

3. 当 $x\to-1^-$ 时负支趋于正无穷，当 $x\to-1^+$ 时趋于负无穷，因此 $x=-1$ 是竖直渐近线。

4. 当 $x\to-\infty$ 时，$f(x)-(-x+1)=-1/(x+1)\to0$；当 $x\to+\infty$ 时，$f(x)-(x-1)=1/(x+1)\to0$。故两端斜渐近线分别如答案所示。

答案： $\displaystyle S=\frac{22}3$，$\displaystyle A=\frac{425\pi}9$。

思路： 对不定积分恒等式求导恢复函数，然后利用导数结构化简弧长因子。

详细解答：

1. 对两侧求导，得到 $f(x)/\sqrt x=x/3-1$，所以

   $$f(x)=\frac{x^{3/2}}3-\sqrt x,\qquad f'(x)=\frac{x-1}{2\sqrt x}.$$

2. 因 $x>0$，

   $$\sqrt{1+(f')^2} =\sqrt{\frac{4x+(x-1)^2}{4x}} =\frac{x+1}{2\sqrt x}.$$

3. 弧长为

   $$S=\int_4^9\frac{x+1}{2\sqrt x}\,\mathrm dx =\left[\frac{x^{3/2}}3+\sqrt x\right]_4^9 =12-\frac{14}3=\frac{22}3.$$

4. 在 $[4,9]$ 上 $f(x)=\sqrt x(x/3-1)>0$，所以旋转曲面半径就是 $f(x)$。表面积为

   $$A=2\pi\int_4^9f(x)\sqrt{1+(f')^2}\,\mathrm dx =\pi\int_4^9\left(\frac{x^2}3-\frac{2x}3-1\right)\mathrm dx.$$

5. 代入原函数，得

   $$A=\pi\left[\frac{x^3}9-\frac{x^2}3-x\right]_4^9 =\pi\left(45+\frac{20}9\right)=\frac{425\pi}9.$$

答案：（1）$y=1+x^6/3$；（2）$P=(1,4/3)$。

思路： 先用积分因子解一阶线性方程，再把法线的纵截距表示为点的横坐标的函数，通过导数确定最小值位置。

详细解答：

1. 求（1）。 因为 $x>0$，方程除以 $x$ 得

   $$y'-\frac6x y=-\frac6x.$$

   积分因子为 $e^{\int-6/x\,\mathrm{d}x}=x^{-6}$，两边乘以该因子，得到

   $$(x^{-6}y)'=-6x^{-7}.$$

   积分得 $x^{-6}y=x^{-6}+C$，即 $y=1+Cx^6$。

2. 将初值点 $x=\sqrt3$ 代入，有 $x^6=27$，因此

   $$10=1+27C,\qquad C=\frac13.$$

   所以 $y(x)=1+x^6/3$。代回原方程，$xy'-6y=2x^6-6-2x^6=-6$；代入 $x=\sqrt3$ 也确实得到 $10$。

3. 求（2）。 设曲线上一点为 $P=(x,1+x^6/3)$。曲线的切线斜率为 $y'=2x^5>0$，故法线斜率为 $-1/(2x^5)$。用大写 $(X,Y)$ 表示法线上变动的点，法线方程为

   $$Y-y=-\frac{X-x}{2x^5}.$$

   令 $X=0$，得到纵截距

   $$I(x)=1+\frac{x^6}{3}+\frac1{2x^4},\qquad x>0.$$

4. 对纵截距函数求导：

   $$I'(x)=2x^5-\frac2{x^5} =\frac{2(x^{10}-1)}{x^5}.$$

   分母为正，因此在 $0<x<1$ 时导数为负，在 $x>1$ 时导数为正。所以 $I$ 先减后增，唯一的全局最小值在 $x=1$ 处取得。

5. 将 $x=1$ 代入曲线，得到 $y=1+1/3=4/3$，故 $P=(1,4/3)$。此时最小纵截距为 $I(1)=1+1/3+1/2=11/6$，可以作为计算核验。

易错点： 初值点是 $\sqrt3$，其六次方是 $27$。纵截距是法线在 $X=0$ 时的 $Y$ 值，不是切点的纵坐标，也不是法线与坐标轴围成的面积。