2024年山东专升本高等数学Ⅱ真题

答案：D

正弦对所有实数有定义，限制来自根号：$3-x\ge0$，即 $x\le3$。端点使根号为零，允许取到，故选 D。

答案：C

无穷小量的极限应为 $0$。前三项极限分别为 $1,1,0$。D 在实数范围接近 $0$ 时只能从左侧考虑，函数值趋于 $\arcsin1=\pi/2$，也不为零。所以选 C。

答案：C

分母在 $x=3$ 为零而分子为 $4\ne0$。$x\to3$ 时函数的单侧极限无穷，因此 $x=3$ 是垂直渐近线。也可写成 $y=1+4/(x-3)$ 直接观察，选 C。

答案：B

令 $u=2x-t$，$dt=-du$。当 $t=0$ 时 $u=2x$，当 $t=2x$ 时 $u=0$，所以 $F(x)=\int_{2x}^0f(u)(-du)=\int_0^{2x}f(u)du$。由微积分基本定理和链式法则，$F'(x)=2f(2x)$，选 B。此换元避免对只知连续的 $f$ 直接求导。

在 $0$ 附近底数为正，取对数，得 $\frac4{\sin x}\ln(1+x/2)=2\frac{x}{\sin x}\frac{\ln(1+x/2)}{x/2}\to2$。再取指数，原极限为 $e^2$。

$f'(x)=1/(1+x^2)+3(x-2)^2$，再求导得 $f''(x)=-2x/(1+x^2)^2+6(x-2)$。代入 $1$ 为 $-2/4-6=-13/2$。

设 $A=\int_a^bf(x)dx$、$B=\int_a^bg(x)dx$，则 $A+3B=8$、$2A-B=2$。第二式给 $B=2A-2$，代入得 $7A=14$，所以 $A=B=2$，所求 $A+B=4$。

在 $2x+3y>0$ 的定义域上，分别求偏导得 $z_x=2/(2x+3y)$、$z_y=3/(2x+3y)$。函数可微，故 $dz=z_xdx+z_ydy$，即所列结果。

第一条圆弧满足 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$，在 $1\le x\le2$、$0\le y\le1$ 内解为 $x=1+\sqrt{2y-y^2}$。第二条圆弧为 $(x-2)^2+y^2=1$，右侧分支为 $x=2+\sqrt{1-y^2}$。整个区域 $0\le y\le1$，水平截线从第一圆弧到第二圆弧，故得到答案。

分子乘共轭，原式等于 $\frac{6x}{x(\sqrt{4+3x}+\sqrt{4-3x})}=\frac6{\sqrt{4+3x}+\sqrt{4-3x}}$。取极限，得 $6/(2+2)=3/2$。

分子分母均为零。第一次洛必达得 $(e^{x-1}-1)/(-1+1/x)$，仍为 $0/0$。第二次洛必达得 $e^{x-1}/(-1/x^2)$，在 $x=1$ 的值为 $-1$。原式在 $1$ 附近要求 $x>0$，满足对数定义域条件。

指数函数导数为 $(2^x)'=2^x\ln2$，故 $y'=2^x\ln2+2x-2$，$y'(1)=2\ln2$。用点斜式，切线为 $y-1=2\ln2(x-1)$。

对 $\int xe^{3x}dx$ 取 $u=x$、$dv=e^{3x}dx$，则 $v=e^{3x}/3$，得到 $xe^{3x}/3-\int e^{3x}/3dx=xe^{3x}/3-e^{3x}/9$。另 $\int\cos xdx=\sin x$。合并并加任意常数得答案。

在 $[-1,0]$ 上 $|x|=-x$，分子为 $-2x-2$；在 $[0,1]$ 上分子为 $-2$。所以积分为 $-2\int_{-1}^0\frac{x}{1+x^2}dx-2\int_{-1}^1\frac1{1+x^2}dx$。第一项 $=-[\ln(1+x^2)]_{-1}^0=\ln2$；第二项 $=-2[\arctan x]_{-1}^1=-\pi$，结果 $\ln2-\pi$。

对数要求 $x>0$。观察左端前两项正好是 $[(1+x^3)y]'$，故方程化为 $[(1+x^3)y]'=\ln x$。积分得 $(1+x^3)y=x\ln x-x+C$，因 $x>0$ 时分母非零，除以 $1+x^3$ 得通解。

半圆与两直线的有效交点分别为 $(\sqrt2/2,\sqrt2/2)$、$(1,0)$，两直线交点为 $(2,2)$。按 $x$ 分段：当 $\sqrt2/2\le x\le1$，下界半圆、上界 $x$；当 $1\le x\le2$，下界 $2x-2$、上界 $x$。因此

$$I=\int_{\sqrt2/2}^1(x^2-x\sqrt{1-x^2})dx+\int_1^2(2x-x^2)dx.$$

第一项的原函数是 $x^3/3+(1-x^2)^{3/2}/3$，得 $1/3-\sqrt2/6$；第二项为 $2/3$。合计 $1-\sqrt2/6$。

两直线相交于 $(-1/2,1/2)$。根式曲线与 $y=-x$ 的有效交点只有 $(0,0)$，与 $y=x+1$ 相切于 $(1,2)$。在 $[-1/2,0]$ 上，上界 $x+1$、下界 $-x$；在 $[0,1]$ 上，上界 $x+1$、下界 $2\sqrt x$。所以 $S=\int_{-1/2}^0(2x+1)dx+\int_0^1(x+1-2\sqrt x)dx=1/4+1/6=5/12$。

解 $f_x=6x^2+12y-30=0$、$f_y=12x-6y=0$，由 $y=2x$ 得 $x^2+4x-5=0$，驻点为 $(1,2)$、$(-5,-10)$。二阶偏导为 $A=12x$、$B=12$、$C=-6$，判别式 $AC-B^2=-72x-144$。在 $(1,2)$ 为 $-216<0$，是鞍点；在 $(-5,-10)$ 为 $216>0$ 且 $A=-60<0$，故为极大值点，$f(-5,-10)=-250+600-300+150=200$。无其他驻点，所以无极小值。

设 $a<b$。由连续性及 $\int_a^b f(x)\,dx=0$，存在 $c\in[a,b]$ 使 $f(c)=0$：若 $f$ 不取零，连续性将迫使其在整个区间同号，与积分为零矛盾。分别在 $[a,c]$、$[c,b]$ 应用拉格朗日中值定理，并用 $|f'|\le M$，得到

$$|f(a)|\le M(c-a),\qquad |f(b)|\le M(b-c).$$

相加即得 $|f(a)|+|f(b)|\le M(b-a)$。若 $c$ 为端点，另一项直接由相应区间上的中值定理得到同一结论。

暂无。扫描只给出 f'(x)=e^(2x)，原函数含未知常数，无法唯一选项。