2024年山东专升本高等数学Ⅲ真题

答案：B

奇函数需满足 $f(-x)=-f(x)$，且定义域关于原点对称。$x^3$ 满足该条件；其余选项不满足。

答案：C

正弦函数满足 $\sin(x+2\pi)=\sin x$，所以是周期函数。其余三个函数在各自定义域上都不具有非零周期。

答案：A

$\sin x\sim x$，因此 $\sin^2x\sim x^2$。其余选项与 $x^2$ 的比不趋于 $1$。

答案：D

分子在 $x=1$ 处趋于 $-1$，分母 $(x-1)(x-2)$ 趋于 $0$，且左右两侧函数值无界，故为无穷间断点。

答案：A

这里 $f^2(5x)$ 表示 $[f(5x)]^2$。链式法则给出 $y'=2f(5x)\cdot f'(5x)\cdot5=10f(5x)f'(5x)$。

答案：B

$y''=60x^2(x-1)$。在 $x=1$ 两侧二阶导数变号，所以该处为拐点；$y(1)=4$，拐点为 $(1,4)$。$x=0$ 处二阶导数不变号。

答案：D

$I_2=0$，因为被积函数为奇函数。又在 $[-1,1]$ 上 $0<\cos x\le1$，所以 $0<I_1\le I_3$。因此 $I_2\le I_1\le I_3$。

答案：C

令 $t=1/x$，则 $dx=-dt/t^2$ 且 $1/x=t$。变换积分限 $x=1,2$ 对应 $t=1,1/2$，故积分为 $\int_{1/2}^1 f(t)/t\,dt$。原图选项A为 $\int_1^{1/2}f(x)/x\,dx$，上下限方向相反；选项C才与变换结果一致。

答案：B

由题意 $f(x)=-3e^{-3x}$。对 $e^{-3x}(x+1/3)$ 求导，得 $e^{-3x}-3e^{-3x}(x+1/3)=-3xe^{-3x}=xf(x)$。

答案：C

令 $u=(3+2\cos x)^x$，取对数得 $\ln u=x\ln(3+2\cos x)$。求导后 $u'/u=\ln(3+2\cos x)-2x\sin x/(3+2\cos x)$，故选C。

极限的四则运算给出 $2\cdot(-3+1)=-4$。

取对数后极限为 $a\lim_{x\to0}\ln(1+3x)/x=3a$。故 $e^{3a}=e$，得到 $a=1/3$。

$y'=2e^{2x-1}+2x$，在 $x=1/2$ 时切线斜率为 $3$，故法线斜率为其负倒数 $-1/3$。

设 $A=\int_1^2f(x)dx$、$B=\int_2^3f(x)dx$。解线性方程组 $A+2B=2$、$2A-B=1$，得到 $A=4/5,B=3/5$。所以所求为 $A+B=7/5$，与答案页一致。

令 $u=x+t$，原积分为 $\int_x^{x+2}(u-x)f(u)du$。由莱布尼茨公式求导：$2f(x+2)-\int_x^{x+2}f(u)du=2x$。代入 $x=0$ 和 $f(2)=3$，得 $\int_0^2f(u)du=6$。只用到题设的连续性。

通分并因式分解：$\dfrac1{x(x-1)}-\dfrac2{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1-x}{x(x-1)(x+1)}=-\dfrac1{x(x+1)}$（$x\ne1$）。取极限得 $-1/2$。

展开到三次项：$\arctan x-x=-x^3/3+o(x^3)$，$\sin x-x=-x^3/6+o(x^3)$，两者相除得 $2$。

连续要求左、右极限均为 $f(0)=2$，所以 $2a+b=2$、$a-b=2$。解得 $a=4/3,b=-2/3$。

对方程求导：$y'(\ln y+1)-\cos(xy)(y+xy')-1=0$。代入 $(0,1)$ 得 $y'-1-1=0$，所以切线斜率为 $2$。过 $(0,1)$ 的切线为 $y-1=2x$。

利用 $\tan^2x=\sec^2x-1$，被积函数写为 $2\sec^2x-x+3$，逐项积分即得。

分部积分取 $u=\ln(x^2+1)$、$dv=x^2dx$，得 $\frac13\ln2-\frac23\int_0^1\frac{x^4}{x^2+1}dx$。作除法 $x^4/(x^2+1)=x^2-1+1/(x^2+1)$，所以该积分为 $\left[\frac{x^3}{3}-x+\arctan x\right]_0^1=\frac\pi4-\frac23$。代回并合并得 $\frac13(\ln2-\frac\pi2+\frac43)$。

三曲线交点为 $(2/5,8/5)$、$(1/2,2)$、$(1,1)$。按题图围成的区域分段积分：$S=\int_{2/5}^{1/2}[4x-(-x+2)]dx+\int_{1/2}^{1}[1/x-(-x+2)]dx=\ln2-3/5$。

定义域为 $x>0$。求导化简得 $f'(x)=(4x-8)(\ln x-1)$，驻点为 $2,e$。二阶导数 $f''(x)=4\ln x-8/x$，有 $f''(2)=4(\ln2-1)<0$、$f''(e)=4(1-2/e)>0$，故 $x=2$ 为极大点，$x=e$ 为极小点。代入原函数得到对应极值。

（1）令 $F(x)=\int_0^xf(t)dt$。则 $F$ 在 $[0,1]$ 连续、在 $(0,1)$ 可导，且 $F(0)=F(1)=0$。由罗尔定理存在 $x_0\in(0,1)$ 使 $F'(x_0)=f(x_0)=0$。\n\n（2）分别在 $[0,x_0]$ 和 $[x_0,1]$ 用拉格朗日中值定理，结合 $f(x_0)=0$ 和 $|f'|\le M$，得到 $|f(0)|\le Mx_0$、$|f(1)|\le M(1-x_0)$。所以 $f^2(0)+f^2(1)\le M^2[x_0^2+(1-x_0)^2]\le M^2$，因为 $x_0\in(0,1)$。