2018年广东专升本高等数学真题

答案：B。

由 $|3x\sin(1/x)|\le3|x|\to0$，夹逼定理说明第一项趋于零。第二项使用重要极限 $\sin x/x\to1$，故原极限为 $0+1=1$。虽然 $\sin(1/x)$ 本身在零点没有极限，它乘以趋零的 $x$ 后仍可有极限。

答案：C。

可导函数在内部极值点的一阶导数必须为零。因 $f'(0)=-1\ne0$，排除 A、B。在 $x=1$ 处，$f'(1)=0$ 且 $f''(1)=3>0$，二阶导数判别法说明这里是严格极小值点，故选 C。

答案：D。

对已知原函数求导可得 $f(x)=2x$。把自变量换成 $x^2$，得 $f(x^2)=2x^2$，所以 $\int f(x^2)dx=2x^3/3+C$。不能直接把已知积分里的 $x$ 换为 $x^2$，因为积分变量及微分也需要处理。

答案：C。

拆为两个收敛的几何级数：

$$2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac13\right)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac13\right)^n=2\frac{1/3}{1-1/3}+\frac{-1/3}{1+1/3}=1-\frac14=\frac34.$$

求和从 $n=1$ 开始，首项分别为 $1/3$ 和 $-1/3$。

答案：A。

改用极坐标，圆环范围为 $2\le r\le3$，$0\le\theta\le2\pi$。被积函数为 $1/r$，面积元为 $rdrd\theta$，两者的 $r$ 抵消：

$$\int_0^{2\pi}d\theta\int_2^3\frac1r r\,dr=2\pi(3-2)=2\pi.$$

答案：$3(\ln3)^2$。

参数导数公式为 $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)$，要求 $dx/dt\ne0$。这里 $dx/dt=1/(t\ln3)$，$dy/dt=3^t\ln3$，所以 $dy/dx=t3^t(\ln3)^2$。在 $t=1$ 处为 $3(\ln3)^2$。

答案：$4$。

$\sin x$ 为奇函数，在对称区间积分为零；$|x|$ 为偶函数，所以

$$\int_{-2}^2(|x|+\sin x)dx=2\int_0^2x\,dx=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=4.$$

答案：$e/2$。

把无穷上限解释为极限：

$$\int_0^{+\infty}e^{1-2x}dx=\lim_{R\to+\infty}\left[-\frac12e^{1-2x}\right]_0^R=\frac e2.$$

因 $e^{1-2R}\to0$，反常积分收敛。

答案：$dx+e\,dy$。

在 $x>0$ 上，$z_x=(y+1)x^y$，$z_y=x^{y+1}\ln x$。代入 $x=e,y=0$，分别得到 $z_x=1,z_y=e$。因此 $dz=z_xdx+z_ydy=dx+e\,dy$。

答案：$y=e^{1-1/x}$，包含初始点的区间为 $x>0$。

方程等价于 $y'=y/x^2$，在初始点附近可分离变量为 $dy/y=dx/x^2$。积分得 $\ln|y|=-1/x+C$，即 $y=C_1e^{-1/x}$。代入 $y(1)=1$ 得 $C_1=e$。原方程在 $x=0$ 处退化，包含 $x=1$ 的解区间取 $(0,+\infty)$。

答案：$a=b=1$。

左极限是 $a$，函数值为 $b$。计算右极限时取对数：

$$\left(1+\frac2x\right)^x=\exp\left[x\ln\left(1+\frac2x\right)\right].$$

当 $x\to0^+$ 时，$x\ln(1+2/x)=x\ln(x+2)-x\ln x\to0$；其中 $x\ln x\to0$，可用洛必达法则验证。因此右极限为 $e^0=1$。

连续要求左极限、右极限、函数值都相等，故 $a=b=1$。

答案：$\dfrac12$。

先通分，得到 $[x-\ln(1+x)]/x^2$。分子分母同趋零，应用洛必达法则：

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-1/(1+x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac1{2(1+x)}=\frac12.$$

通分后保留了两项一阶相消所形成的二阶量。

答案：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(1+x)e^x}{1+2y\arctan y}$。

把 $y$ 看作 $x$ 的函数，两边求导。左边用乘积和链式法则：

$$2yy'\arctan y+(1+y^2)\frac{y'}{1+y^2}=(1+x)e^x.$$

合并含 $y'$ 的项，得 $(1+2y\arctan y)y'=(1+x)e^x$。因 $y$ 与 $\arctan y$ 同号，$1+2y\arctan y\ge1$，分母不会为零，除后即得答案。

答案：$\dfrac{2x^2}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+C$。

由原函数定义得到 $f(x)=2x/(1+x^2)$。将 $f'(x)dx$ 写成 $df(x)$，分部积分：

$$\int xf'(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx=\frac{2x^2}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+C.$$

这比先求 $f'$ 再直接积分更简洁，所得原函数求导也可检验。

答案：$A=3-\dfrac\pi2$。

曲线在 $[0,1]$ 上恒正，所以面积为

$$A=\int_0^1\left(1+\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right)dx.$$

令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2,dx=2t\,dt$，上下限仍为 $0,1$：

$$A=\int_0^1\left(2t+\frac{2t^2}{1+t^2}\right)dt=\int_0^1\left(2t+2-\frac2{1+t^2}\right)dt=1+2-2\arctan1=3-\frac\pi2.$$

答案：

$$z_y=\frac{x(1-y^2)}{(1+y^2)^2},\qquad z_{xy}=\frac{1-y^2}{(1+y^2)^2}.$$

对 $y$ 求导时 $x$ 当常数，用商法则：

$$z_y=x\frac{(1+y^2)-2y^2}{(1+y^2)^2}=\frac{x(1-y^2)}{(1+y^2)^2}.$$

再关于 $x$ 求导得到上述混合偏导。分母处处非零，函数光滑，两个求导次序相同。

答案：$1$。

先固定 $y$，可把区域写成 $1\le y\le2,0\le x\le y$，根号内也非负：

$$I=\int_1^2dy\int_0^y\sqrt{1-x/y}\,dx.$$

内层令 $u=1-x/y$，$dx=-ydu$，积分为 $y\int_0^1u^{1/2}du=2y/3$。于是

$$I=\int_1^2\frac{2y}3dy=\left[\frac{y^2}3\right]_1^2=1.$$

答案：收敛。

各项非负，且 $|\sin n|+2^n\ge2^n$，故

$$0\le\frac n{|\sin n|+2^n}\le\frac n{2^n}.$$

对右侧级数用比值判别法，$[(n+1)/2^{n+1}]/[n/2^n]=(n+1)/(2n)\to1/2<1$，所以它收敛。再由比较判别法，原级数收敛。

答案：（1）$f(x)=\dfrac12(e^{2x}-e^{-2x})$；（2）$(-\infty,0)$ 上 $f''<0$，曲线为凸；$(0,+\infty)$ 上 $f''>0$，曲线为凹；拐点为 $(0,0)$。

（1）将几何条件转为初值。 曲线经过 $(0,0)$ 表示 $f(0)=0$；两直线平行，斜率相同，故 $f'(0)=2$。

特征方程 $r^2-4=0$ 的根为 $\pm2$，通解是 $f=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$。代初值得

$$C_1+C_2=0,\qquad2C_1-2C_2=2.$$

解得 $C_1=1/2,C_2=-1/2$。

（2）根据二阶导数符号判断。 $f''(x)=2e^{2x}-2e^{-2x}$，它在 $x<0$ 为负，在 $x>0$ 为正，并在零点变号。所以凹凸区间及拐点如上。这里同时写明二阶导数符号，避免不同教材对“凹凸”称谓的混淆。

答案：（1）$f'(0)=1$；（2）$f$ 为奇函数；（3）不等式成立。

（1） 被积函数 $\cos(t^2)$ 连续，微积分基本定理给出 $f'(x)=\cos(x^2)$，所以 $f'(0)=1$。

（2） 因 $\cos(t^2)$ 是偶函数，对 $f(-x)$ 作代换 $t=-u$：

$$f(-x)=\int_0^{-x}\cos(t^2)dt=-\int_0^x\cos(u^2)du=-f(x).$$

定义域为整个实数轴，故 $f$ 为奇函数。

（3）构造差函数。 固定 $\lambda>0$，令

$$g(x)=f(x)-x+\frac{1+\lambda}{3\lambda}x^3.$$

则 $g(0)=0$，$g'(0)=0$，并且

$$g''(x)=-2x\sin(x^2)+2\frac{1+\lambda}{\lambda}x=2x\left(1+\frac1\lambda-\sin(x^2)\right).$$

对 $x>0$，因 $\sin(x^2)\le1$，括号至少为 $1/\lambda>0$，所以 $g''(x)>0$。由 $g'(0)=0$ 得 $g'(x)>0$，再由 $g(0)=0$ 得 $g(x)>0$。移项即为待证不等式。