2022年山东专升本高等数学Ⅱ真题

答案：B

与 $x$ 等价要求函数趋于 $0$ 且除以 $x$ 的比值趋于 $1$。$\ln(1+x)/x$、$\tan x/x$、$\arctan x/x$ 都趋于 $1$。$\cos x\to1$，本身不是无穷小，故选 B。

答案：C

用基本极限 $e^x-1\sim x$、$\sin3x\sim3x$，比值趋于 $x/(3x)=1/3$，选 C。也可将其写成 $\frac{e^x-1}{x}\cdot\frac{3x}{\sin3x}\cdot\frac13$。

答案：B

$y'=6x(x+1)$，驻点为 $-1$ 与 $0$。$y''=12x+6$，在 $x=0$ 时为正，故 $x=0$ 是极小值点；在 $-1$ 时为负，是极大值点。选 B。

答案：A

在定义域 $x+y>0$ 上，$z_x=z_y=1/(x+y)$，所以 A 等于 $1/(x+y)^2$。三个二阶偏导都等于 $-1/(x+y)^2$，因此 A 与其他三项不同。

答案：A

当 $0<x<1$ 时，$0<\sin(x^2)<x^2<x<\tan x$。这是因为正数 $u$ 有 $\sin u<u$，且 $x^2<x$，又在 $(0,\pi/2)$ 上 $\tan x>x$。在同一区间积分并用严格保序性，A 最小。

$3>2$，故先用第二段得 $f(3)=0$。然后 $0\le2$，再用第一段，$f(0)=|0-2|=2$。

$f(0)=3$，右极限也为 $3$。左极限为 $a\lim_{x\to0^-}(\sin x/x)^2=a$。连续要求 $a=3$。

先求导，再乘 $dx$。指数项由链式法则得 $(e^{2x})'=2e^{2x}$；余弦项为 $(\cos(x+1))'=-\sin(x+1)$。所以 $dy=[2e^{2x}-\sin(x+1)]dx$。注意余弦求导带负号。

边际成本定义为总成本对产量的导数。$C'(x)=8/(2\sqrt x)=4/\sqrt x$，代入 $x=4$ 得 $C'(4)=2$。

区域的最高点为 $(1,1)$，故 $0\le y\le1$。对固定 $y$，左侧抛物线 $y=x^2$ 给出 $x=\sqrt y$；右侧 $y=(x-2)^2$ 且 $1\le x\le2$，给出 $x=2-\sqrt y$。水平截线连接两边，得到所列积分。

乘以共轭式：$\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\frac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x+3-4}=\sqrt{x+3}+2$（$x\ne1$）。故极限为 $\sqrt4+2=4$。

底数为 $1+2/x$。取对数后指数为 $-3x\ln(1+2/x)$，利用 $\ln(1+u)/u\to1$，得其极限为 $-6$。指数函数连续，原极限为 $e^{-6}$。底数对足够大的正负 $x$ 均为正，双侧无穷的结论相同。

由链式法则 $y'=2xe^{x^2}+1$，故在 $x=0$ 处斜率为 $1$。切线通过 $(0,1)$，点斜式为 $y-1=1(x-0)$，即 $y=x+1$。

拆为两项。$\int x\cos x\,dx$ 用分部积分，取 $u=x$、$dv=\cos xdx$，得 $x\sin x-\int\sin xdx=x\sin x+\cos x$。又 $\int\sec^2xdx=\tan x$。合并并加任意常数得答案，在不穿过 $\cos x=0$ 的区间成立。

令 $t=\sqrt{x+1}$，则 $x=t^2-1$、$dx=2tdt$，上下限由 $0,3$ 变为 $1,2$。原积分为 $\int_1^2 2(t^2-1)dt=[\frac23t^3-2t]_1^2=\frac83$。

原方程分母要求 $x>0$、$|y|<1$。分离为 $dy/\sqrt{1-y^2}=dx/(2\sqrt x)$，两边积分得 $\arcsin y=\sqrt x+C$。若写成显式 $y=\sin(\sqrt x+C)$，还须限定在 $-\pi/2<\sqrt x+C<\pi/2$ 的区间，使 $\cos(\sqrt x+C)>0$；任意区间上无条件写正弦式可能不满足原方程。$y=\pm1$ 不是原方程的解，因为分母为零。

先说明公式适用于 $y\cos(yz)-1\ne0$ 的点，此时隐函数定理保证局部可微。固定 $y$ 对 $x$ 求导：$y\cos(yz)z_x=2x+z_x$，移项得 $z_x=2x/[y\cos(yz)-1]$。固定 $x$ 对 $y$ 求导：$\cos(yz)(z+yz_y)=z_y$，整理得 $z_y=z\cos(yz)/[1-y\cos(yz)]$。分母为零的点不能直接使用这些商式。

联立 $y=x^2$、$xy=1$ 得 $x^3=1$，交点为 $(1,1)$。在 $1\le x\le2$ 上，$1/x\le y\le x^2$。因此积分为 $\int_1^2dx\int_{1/x}^{x^2}(x^2-2y)dy$。内积分 $=[x^2y-y^2]_{1/x}^{x^2}=x^{-2}-x$，外积分为 $[-x^{-1}-x^2/2]_1^2=-1$。

曲线与斜线交点满足 $x+3\sqrt x=4$。令 $t=\sqrt x\ge0$，得 $(t-1)(t+4)=0$，故交点 $(1,1)$。在 $[1,4]$ 上上界为 $\sqrt x$，下界为 $(4-x)/3$。面积 $S=\int_1^4[\sqrt x-(4-x)/3]dx=[\frac23x^{3/2}-\frac43x+\frac16x^2]_1^4=19/6$。

令 $F(x)=\sin2x+4\tan x-6x$，则 $F(0)=0$。计算

$$F'(x)=2\cos2x+4\sec^2x-6=4\cos^2x+\frac4{\cos^2x}-8=\frac{4\sin^4x}{\cos^2x}.$$

在 $0<x<\pi/2$ 内，分子分母均为正，所以 $F'(x)>0$。$F$ 严格递增，故 $F(x)>F(0)=0$，即证。严格性来自 $\sin x\ne0$，不能只写非严格的均值不等式就结束。