2004年广东专升本高等数学真题

分母要求 $x\ne0$，根式要求 $1-x^2\ge0$，即 $-1\le x\le1$。取交集得到 $[-1,0)\cup(0,1]$。两个端点允许取值，原点不可取。

提出分母中的 $x$，并配出重要极限：

$$\frac{\tan2x}{x^3+5x}=\frac{\tan2x}{2x}\frac2{x^2+5}.$$

因为 $\tan u/u=(\sin u/u)/\cos u\to1$，所以原极限为 $1\times2/5=2/5$。

用乘积求导法则，注意 $(-\cos x)'=\sin x$：

$$y'=e^x(\sin x-\cos x)+e^x(\cos x+\sin x)=2e^x\sin x.$$

分母可写为 $(t-\tfrac12)^2+\tfrac34$，始终为正，其导数正好是分子 $2t-1$。因此

$$f(x)=[\ln(t^2-t+1)]_0^x=\ln(x^2-x+1).$$

代入 $x=1/2$，得到 $f(1/2)=\ln(1/4-1/2+1)=\ln(3/4)$。

先求和向量：

$$\vec a+\vec b=(3,2,4),\qquad\vec b+\vec c=(2,-3,3).$$

按向量积的坐标公式，
$\begin{aligned}(3,2,4)\times(2,-3,3) &=(2\cdot3-4\cdot(-3),\ 4\cdot2-3\cdot3,\ 3\cdot(-3)-2\cdot2)\\ &=(18,-1,-13). \end{aligned}$
所以结果为 $18\vec i-\vec j-13\vec k$。检验其与两个因子点积均为 $0$：$54-2-52=0$、$36+3-39=0$，符合向量积垂直于两个因子的性质。

答案：A。

令 $u=3+2x$，则 $du=2\,dx$，所以

$$I=\frac12\int\frac{du}{u}=\frac12\ln|u|+C=\frac12\ln|3+2x|+C.$$

因被积函数在 $x\ne-3/2$ 的两侧区间均有定义，写绝对值才能给出两侧都适用的原函数形式。漏掉 $1/2$ 的 C、D 求导会多出系数 $2$。因此选 A。

答案：D。

对 $y$ 求偏导时，把 $x$ 当作常数。用对数和复合函数求导公式：

$$f_y(x,y)=\frac{1/(2x)}{x+y/(2x)}.$$

代入 $(1,0)$，分子为 $1/2$，分母为 $1$，因此 $f_y(1,0)=1/2$，选 D。该点对数内为正，处于定义域内部。

答案：B。

由 $x=1/x$ 得两曲线在正半轴交于 $(1,1)$。与 $x=2$ 围成的有界区域在 $1\le x\le2$ 上；此时 $x\ge1/x$，所以 $y=x$ 在上，$y=1/x$ 在下。竖直小条面积为 $(x-1/x)\,dx$，故

$$S=\int_1^2\left(x-\frac1x\right)dx.$$

因此选 B。A 的上下顺序反了，会得到负值。

答案：C。

$x=2$ 时通项没有定义，先排除。对绝对值级数作比值检验：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}/|x-2|^{n+1}}{\sqrt n/|x-2|^n}=\frac1{|x-2|}.$$

该极限小于 $1$ 时绝对收敛，即 $|x-2|>1$，得到 $x<1$ 或 $x>3$。当 $0<|x-2|<1$ 时通项不趋于 $0$，发散；在端点 $x=1,3$，通项分别为 $(-1)^n\sqrt n$、$\sqrt n$，也不趋于 $0$。故收敛域为 $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$，选 C。

答案：B。

原积分区域为 $0\le x\le1$、$x^2\le y\le x$。固定 $y$ 时，$y\le x$ 给出左边界 $x=y$，$x^2\le y$ 给出右边界 $x=\sqrt y$；两曲线交于 $y=0,1$。因此换序后

$$I=\int_0^1dy\int_y^{\sqrt y}f(x,y)\,dx,$$

与 B 的积分范围和微分次序一致。内层对 $x$ 积分，外层必须对 $y$ 积分。

因为 $\sin x/x\to1$，可先把分母 $\sin^3x$ 替换成等价的 $x^3$。令 $N(x)=e^x(x-2)+x+2$，有 $N(0)=0$。依次求导：

$$N'(x)=e^x(x-1)+1,\qquad N''(x)=xe^x.$$

分子与 $x^3$ 在前两次求导后都仍为 $0/0$ 型，洛必达法则给出

$$\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{N'(x)}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{xe^x}{6x}=\frac16.$$

所以原极限为 $1/6$。

对 $x$ 求导，注意 $y=y(x)$：

$$1-y'+\frac12\cos y\,y'=0,$$

所以 $y'=1/(1-\tfrac12\cos y)$。分母至少为 $1/2$，始终非零，隐函数可局部求导。再求导一次：

$$y''=-\frac{(\tfrac12\sin y)y'}{(1-\tfrac12\cos y)^2}=-\frac{\sin y}{2(1-\tfrac12\cos y)^3}.$$

由原方程 $x-y=-\tfrac12\sin y$，也可写为

$$y''=\frac{x-y}{(1-\tfrac12\cos y)^3}.$$

对数表达式在 $0$ 处无定义，但整体被积函数 $x^5\ln^2x\to0$，可以在端点补值为 $0$；以下边界项按右极限计算。对 $x^5\ln^2x$ 分部积分，取 $u=\ln^2x,dv=x^5dx$，并注意 $x^6\ln^2x\to0$，得到

$$I=-\frac13\int_0^1x^5\ln x\,dx.$$

再分部积分：

$$\int_0^1x^5\ln x\,dx=\left[\frac{x^6}6\ln x\right]_0^1-\frac16\int_0^1x^5dx=-\frac1{36}.$$

所以 $I=(-1/3)(-1/36)=1/108$。这里 $x^6\ln x$ 与 $x^6\ln^2x$ 在 $0^+$ 都趋于 $0$，端点极限有限。

函数定义在 $xy>0$ 的区域内。对一个变量求偏导时，另一个变量作为常数：

$$z_x=\ln(xy)+x\frac{y}{xy}=\ln(xy)+1,$$

$$z_y=x\frac{x}{xy}=\frac{x}{y}.$$

继续求导，

$$z_{xx}=\frac{y}{xy}=\frac1x,\qquad z_{xy}=\frac{x}{xy}=\frac1y.$$

也可由 $z_y=x/y$ 对 $x$ 求导核验混合偏导 $z_{yx}=1/y$。不要在 $x,y$ 可能都为负时把 $\ln(xy)$ 拆为 $\ln x+\ln y$。

设 $C=(t,t^2)$，$0\le t\le8$。抛物线在此处的导数为 $2t$，所以切线方程为

$$y-t^2=2t(x-t),\qquad y=2tx-t^2.$$

当 $t>0$ 时，该切线与 $OA$（$y=0$）交于 $P=(t/2,0)$，与 $AB$（$x=8$）交于 $Q=(8,16t-t^2)$。三角形 $APQ$ 的底为 $8-t/2$、高为 $16t-t^2$，故

$$S(t)=\frac12(8-t/2)(16t-t^2)=\frac14t(16-t)^2.$$

这个公式连续延伸到 $t=0$，对应退化面积 $0$。求导得

$$S'(t)=\frac14(16-t)(16-3t).$$

在 $[0,8]$ 内，导数在 $t<16/3$ 时为正、$t>16/3$ 时为负，所以全局最大值在 $t=16/3$ 取得。因此

$$C=\left(\frac{16}3,\frac{256}9\right),\qquad S_{\max}=\frac14\frac{16}3\left(\frac{32}3\right)^2=\frac{4096}{27}.$$

以 $y$ 为外层变量，区域表示为

$$0\le y\le2,\qquad -2\le x\le-\sqrt{2y-y^2}.$$

因此
$I=\int_0^2\int_{-2}^{-\sqrt{2y-y^2}}y\,dx\,dy =\int_0^2y(2-\sqrt{2y-y^2})\,dy=4-J,$
其中 $J=\int_0^2y\sqrt{2y-y^2}\,dy$。令 $u=y-1$，则 $2y-y^2=1-u^2$，

$$J=\int_{-1}^1(u+1)\sqrt{1-u^2}\,du.$$

第一部分 $u\sqrt{1-u^2}$ 是奇函数，积分为 $0$；第二部分是单位圆上半圆面积，等于 $\pi/2$。故 $I=4-\pi/2$。