2020年山东专升本高等数学Ⅱ真题

答案：C

无穷小量是极限为 $0$ 的变量。四个函数在 $0$ 处连续，可直接代入：$x^2+1\to1$，$\sqrt{x+1}\to1$，$\sin x\to0$，$\cos x\to1$。只有 C 符合。

答案：A

若 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时 $f(x)\to L$，则 $y=L$ 是水平渐近线。$e^x\to0$（$x\to-\infty$），所以 A 成立。$\ln x$ 在 $+\infty$ 发散，$\tan x$ 不存在该有限极限，$x^3$ 在正负无穷处均无有限极限。

答案：D

定积分对被积函数具有线性性，因此所求为 $3\int_a^bf(x)\,dx-2\int_a^bg(x)\,dx=3\times2-2\times1=4$，选 D。

答案：B

将 $y$ 的因子移到左侧：$e^y\,dy=(2x+\sin x)\,dx$。两边积分，$\int e^y\,dy=e^y$，$\int(2x+\sin x)\,dx=x^2-\cos x+C$，故选 B。该隐式解在右端为正的区间上给出实函数解。

答案：D

原区域为 $0\le y\le1$、$y^2\le x\le3-2y$。换成固定 $x$ 的竖线看，$y\ge0$，同时 $y\le\sqrt x$、$y\le(3-x)/2$。两条上边界在 $(1,1)$ 相交，故 $0\le x\le1$ 时上界为 $\sqrt x$，$1\le x\le3$ 时上界为 $(3-x)/2$。分为这两段积分即 D。

根号内须非负，而根式又在分母中，不能等于零，所以必须 $x-3>0$，即 $x>3$。定义域为 $(3,+\infty)$。

先计算内层：$g(\pi/4)=\tan(\pi/4)=1$；再代入外层：$f(1)=1^3+3\times1-2=2$。

函数在 $x=1$ 可导，切线斜率就是导数值。$y'=2+1/x$，故 $k=y'(1)=3$。

在 $[1,3]$ 上 $1/x>0$，所以面积直接是曲线下方的积分：$S=\int_1^3\frac1x\,dx=[\ln x]_1^3=\ln3$。

分别求两个偏导。固定 $y$ 得 $z_x=2x\arctan(2y)$；固定 $x$，由复合函数求导得 $z_y=x^2\cdot2/(1+4y^2)$。代入 $dz=z_xdx+z_ydy$ 即得答案。

直接代入出现无穷大之差，应先通分。因 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，原式在 $x\ne2,1$ 时等于 $\frac{1-(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{2-x}{(x-1)(x-2)}=-\frac1{x-1}$。于是极限为 $-1$。约去的是趋近过程中的非零因子，并非在 $x=2$ 代除零式。

分子分母同时趋于 $0$，且分子由微积分基本定理可导。用洛必达法则：$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin^2t\,dt}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{3x^2}=\frac13\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x\right)^2=\frac13$。

连续要求左右极限都等于函数值 $f(0)=1$。右极限为 $-b$，左极限为 $a+b$，故 $-b=1$、$a+b=1$。先得 $b=-1$，再得 $a=2$。代回后两个单侧极限都为 $1$，满足连续。

原被积函数要求 $x>0$。拆为 $\int\frac1x\,dx+\int\ln x\frac{dx}x$。第一项为 $\ln x$；第二项令 $u=\ln x$，$du=dx/x$，得 $u^2/2$。所以结果为 $\ln x+\frac12(\ln x)^2+C$。求导得到 $(1+\ln x)/x$，可作检验。

取 $u=x-1$，$dv=\cos x\,dx$，则 $du=dx$、$v=\sin x$。由分部积分，原积分 $=[(x-1)\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=(\pi/2-1)-1=\pi/2-2$。

方程为一阶线性方程，积分因子是 $e^{\int1dx}=e^x$。两边乘以 $e^x$ 得 $(e^xy)'=e^{2x}+e^x$。积分得 $e^xy=\frac12e^{2x}+e^x+C$，除以 $e^x$ 即 $y=\frac12e^x+1+Ce^{-x}$。代回可见 $y'+y=e^x+1$。

先固定 $x$ 对 $y$ 求导：$z_y=x\cos(y/x)\cdot1/x=\cos(y/x)$。再固定 $y$ 对 $x$ 求导：$z_{yx}=-\sin(y/x)\cdot(-y/x^2)=\frac{y}{x^2}\sin(y/x)$。在 $x\ne0$ 的区域函数光滑，混合偏导可交换。

三条直线的交点为 $(0,0)$、$(1,5)$、$(3,3)$。用竖线分割，$0\le x\le1$ 时 $x\le y\le5x$，$1\le x\le3$ 时 $x\le y\le6-x$。因此积分为

$$\int_0^1dx\int_x^{5x}xy\,dy+\int_1^3dx\int_x^{6-x}xy\,dy=\int_0^1 12x^3\,dx+\int_1^3(18x-6x^2)\,dx.$$

第一项为 $3$，第二项 $=[9x^2-2x^3]_1^3=20$，合计 $23$。

收入是单价乘销量 $R=pQ$，利润为收入减成本：$L(p)=p(45-3p)-[20+3(45-3p)]=-3p^2+54p-155$。要求价格、销量非负时 $0\le p\le15$。配方得 $L(p)=-3(p-9)^2+88$，因此在可行区间内 $p=9$ 时全局最大，最大利润为 $88$ 万元，对应销量 $18$ 吨。

目标式中的系数提示考察 $x^2f(x)$，因为 $(x^2f(x))'=x[2f(x)+xf'(x)]$。令 $F(x)=x^2f(x)$，它在 $[1,2]$ 连续、$(1,2)$ 可导，且 $F(1)=f(1)=4f(2)=F(2)$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(1,2)$ 使 $F'(\xi)=0$，即 $\xi[2f(\xi)+\xi f'(\xi)]=0$。因 $\xi>1$ 非零，除以 $\xi$ 得所证。