2021年广东专升本高等数学真题

答案： C

写成 $3\cdot\tan6x/(6x)$。由 $\tan t/t\to1$，得到极限 $3$，选 C。

答案： B

分子为 $(x-3)(x+2)$。当 $x\ne3$ 时函数等于 $x+2$，所以 $\lim_{x\to3}f(x)=5$ 有限且存在，但原函数在 $x=3$ 未定义。通过补定义 $f(3)=5$ 可使它连续，故为可去间断点。

答案： D

原函数定义为 $F\prime(x)=f(x)$。不定积分表示全部原函数，所有原函数之间相差一个常数，因此 $\int f(x)dx=F(x)+C$。B 多了任意常数，A、C 颠倒了积分与导数关系，选 D。

答案： C

$\sum3^{-n}$ 是公比 $1/3$ 的收敛等比级数，与原收敛级数相加仍收敛，故 C 正确。B 的通项趋于 $1/2\ne0$，发散。若 A 收敛，与 $\sum u_n$ 相减会推出调和级数收敛，矛盾；D 同理会推出 $\sum1/\sqrt n$ 收敛，也矛盾。

答案： B

比较阶数要计算 $f/g$。当 $x\to0$ 时，$\sin t^2\sim t^2$，相应积分 $f(x)\sim\int_0^{x^2}t^2dt=x^6/3$，而 $g(x)\sim4x^5$，所以 $f(x)/g(x)\sim x/12\to0$。也可直接用洛必达：$f\prime(x)=2x\sin x^4$，$g\prime(x)=18x^5+20x^4$，其比值趋于 $0$。故 $f$ 为比 $g$ 高阶的无穷小。

答案： $\dfrac13$

参数曲线斜率 $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2t/(6t^2)=1/(3t)$，这里 $t=1$ 的 $dx/dt=6\ne0$。代入得到 $1/3$。

答案： $2xy\,dx+x^2\,dy$

全微分公式为 $dz=z_xdx+z_ydy$。保持 $y$ 不变求 $z_x=2xy$，保持 $x$ 不变求 $z_y=x^2$，故 $dz=2xydx+x^2dy$。

答案： $y=e^x-2$

令 $v=y+2$，则 $v\prime=v$，通解 $v=Ce^x$，所以 $y=Ce^x-2$。初值 $-1=C-2$ 给出 $C=1$，于是特解 $y=e^x-2$。代入导数和初值均满足。

答案： $\dfrac52$

被积函数为 $1$，二重积分即区域面积。按已给边界积分：$\iint_Dd\sigma=\int_0^1dx\int_0^{3-x}dy=\int_0^1(3-x)dx=[3x-x^2/2]_0^1=5/2$。

答案： $-3$

连续性允许对变上限积分求导。由链式法则，左边导数为 $2f(2x+1)$，右边为 $-6x^2$，所以 $f(2x+1)=-3x^2$。要求 $f(3)$，令 $2x+1=3$，得到 $x=1$，故 $f(3)=-3$。

答案： $\dfrac32$

直接相减是无穷大减无穷大，需要有理化：$x(\sqrt{x^2+3}-x)=3x/(\sqrt{x^2+3}+x)$。因 $x\to+\infty$ 为正，同除 $x$ 得 $3/(\sqrt{1+3/x^2}+1)\to3/2$。

答案： $2^x\ln2+x^x(\ln x+1)$

$2^x$ 的导数是 $2^x\ln2$。对 $x^x$ 先写成 $e^{x\ln x}$（要求 $x>0$），再用链式法则得 $x^x(\ln x+1)$。两项相加得到结果。

答案： $\dfrac{x+5}{3}\sin3x+\dfrac19\cos3x+C$

分部积分取 $u=x+5,dv=\cos3xdx$，则 $du=dx,v=\sin3x/3$。积分为 $(x+5)\sin3x/3-(1/3)\int\sin3xdx$。后一个不定积分为 $-\cos3x/3$，故得到 $(x+5)\sin3x/3+\cos3x/9+C$。求导后多出的正弦项抵消，恢复原被积函数。

答案： $\ln5$

拆成两项。$x^{2021}/(x^2+1)$ 是奇函数，对称区间积分为 $0$；$|x|/(x^2+1)$ 是偶函数，所以积分为 $2\int_0^2 x/(x^2+1)dx$。令 $u=x^2+1$，$du=2xdx$，得 $[\ln(x^2+1)]_0^2=\ln5$。

答案： $\dfrac{z(1-e^{yz})}{ye^{yz}-x}$（$ye^{yz}-x\ne0$）。

对 $x$ 求导，$e^{yz}y z_x-z-xz_x=0$，得 $(ye^{yz}-x)z_x=z$。对 $y$ 求导，$e^{yz}(z+yz_y)-xz_y=0$，得 $(ye^{yz}-x)z_y=-ze^{yz}$。在分母非零的点相加，得到 $z_x+z_y=z(1-e^{yz})/(ye^{yz}-x)$。指数里的 $z$ 不能视为常数。

答案： $\dfrac\pi4(e^4-1)$

改用极坐标，$0\le r\le2,0\le\theta\le\pi/2$，被积函数成为 $e^{r^2}$，面积元为 $rdrd\theta$。积分为 $\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^2e^{r^2}rdr=(\pi/2)\cdot[e^{r^2}/2]_0^2=\pi(e^4-1)/4$。

答案： 收敛。

通项为正，且是 $n$ 次幂，适合根值判别法。设 $a_n=(n/(2n+1))^n$，则 $\sqrt[n]{a_n}=n/(2n+1)\to1/2<1$。由根值判别法，级数收敛。

答案： $F(x)=x^3/3$（$x\le2$）；$F(x)=6x-x^2/2-22/3$（$x>2$），在 $x=2$ 连续。

当 $x\le2$ 时，整段积分由 $t^2$ 给出，$F(x)=x^3/3$，对负 $x$ 也成立。若 $x>2$，必须先保留 $[0,2]$ 的积分，再加右段：$F(x)=\int_0^2t^2dt+\int_2^x(6-t)dt=8/3+6x-x^2/2-10=6x-x^2/2-22/3$。左右极限均为 $8/3$，且 $F(2)=8/3$，因此连续。

答案： $r=4$ 米。

令容器高为 $h>0$，体积约束为 $\pi r^2h=64\pi$，得 $h=64/r^2$。无盖容器只有一个底面，材料面积 $S=\pi r^2+2\pi rh=\pi r^2+128\pi/r$（$r>0$）。导数 $S\prime=2\pi r-128\pi/r^2=2\pi(r^3-64)/r^2$。当 $r<4$ 时导数负，$r>4$ 时正，所以 $r=4$ 是全局最小点，此时 $h=4$。不能按有盖圆柱使用两个底面。

答案： （1）$y=x/e$；（2）$\dfrac e2-\dfrac1{2e}-1$。

（1）设切点横坐标为 $a>0$，切点为 $(a,\ln a)$，斜率为 $1/a$，切线为 $y-\ln a=(x-a)/a$。过原点要求 $\ln a-1=0$，故 $a=e$，切线 $y=x/e$。

（2）在 $1\le x\le e$ 上切线在曲线上方。令 $q(x)=x/e-\ln x$，有 $q\prime(x)=1/e-1/x\le0$，且 $q(e)=0$，所以 $q(x)\ge0$。面积为 $\int_1^e(x/e-\ln x)dx$。原函数是 $x^2/(2e)-x\ln x+x$，上限代入得 $e/2$，下限代入得 $1/(2e)+1$，两者相减为 $e/2-1/(2e)-1$。注意必须减去整个下限值。