2021年山东专升本高等数学Ⅱ真题

答案：D

在 $x\ne\pm2$ 时 $f(x)=1/(x-2)$。当 $x\to2^+$ 时趋于 $+\infty$，当 $x\to2^-$ 时趋于 $-\infty$，故 $x=2$ 是无穷间断点，选 D。这里不应将左右异号的发散写成存在一个双侧无穷极限。

答案：B

微分方程的阶由出现的未知函数导数的最高阶决定，而非该导数的幂次。最高导数为 $y''$，因此是二阶，选 B。

答案：C

求得 $y'=3x^2-6x$，$y''=6x-6$。二阶导在 $x=1$ 为零，且左侧为负、右侧为正，凹凸性确实改变。代入 $y(1)=1-3+3=1$，拐点为 $(1,1)$，选 C。

答案：A

先对 $x$ 求偏导时把 $y$ 看成常数：$z_x=\cos(xy)$。再对 $y$ 求导，$z_{xy}=-\sin(xy)\cdot x=-x\sin(xy)$。所以选 A。

答案：D

变上限积分对上限的导数是上限处的被积函数，再乘内层 $x^2$ 的导数。因此 $F'(x)=\frac{f(x^2)}{x^2}\cdot2x=\frac{2f(x^2)}x$，选 D。区间端点 $x=1$ 按右导数理解。

两个数列都有有限极限，可以应用乘法与加法法则。$\lim a_n^2=(\lim a_n)^2=1$，$\lim2b_n=4$，所以所求为 $1+4=5$。

将底数写成 $1-a/x$。对充分大的正 $x$ 底数为正，可取对数：$\ln[(1-a/x)^x]=x\ln(1-a/x)\to-a$，这里用 $\ln(1+u)\sim u$。故原极限为 $e^{-a}=2$，解得 $a=-\ln2$。

对 $x$ 隐式求导：$y+xy'+y'/y=0$，故 $y'=-y/(x+1/y)$。在 $(1,1)$ 处切线斜率为 $-1/2$，法线与切线垂直，法线斜率为 $2$。点斜式为 $y-1=2(x-1)$，即 $2x-y-1=0$。

曲线与 $x$ 轴在原点相交，$[0,4]$ 上曲线非负。于是 $S=\int_0^4\sqrt x\,dx=[\frac23x^{3/2}]_0^4=\frac23\cdot8=\frac{16}3$。

第一段上边界为 $y=1-\sqrt{1-x^2}$，等价于 $x=\sqrt{2y-y^2}$；第二段上边界为 $x=\sqrt{2-y^2}$。区域的 $y$ 从 $0$ 到 $1$。固定 $y$ 时，左边界是前一个圆弧，右边界是后一个圆弧，故 $I=\int_0^1dy\int_{\sqrt{2y-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}}f(x,y)\,dx$。

先通分：$\frac{x^2+2}{x-1}-x=\frac{x^2+2-x(x-1)}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}$。分子分母同除以 $x$，得到 $(1+2/x)/(1-1/x)\to1$。无论取正无穷或负无穷结果相同。

这是 $0/0$ 型。分子分母可导，先用一次洛必达法则：$\frac{3x^2}{1-\sec^2x}=-3\frac{x^2}{\tan^2x}$。再用 $\tan x/x\to1$，所求为 $-3$。不能直接以 $\tan x\sim x$ 替换差式 $x-\tan x$，因为一阶项正好抵消。

右侧根式有理化：$\frac{ax}{\sqrt{1+x}-1}=a(\sqrt{1+x}+1)$，所以右极限为 $2a$。左极限为 $b+2$。连续要求 $2a=2b+1=b+2$，由后两式得 $b=1$，再得 $2a=3$，即 $a=3/2$。

令 $u=\sin x$，则 $du=\cos x\,dx$，积分化为 $\int\frac{u^2}{1+4u^2}\,du$。分解 $\frac{u^2}{1+4u^2}=\frac14-\frac1{4(1+4u^2)}$，积分得 $u/4-\arctan(2u)/8+C$。代回 $u=\sin x$ 即得结果。

令 $t=\sqrt{2x-1}$，则 $x=(t^2+1)/2$、$dx=t\,dt$。当 $x=1,5$ 时 $t=1,3$。原积分为 $\int_1^3te^t\,dt$，分部积分的原函数为 $(t-1)e^t$，所以结果 $=[(t-1)e^t]_1^3=2e^3$。

先检查初值是否与微分方程相容。若 $y$ 在 $0$ 处可微，则方程应写成 $2yy'=(1+\cos x)(1+y^2)$。代入 $x=0,y=0$，左端为 $0$，右端为 $2$，矛盾，因此不存在这样的经典函数解。

形式上分离变量并积分，可得 $\int\frac{2y}{1+y^2}\,dy=\int(1+\cos x)\,dx$，即 $\ln(1+y^2)=x+\sin x+C$。代入点 $(0,0)$ 给出 $C=0$。此隐式曲线在 $x>0$ 附近的两支为 $y=\pm\sqrt{e^{x+\sin x}-1}$，并满足原方程，但接近 $0$ 时 $y\sim\pm\sqrt{2x}$，在 $0$ 处导数不为有限值。它不能作为经过初值点的可微函数特解。若将答案解释为允许竖直切线的隐式积分曲线，两种解释必须区分。

极值的必要条件是两个一阶偏导同时为零：$f_x=x^2+2-3y=0$，$f_y=-3x+3y=0$。由第二式 $y=x$，代入第一式得 $(x-1)(x-2)=0$，所以驻点为 $(1,1)$、$(2,2)$。二阶偏导 $A=f_{xx}=2x$、$B=f_{xy}=-3$、$C=f_{yy}=3$。判别式 $AC-B^2=6x-9$：在 $(1,1)$ 为 $-3<0$，是鞍点；在 $(2,2)$ 为 $3>0$ 且 $A=4>0$，是极小值点。代入 $f(2,2)=8/3+4-12+6=2/3$。可微函数的极值只能出现在驻点，故无极大值。

双曲线与两条直线的交点分别为 $(1,1)$、$(1/2,2)$，两直线在原点相交。按 $x$ 分段：$0\le x\le1/2$ 时 $x\le y\le4x$；$1/2\le x\le1$ 时 $x\le y\le1/x$。因此原积分为

$$\int_0^{1/2}18x^2\,dx+\int_{1/2}^1(1+x^{-2}-2x^2)\,dx.$$

第一项 $3/4$；第二项为 $[x-x^{-1}-\frac23x^3]_{1/2}^1=11/12$，合计 $5/3$。

总成本 $C(Q)=1000+20Q$，收入 $R(Q)=QP(Q)=200Q-Q^2$，故利润 $L(Q)=R-C=-Q^2+180Q-1000=7100-(Q-90)^2$。在销量与价格非负的区间 $0\le Q\le200$ 内，$Q=90$ 使平方项为零，利润最大为 $7100$ 万元。销量取整数时 $90$ 也可行。

目标式两边乘 $\cos(1-\xi)$，可改写为 $f'(\xi)\sin(1-\xi)-f(\xi)\cos(1-\xi)=0$，这是乘积 $f(x)\sin(1-x)$ 的导数。令 $F(x)=f(x)\sin(1-x)$，则 $F$ 满足罗尔定理的连续、可导条件，并且 $F(0)=0$、$F(1)=0$。故某个 $\xi\in(0,1)$ 使 $F'(\xi)=0$。因 $0<1-\xi<1<\pi/2$，$\cos(1-\xi)>0$，可以相除，得到 $f(\xi)=f'(\xi)\tan(1-\xi)$。