2025年山东专升本高等数学Ⅱ真题

答案：A

$e^x\to+\infty$，所以是无穷大量。$1/x\to0$；$\sin x$ 虽然振荡，但始终有界，不是无穷大量；$\arctan x\to\pi/2$，也为有限极限。选 A。

答案：B

左极限为 $1$，右极限和函数值均为 $\ln1=0$。两单侧极限都存在且有限，但不相等，所以是跳跃间断点，选 B。

答案：B

最高阶导数为 $y''$，方程阶数是 $2$。导数的平方不会把阶数变为四阶，函数本身的平方也不影响阶数。选 B。

答案：C

利用可导展开 $f(5+h)=f(5)+2h+o(h)$。取 $h=k\Delta x$ 和 $h=\Delta x$，相减后除以 $\Delta x$，极限为 $2k-2$（$k=0$ 时同样成立）。条件给出 $2(k-1)=3$，所以 $k=5/2$，选 C。

答案：D

在 $[0,\pi/4]$ 上 $\sin x\le\cos x$。又 $\sin x+\cos x\ge1$，因为二者非负且 $(\sin x+\cos x)^2=1+\sin2x\ge1$，故 $1-\cos x\le\sin x$。指数函数严格递增，所以 $e^{1-\cos x}\le e^{\sin x}\le e^{\cos x}$，积分后得 D。

先算 $f(1)=e^0=1$，再代入 $f[f(1)]=f(1)=1$。

参数曲线满足 $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)$，前提是 $dx/dt\ne0$。这里 $dx/dt=1-\sin t$、$dy/dt=3t^2+2$，在 $t=0$ 分母为 $1$、分子为 $2$，所以斜率为 $2$。

把 $x=0$ 代入函数，得到 $y(0)=(0-3)e^0+0+a\cdot0=-3$，与点 $(0,3)$ 的纵坐标不符。拐点必须在函数图像上，所以无论 $a$ 取何值，$(0,3)$ 都不是该函数图像上的点；不存在满足题面条件的 $a$。答案页给出的 $a=1/2$ 对应把点改为 $(0,-3)$，但扫描原卷明确印为 $(0,3)$，本稿不改写扫描题面。

令 $u=3x$，则 $dx=du/3$，上下限 $0,1$ 变为 $0,3$。因此 $\int_0^1f(3x)dx=\frac13\int_0^3f(u)du=1/3$。

边界 $x=\sqrt y$ 对应 $y=x^2$；另一条 $x=\sqrt{2y-4}$ 对应 $y=x^2/2+2$。交点由 $x^2=x^2/2+2$ 得 $x=2$（区域在右半平面），区域从 $x=0$ 延伸到 $2$。固定 $x$ 的竖线从 $y=x^2$ 到 $y=x^2/2+2$，所以积分如答案。

底数为 $1+2/(x+2)$。对数为 $(3x-1)\ln[1+2/(x+2)]$，利用 $\ln(1+u)\sim u$，其极限为 $\lim(3x-1)2/(x+2)=6$，原极限为 $e^6$。底数在足够大的绝对值处为正。

按变上限积分的标准写法，微分符号应为 $dt$。分子、分母均趋于0，应用洛必达法则：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{1-1/(1+x^2)}=\lim_{x\to0}(1+x^2)\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=1。$$

本地扫描将 $dt$ 印作 $dx$，工作稿作变量记号订正候选，待人工复核。

令 $u=2\ln x+3$，则 $du=2dx/x$。原积分为 $\frac12\int u^2du=u^3/6+C$。代回得 $(2\ln x+3)^3/6+C$，定义域为 $x>0$。

令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$、$dx=2tdt$，原积分为 $2\int_0^1t^3\arctan tdt$。分部积分取 $u=\arctan t$、$dv=2t^3dt$，得

$$I=\frac\pi8-\frac12\int_0^1\frac{t^4}{1+t^2}dt.$$

多项式除法给出 $t^4/(1+t^2)=t^2-1+1/(1+t^2)$，积分为 $1/3-1+\pi/4=-2/3+\pi/4$。代回，$I=\pi/8-\frac12(-2/3+\pi/4)=1/3$。

将原式视为 $F(x,y,z)=e^{2x+z}-x^2+y^2z=0$。$F_z=e^{2x+z}+y^2>0$，所以在每个已有解点隐函数偏导公式都适用。$F_x=2e^{2x+z}-2x$，$F_y=2yz$，故 $z_x=-F_x/F_z$、$z_y=-F_y/F_z$，得到答案。对 $y^2z$ 求 $y$ 的偏导时，固定 $z$ 的部分为 $2yz$，不能遗漏系数 $2$。

由于 $x^2+3>0$、$e^y>0$，可移项为 $e^y\,dy=\frac{2x}{x^2+3}dx$。两边积分得 $e^y=\ln(x^2+3)+C$。若写成显式，必须在 $\ln(x^2+3)+C>0$ 的区间取 $y=\ln[\ln(x^2+3)+C]$。任意常数位于内层对数之外但外层对数之内，不能直接写成 $\ln|\ln(x^2+3)|+C$，否则求导后不满足原方程。

圆弧方程为 $(x-1)^2+y^2=1$ 的上半部。在极坐标中 $r=2\cos\theta$；直线对应 $\theta=\pi/6$，原点端的圆弧切向对应 $\theta=\pi/2$。故 $\pi/6\le\theta\le\pi/2$、$0\le r\le2\cos\theta$。被积函数为 $r$，面积元为 $rdrd\theta$，所以

$$I=\int_{\pi/6}^{\pi/2}d\theta\int_0^{2\cos\theta}r^2dr=\frac83\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cos^3\theta d\theta.$$

原函数为 $\sin\theta-\sin^3\theta/3$，代入得 $(8/3)(2/3-11/24)=5/9$。

定义域为 $x>-2$。准确求导并合并有理项，得

$$f'(x)=2(x-2)\ln(x+2)+\frac{14}{x+2}.$$

令 $t=x+2>0$，则 $f'(x)=\frac2t[7+t(t-4)\ln t]$。当 $0<t\le1$ 时，$t(t-4)\le0$、$\ln t\le0$，括号内至少为 $7$；当 $t\ge4$ 时乘积非负，也为正。对 $1<t<4$，有 $t(4-t)\le4$、$\ln t<\ln4$，所以括号内 $7-t(4-t)\ln t>7-4\ln4>0$。最后一个不等式例如由 $\ln2<3/4$ 得 $4\ln4<6<7$。因此导数处处为正，原函数严格递增，无极大或极小值。

暂无。原卷条件不完整，无法可靠作答或编写解析。