2025山东专升本高等数学Ⅲ全卷预览

2025年山东专升本高等数学Ⅲ真题

2025年山东专升本高等数学Ⅲ真题完整试卷，包含 10 道选择题、5 道填空题和 9 道解答题，共 24 题，题目分值合计 100 分。可按目录阅读全卷，展开参考答案解析，或进入对应题目练习。

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24题全卷题目

100分题目分值合计

10题选择题 · 30分

5题填空题 · 15分

9题解答题 · 55分

选择题

10 题 · 共 30 分

第 1 题

高等数学Ⅲ

3 分

已知函数 $f(x)=\dfrac1{\sqrt{9-x^2}}$ ，则函数的定义域是（）。

A. $[-3,3]$

B. $(-3,3)$

C. $(3,+\infty)$

D. $(-\infty,3)$

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参考答案：B

答案：B

根号内要求 $9-x^2\ge0$ ，且分母不能为零，因此 $9-x^2>0$ ，即 $-3<x<3$ 。

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第 2 题

高等数学Ⅲ

3 分

在 $\mathbb R$ 上的增函数是（）。

A. $|x|$

B. $e^x$

C. $x^2$

D. $\cos x$

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参考答案：B

答案：B

$e^x$ 在整个实数域严格递增。 $|x|$ 和 $x^2$ 在零点两侧先减后增，余弦函数也不单调。

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第 3 题

高等数学Ⅲ

3 分

当 $x\to0$ 时，下列为无穷大量的是（）。

A. $\arctan x$

B. $\sin x$

C. $\dfrac1x$

D. $x^3$

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参考答案：C

答案：C

当 $x\to0$ 时， $1/x$ 的绝对值无界，其余三个函数都趋于有限值。

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第 4 题

高等数学Ⅲ

3 分

$y=\dfrac{3x+2}{x+5}$ 的水平渐近线是（）。

A. $y=-5$

B. $y=1$

C. $y=-3$

D. $y=3$

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参考答案：D

答案：D

分子、分母次数相同， $x\to\pm\infty$ 时函数极限等于最高次项系数之比 $3/1=3$ ，所以水平渐近线为 $y=3$ 。

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第 5 题

高等数学Ⅲ

3 分

已知 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导，且 $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+4h)-f(2+h)}h=6$ ，则 $f'(2)=$ （）。

A. $6$

B. $-6$

C. $2$

D. $-2$

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参考答案：C

答案：C

在 $x=2$ 附近展开， $f(2+4h)-f(2+h)=f'(2)(4h-h)+o(h)=3hf'(2)+o(h)$ 。除以 $h$ 后取极限得 $3f'(2)=6$ ，所以 $f'(2)=2$ 。

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第 6 题

高等数学Ⅲ

3 分

$y=y(x)$ 由 $e^y=\ln x-xy$ 所确定，则 $dy=$ （）。

A. $\dfrac{1-xy}{x(e^y+x)}dx$

B. $\dfrac{1+xy}{x(e^y+x)}dx$

C. $\dfrac{1-xy}{x(e^y-x)}dx$

D. $\dfrac{1+xy}{x(e^y-x)}dx$

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参考答案：A

答案：A

两边求导： $e^y y'=1/x-y-xy'$ 。整理为 $(e^y+x)y'=1/x-y=(1-xy)/x$ ，所以 $dy=y'dx=\dfrac{1-xy}{x(e^y+x)}dx$ 。

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第 7 题

高等数学Ⅲ

3 分

$I_1=\int_0^{\pi/4}\sin x^2dx$ ， $I_2=\int_0^{\pi/4}\sin x^3dx$ ， $I_3=\int_0^{\pi/4}\sin x^4dx$ ，则（）。

A. $I_1>I_2>I_3$

B. $I_3>I_2>I_1$

C. $I_3>I_1>I_2$

D. $I_2>I_1>I_3$

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参考答案：A

答案：A

在 $0<x<\pi/4<1$ 上， $x^2>x^3>x^4$ ；又正弦函数在该范围递增且为正，因此逐点有 $\sin x^2>\sin x^3>\sin x^4$ 。积分保持不等关系，故 $I_1>I_2>I_3$ 。

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第 8 题

高等数学Ⅲ

3 分

已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上连续，且 $\int_0^1x f(x^2)dx=3$ ，则 $\int_0^1f(x)dx=$ （）。

A. $\dfrac32$

B. $\dfrac12$

C. $3$

D. $6$

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参考答案：D

答案：D

令 $u=x^2$ ，则 $du=2x\,dx$ ，所以 $3=\frac12\int_0^1f(u)du$ ，所求积分为 $6$ 。

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第 9 题

高等数学Ⅲ

3 分

已知函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，且 $\int_0^2[f(x)+xf'(x)]dx=1$ ，则 $f(2)=$ （）。

A. $1$

B. $\dfrac12$

C. $2$

D. $4$

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参考答案：B

答案：B

被积函数是 $(xf(x))'$ 。由微积分基本定理，积分等于 $[xf(x)]_0^2=2f(2)$ ，所以 $f(2)=1/2$ 。

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第 10 题

高等数学Ⅲ

3 分

$F(x)=\displaystyle\int_0^x\cos((x+t)^2)dt$ ，则 $F'(x)=$ （）。

A. $2\cos(4x^2)-\cos(x^2)$

B. $\cos(x^2)-2\cos(4x^2)$

C. $\cos(4x^2)-\cos(x^2)$

D. $\cos(x^2)-\cos(4x^2)$

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参考答案：A

答案：A

莱布尼茨公式给出 $F'(x)=\cos(4x^2)+\int_0^x-2(x+t)\sin((x+t)^2)dt$ 。被积项是 $\dfrac d{dt}\cos((x+t)^2)$ ，积分为 $\cos(4x^2)-\cos(x^2)$ ，故结果为 $2\cos(4x^2)-\cos(x^2)$ 。

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填空题

5 题 · 共 15 分

第 11 题

高等数学Ⅲ

3 分

$\lim_{n\to\infty}(a_n+2b_n)=5$ ， $\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=8$ ，则 $\lim_{n\to\infty}a_nb_n=$ ______。

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解线性方程组 $a+2b=5$ 、 $a-b=8$ ，得 $a=7,b=-1$ ，所以乘积极限为 $-7$ 。

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第 12 题

高等数学Ⅲ

3 分

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{3x}=2+k$ ， $k=$ ______。

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利用 $\sin(kx)/(3x)\to k/3$ ，得到 $k/3=2+k$ ，解得 $k=-3$ 。

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第 13 题

高等数学Ⅲ

3 分

$(0,0)$ 是曲线 $y=\ln(1+x)+ax^2$ 的拐点，求 $a=$ ______。

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$y''=-1/(1+x)^2+2a$ ，故 $y''(0)=2a-1$ 。拐点处二阶导数必须为零，得到 $a=1/2$ ；代回后 $y''$ 在零点两侧变号。

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第 14 题

高等数学Ⅲ

3 分

若 $F(x)=5x+\cos3x$ 是 $f(x)$ 的原函数，则 $f'(x)=$ ______。

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先求 $f(x)=F'(x)=5-3\sin3x$ ，再求导得到 $f'(x)=-9\cos3x$ 。

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第 15 题

高等数学Ⅲ

3 分

已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上连续， $\int_0^1 f(2x)dx=1$ ，则 $\int_0^1[f(x+1)+f(x)]dx=$ ______。

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令 $u=2x$ ，得 $\int_0^2f(u)du=2$ 。题中所求为 $\int_1^2f(x)dx+\int_0^1f(x)dx=\int_0^2f(x)dx=2$ 。

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解答题

9 题 · 共 55 分

第 16 题

高等数学Ⅲ

6 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2}$ 。

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分子有理化： $\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2}=\dfrac{x^2-4}{(x-2)(\sqrt{x^2+5}+3)}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}$ 。令 $x\to2$ 得 $4/6=2/3$ 。

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第 17 题

高等数学Ⅲ

6 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-\sin x-\cos x}{\sin^2x}$ 。

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在 $x=0$ 展开： $e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)$ ， $\sin x=x+o(x^2)$ ， $\cos x=1-x^2/2+o(x^2)$ 。分子为 $x^2+o(x^2)$ ，分母为 $x^2+o(x^2)$ ，极限为 $1$ 。

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第 18 题

高等数学Ⅲ

6 分

设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{a}{(x-1)^2}+b,&x<0,\\3,&x=0,\\b(1+x)^{1/x},&x>0.\end{cases}$ 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a,b$ 。

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左极限为 $a+b$ ，须等于 $3$ ；右极限为 $b\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x}=be$ ，也须等于 $3$ 。解得 $b=3/e$ 、 $a=3-3/e$ 。

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第 19 题

高等数学Ⅲ

6 分

曲线由参数方程 $x=3+\arctan t,\quad y=t+e^t$ 确定，求 $t=0$ 时的切线方程。

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当 $t=0$ 时曲线上点为 $(3,1)$ 。 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{1+e^t}{1/(1+t^2)}$ ，故斜率为 $2$ 。切线为 $y-1=2(x-3)$ ，即 $y=2x-5$ 。

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第 20 题

高等数学Ⅲ

6 分

求 $\displaystyle\int\frac{3x^2+6x+1}{3x^2+1}dx$ 。

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将分子拆为 $3x^2+1+6x$ ，被积函数为 $1+\dfrac{6x}{3x^2+1}$ 。逐项积分得 $x+\ln(3x^2+1)+C$ 。

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第 21 题

高等数学Ⅲ

6 分

求 $\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}}dx$ 。

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令 $t=\sqrt{x}$ ，则积分为 $2\int_0^1\dfrac{t\ln(1+t)}{1+t}dt$ 。令 $u=1+t$ ，化为 $2\int_1^2(1-1/u)\ln u\,du$ 。分别积分得到 $4\ln2-2-(\ln2)^2$ 。

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第 22 题

高等数学Ⅲ

6 分

求函数 $f(x)=(2x-3)e^{2x}-2x^2+4x$ 的极值，并判断是极大值还是极小值。

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求导得 $f'(x)=4(x-1)(e^{2x}-1)$ ，驻点为 $x=0,1$ 。由于 $e^{2x}-1$ 与 $x$ 同号，故 $f'$ 在 $(-\infty,0)$ 上为正、在 $(0,1)$ 上为负、在 $(1,\infty)$ 上为正，所以 $x=0$ 为极大点、 $x=1$ 为极小点。代入得 $f(0)=-3$ 、 $f(1)=2-e^2$ 。来源答案页将 $f(0)$ 标为 $3$ ，漏负号，按题面计算保留 $-3$ 。

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第 23 题

高等数学Ⅲ

6 分

分段曲线 $y=\begin{cases}(x-1)^2,&x\le1,\\4x-4,&x>1,\end{cases}$ 与抛物线 $y=x^2$ 围成的面积。

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左段交点为 $x=\frac12$ ，右段交点为 $x=2$ ，并在 $x=1$ 处分段。面积为 $\int_{1/2}^{1}[x^2-(x-1)^2]\,dx+\int_1^2[x^2-(4x-4)]\,dx=\frac14+\frac13=\frac7{12}$ 。

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第 24 题

高等数学Ⅲ

7 分

设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $f(0)=1,f(1)=2,f(2)=4$ 。证明：至少存在一点 $\xi\in(0,2)$ ，使得 $f'(\xi)=1$ 。

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在区间 $[0,1]$ 上应用拉格朗日中值定理。存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f'(\xi)=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{2-1}{1}=1$ 。由于 $(0,1)\subset(0,2)$ ，结论成立。

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