2020年山东专升本高等数学Ⅲ真题

答案：A

先看导数 $y'=\cos x$。在 $[0,\pi/2]$ 上导数非负、内部为正，因此函数递增；另外三个区间包含递减部分，均不满足。

答案：C

无穷小量是极限为 $0$ 的变量。分别代入连续函数，四个极限为 $1,1,0,1$，所以选 C。

答案：D

对 $x\ne0$，商法则为 $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$。令 $u=\cos x,v=x$，分子是 $(-\sin x)x-\cos x$，得到 D。

答案：A

这是 $\infty/\infty$ 型。分子分母分别求导，洛必达法则给出极限 $\lim_{x\to+\infty}(1/x)/1=0$，所以选 A。

答案：B

在 $x>0$ 上，$y'=3x^2+\tfrac12x^{-1/2}$，再乘 $dx$ 得 B。根式求导得到的是 $1/(2\sqrt{x})$，不能写成 $\sqrt{x}/2$。

答案：D

在被积函数连续的区间内，$\dfrac d{dx}\int_0^xg(t)dt=g(x)$。这里 $g(t)=\tan(t^2)$，上限为 $x$ 的导数等于 $1$，所以结果是 $\tan(x^2)$。

答案：C

$f(x)$ 是 $f'(x)$ 的一个原函数，不定积分表示全部原函数，故要加任意常数 $C$。选 C。

答案：B

原函数在 $x=1$ 无定义。对 $x\ne\pm1$ 约分为 $1/(x+1)$，于是 $x\to1$ 的极限为 $1/2$；有限极限存在而函数无定义，所以是可去间断点。

答案：C

两边对 $x$ 求导时，$y$ 也随 $x$ 变化：$e^yy'=1-y'$。移项得 $(e^y+1)y'=1$。因为 $e^y+1>0$，可除得 C。

答案：D

在第二个积分中令 $t=2x$，得 $\tfrac12\int_0^2f(t)dt=1$，所以 $\int_0^2f(t)dt=2$。再按 $0$ 分段相加，所求为 $2+2=4$。

实数范围内平方根要求被开方数非负，即 $x-3\ge0$，解得 $x\ge3$，端点 $3$ 可以取到。

切线斜率等于该点的导数。$y'=2/x$，故 $k=y'(1)=2$。

每求一次导数都要乘内函数 $2x$ 的导数 $2$。因此 $f'=2e^{2x}$，$f''=4e^{2x}$。

利用积分线性性，原式 $=3\int_0^1 f(x)dx-2\int_0^1 1dx=3\times2-2\times1=4$。

设原式为 $L$。在 $0$ 的充分小邻域底数为正，取对数得 $\ln L=\lim 3\ln(1-2x)/x=-6$，因为 $\ln(1+u)\sim u$。再取指数得 $L=e^{-6}$。

先检查复合有意义：$f(x)=1+2/(x-1)>1$。再把 $f(x)$ 代入外层：$f[f(x)]=\dfrac{(x+1)/(x-1)+1}{(x+1)/(x-1)-1}=\dfrac{2x/(x-1)}{2/(x-1)}=x$。所有分母在 $x>1$ 时非零。

分母因式分解为 $(x-2)(x-1)$。极限只看 $x\ne2$ 的邻近值，可约去 $x-2$，故所求为 $\lim_{x\to2}1/(x-1)=1$。

拆成 $\tfrac12[(e^x-1)/x+1]$。基本极限 $(e^x-1)/x\to1$，所以结果为 $(1+1)/2=1$。

连续要求左右极限都等于 $f(0)=2$。右极限用 $\sin x/x\to1$ 得 $a+b$；左极限是 $-a$。因此 $a+b=2,-a=2$，解得 $a=-2,b=4$。代回左右极限均为 $2$。

用乘积法则和链式法则：$y'=2x\ln(2x+1)+x^2\cdot2/(2x+1)$。在 $x=1$ 时，得到 $2\ln3+2/3$。

先在 $x\ne0$ 的区间拆成 $2\cos4x-3x^{-2}$。分别积分：$2\int\cos4x\,dx=\tfrac12\sin4x$，$-3\int x^{-2}dx=3/x$。加 $C$；对结果求导可回到原式。

令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2,dx=2t\,dt$，上下限为 $1,2$，原式 $=2\int_1^2(1+2\ln t)dt$。由 $\int\ln t\,dt=t\ln t-t$，得到 $2+4(2\ln2-1)=8\ln2-2$。换元时分母 $t$ 与 $dx$ 中的 $t$ 相消。

按题面合并同类项：$f(x)=2x^2-3x^2-12x+5=-x^2-12x+5=41-(x+6)^2$，所以在 $x=-6$ 取得极大值 $41$，没有极小值。答案页按 $2x^3-3x^2-12x+5$ 求导，与扫描题面不一致；本稿以扫描题面为准。

先求交点：$1/x=x$ 给 $x=1$；$1/x=x/4$ 给 $x=2$。区域从原点开始，$0\le x\le1$ 时上边界为 $x$，$1\le x\le2$ 时上边界为 $1/x$，下边界均为 $x/4$。故面积 $S=\int_0^1(3x/4)dx+\int_1^2(1/x-x/4)dx=3/8+\ln2-3/8=\ln2$。