2022年山东专升本高等数学Ⅲ真题

答案：D

余弦对所有实数有定义，限制来自平方根：$4-x^2\ge0$，即 $-2\le x\le2$。故选 D。

答案：B

$f(x)=-|x|$ 的定义域关于原点对称且 $f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x)$，所以为偶函数。$1/x$ 和 $\tan x$ 是奇函数，$\ln x$ 的定义域不关于原点对称。

答案：C

逐项取极限得到 $0,0,-1,0$。C 的极限不为零，所以不是无穷小量。

答案：A

原函数在 $3$ 无定义；在其邻域且 $x\ne3$ 时，可约为 $x/(x+3)$，极限为 $3/6=1/2$。有限极限存在，所以为可去间断点。

答案：C

C 的导数为 $1-1/x$，在 $0<x<1$ 时为负。A、B 导数为 $1/x,e^x$，均正；D 导数 $e^x-1>0$。因此只有 C 递减。

答案：D

链式法则为 $dy/dx=(dy/du)(du/dx)$。外函数导数在 $u=x^3$ 处取值，内函数导数是 $3x^2$，相乘得 D。

答案：B

$e^x-1$ 与 $x$ 同号，故导数在 $(-\infty,0),(0,1),(1,+\infty)$ 上依次为正、负、正。$0$ 处由增到减，为极大值点；$1$ 处由减到增，为极小值点。

答案：A

原函数求一次导数才是 $f$：$f(x)=-2e^{-2x}$。题目问的是 $f'$，还需再求一次导数，得到 $4e^{-2x}$。

答案：B

B 可直接算得 $[x^2/2]_1^2=3/2>1$。A 为 $\ln2<1$；C 的被积函数不超过 $1$ 且不恒等于 $1$，积分小于 $1$；D 同理由 $\cos(x^2)\le1$ 且不恒等于 $1$ 得积分小于 $1$。

答案：D

在 $x>0$ 令 $u=\sqrt{x}$，则 $dx=2u\,du$，原式成为 $2\int f(u)du=2e^u\sin u+C$。代回得 D。

因为 $|5|>2$，先得 $f(5)=0$；又因为 $|0|\le2$，所以外层取 $f(0)=3$。

两个极限均存在且有限，可把乘积的极限写成极限的乘积：$2\times(-1)\times(-2)=4$。

分子分母同除 $x$，得到 $(1+\ln x/x)/(2+1/x)$。因为 $\ln x/x\to0$、$1/x\to0$，所以极限为 $1/2$。

先求导 $y'=-\sin3x\cdot3$，再按 $dy=y'dx$ 得 $-3\sin3x\,dx$。

记 $A=\int_0^1f$、$B=\int_1^2f$，则右侧积分为 $A+B$。等式变为 $A+4B=A+B+1$，消去 $A$ 得 $3B=1$，所以 $B=1/3$。

设原式为 $L$，当 $|x|$ 充分大时底数为正，取对数得 $\ln L=\lim2x\ln(1+1/(4x))=1/2$，用到 $\ln(1+u)\sim u$。故 $L=e^{1/2}$，正负无穷方向一致。

当 $x\to0$，$\arctan x\sim x$、$e^x-1\sim x$，所以极限为 $2x/x\to2$。也可对零比零型应用一次洛必达法则。

先写成 $y=2x+(x-1)^{-1}$，一次求导为 $y'=2-(x-1)^{-2}$，再求导得 $y''=2(x-1)^{-3}$。原函数在 $1$ 无定义。

左极限为 $1+b$；右极限由 $\sin x/x\to1$ 得 $a+b$。它们都应等于 $f(0)=0$，所以 $1+b=0,a+b=0$，解得 $b=-1,a=1$。

先确认 $(1,1)$ 满足原方程。隐函数求导得 $4x+2yy'=0$，所以该点斜率为 $y'=-2x/y=-2$。切线为 $y-1=-2(x-1)$，整理得 $2x+y-3=0$。

对 $\int2x\ln xdx$ 取 $u=\ln x,dv=2x dx$，则 $du=dx/x,v=x^2$，得 $x^2\ln x-\int xdx=x^2\ln x-x^2/2$。另有 $\int x^{-2}dx=-1/x$。相加并补任意常数，定义域为 $x>0$。

原函数为 $\tfrac23(x+1)^{3/2}-x^2/2$。上限值为 $16/3-9/2$，下限值为 $-1/2$，相减得到 $16/3-4=4/3$。根式在闭区间上连续，包括左端点。

对恒等式求导，注意上限 $2x$ 的导数：$2f(2x)=\cos x$。令 $u=2x$，得到 $f(u)=\tfrac12\cos(u/2)$。代回检验：$\int_0^{2x}\tfrac12\cos(t/2)dt=\sin x$，初始常数也满足。

两曲线交于 $x=0,k$。在 $(0,k)$ 上直线在上，在 $(k,2)$ 上抛物线在上，所以 $S=\int_0^k(x-x^2/k)dx+\int_k^2(x^2/k-x)dx=k^2/3+8/(3k)-2$。对参数求导：$S'=2k/3-8/(3k^2)=2(k^3-4)/(3k^2)$，在 $k=\sqrt[3]4\in(0,2)$ 左负右正，因此取得全局最小值。代入 $k^3=4$，$S_{\min}=k^2-2=2(\sqrt[3]2-1)$。