2021年山东专升本高等数学Ⅲ真题

答案：D

对数的真数必须大于零，所以 $2-x>0$，解得 $x<2$，不能包含端点 $2$。

答案：C

若 $a=0$，极限为零不合题意；若 $a\ne0$，将原式写成 $\tfrac a2\cdot\sin(ax)/(ax)$，极限为 $a/2$。故 $a/2=1$，得 $a=2$。

答案：B

四项在 $x\to0$ 的极限分别是 $1,0,1,1$。只有 $1-e^x$ 趋于零，故选 B。

答案：C

当 $x\to0$ 时，分子趋于 $2$，分母 $x(x-1)$ 趋于零；左侧函数趋于 $+\infty$、右侧趋于 $-\infty$。至少一侧有无穷极限，因此是无穷间断点。

答案：A

$\tan u$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^2u$，再乘 $u=3x$ 的导数 $3$，所以 $dy=3\sec^2(3x)dx$。

答案：B

$f'(x)=e^x-5\ge0$ 当且仅当 $x\ge\ln5$。因此在 $[\ln5,+\infty)$ 上递增，选 B。

答案：A

原式为 $\infty/\infty$ 型，洛必达后得到 $1/[2\sqrt{x-1}e^x]\to0$。指数增长快于平方根，极限为零。

答案：D

令 $u=3x+2$，则 $dx=du/3$，故积分为 $F(u)/3+C$。代回得到 D；求导时外面的 $1/3$ 与链式法则产生的 $3$ 相消。

答案：C

正数平方保持大小，取倒数则反向，所以 $g^2>f^2>0$，而 $1/f>1/g$、$1/f^2>1/g^2$。连续严格不等式积分后仍严格成立，C 的方向相反。

答案：A

底数恒正，取对数得 $\ln y=x\ln(2+x^2)$。两边求导：$y'/y=\ln(2+x^2)+x\cdot2x/(2+x^2)$。再乘 $y$ 得 A。

先算内层 $g(0)=e^0=1$，再算外层 $f(1)=1/(1+1)=1/2$。

两个数列都有有限极限，可分别取极限并做线性运算，得到 $3\times2+2\times3=12$。

$f'=2^x\ln2+1$，再求导得 $f''=2^x(\ln2)^2$。常数和一次项的二阶导数均为零。

先用可加性求 $\int_2^4 f=5-2=3$，再交换上下限变号，故 $\int_4^2 f=-3$。

令 $u=x-t$，上下限从 $x$ 到 $0$，$dt=-du$，所以积分等于 $\int_0^x f(u)du$。由微积分基本定理，其导数为 $f(x)$。这里只要求连续，无需假设 $f'$ 存在。

不能分别取两个发散项的极限，应先通分。原式 $=\dfrac{x^2+2-(x+2)}{x(x+2)}=\dfrac{x(x-1)}{x(x+2)}=(x-1)/(x+2)$，因此极限为 $-1/2$。

左极限为 $b$，函数值为 $2b-e$；右极限用 $(1+ax)^{1/x}\to e^a$ 得 $e^a$。连续性要求 $b=2b-e=e^a$。前一等式得 $b=e$，再由 $e^a=e$ 得 $a=1$。

在 $x=0$ 邻域，$\sin x=x-x^3/6+o(x^3)$，因此分母 $x-\sin x=x^3/6+o(x^3)$。分子为 $x^3(1+x)$，约去阶数后极限为 $1/(1/6)=6$。不能把 $\sin x\sim x$ 直接用于相减并当分母为零。

$y'=1/[1+(1+x)^2]$，代 $x=0$ 得切线斜率 $1/2$。因此切线为 $y-\pi/4=x/2$；法线与切线垂直，斜率为负倒数 $-2$，所以法线为 $y-\pi/4=-2x$。

指数内部也是乘积：$(x^2y)'=2xy+x^2y'$。故两边求导为 $e^{x^2y}(2xy+x^2y')=1-y'$。收集 $y'$ 得 $(1+x^2e^{x^2y})y'=1-2xye^{x^2y}$；分母恒大于零，除得结论。

拆成 $\int x/(x^2+1)dx-3\int1/(x^2+1)dx$。第一项凑微分 $d(x^2+1)=2x\,dx$，为 $\tfrac12\ln(x^2+1)$；第二项是 $-3\arctan x$。因为 $x^2+1>0$，对数无需绝对值。

令 $t=\sqrt{x-1}$，则 $x=1+t^2,dx=2t\,dt$，上下限为 $0,1$。原式 $=2\int_0^1te^t dt=2[(t-1)e^t]_0^1=2$，其中分部积分取 $u=t,dv=e^t dt$。

在 $[\pi/4,\pi/2]$ 上区域的上边界是 $\sin x$、下边界是 $\cos x$，在 $[\pi/2,\pi]$ 下边界改为横轴。故面积 $S=\int_{\pi/4}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx=(1+\sqrt2/2)-(1-\sqrt2/2)=\sqrt2$。

定义域为 $x>-1$，求导并通分得 $f'=2x(kx+k-1)/(1+x)$。分母恒正，驻点为 $0$ 和 $r=1/k-1$，且 $r>-1$。当 $0<k<1$ 时 $r>0$，导数在 $(-1,0),(0,r),(r,+\infty)$ 依次为正、负、正，故 $0$ 极大、$r$ 极小；当 $k>1$ 时 $r<0$，导数在 $(-1,r),(r,0),(0,+\infty)$ 依次为正、负、正，故 $r$ 极大、$0$ 极小。当 $k=1$ 时两驻点重合，$f'=2x^2/(1+x)\ge0$，过零不变号，无极值点。若需极值，$f(0)=0$，$f(r)=-2\ln k+k-1/k$。