2026年广东专升本高等数学真题

答案： B

因 $1/n\to0$，由极限四则运算得到 $2+0=2$，选 B。

答案： C

$y\prime=3x^2$，在 $x=1$ 时为 $3$。微分是导数乘自变量微分，故 $dy|_{x=1}=3dx$，选 C。

答案： D

原函数为 $x^3+x^2$。按牛顿—莱布尼茨公式，积分为 $[x^3+x^2]_0^1=1+1=2$，选 D。

答案： A

当 $h<0$ 时，$[f(h)-f(0)]/h=|5h|/h=-5$，所以左导数为 $-5$；当 $h>0$ 时该比值为 $5$，所以右导数为 $5$。两个单侧导数都存在，选 A；它们不相等，因此通常的双侧导数不存在。

答案： A

圆盘极坐标范围 $0\le r\le2,0\le\theta\le2\pi$。面积元为 $rdrd\theta$，故积分为 $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2e^{r^2}rdr=2\pi\cdot(e^4-1)/2=\pi(e^4-1)$，选 A。

答案： $4$

写成 $4\cdot\sin4x/(4x)$，由 $\sin t/t\to1$ 得结果为 $4$。

答案： $1$

用链式法则，$f\prime(x)=2/(2\sqrt{1+2x})=1/\sqrt{1+2x}$。在 $0$ 处为 $1$。

答案： $2$

首项为 $2/3$，公比为 $2/3$，绝对值小于 $1$，故可用无穷等比级数和公式 $S=a_1/(1-q)=(2/3)/(1/3)=2$。起始指标是 $n=1$，不是 $n=0$。

答案： $0$

在线段 $L$ 上处处有 $y=0$，所以被积系数 $y^2=0$。无论线段方向和 $a$ 的值如何，积分均为 $0$。

答案： $-1$

分部积分得原函数 $-(x+1)e^{-x}$。当 $x\to+\infty$ 时它趋于 $0$，故积分等于 $(a+1)e^{-a}$。指数因子始终为正，由积为零得到 $a+1=0$，即 $a=-1$。

答案： $1$

分母为 $x(x-1)$。利用 $\ln x/(x-1)\to1$（令 $t=x-1$，由 $\ln(1+t)/t\to1$），再乘 $1/x\to1$，极限为 $1$。也可用洛必达得 $(1/x)/(2x-1)\to1$。

答案： $60$

连续求导三次：$f\prime=5(x-3)^4$，$f\prime\prime=20(x-3)^3$，$f^{(3)}=60(x-3)^2$。代入 $x=4$，得到 $60$。

答案： $\dfrac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}$

$dx/dt=e^t+1>0$，$dy/dt=\cos t-t\sin t$。因此参数曲线可用 $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)$，得到所列分式，对所有实数 $t$ 适用。

答案： $4$

三条直线围成顶点 $(0,0),(0,2),(2,2)$ 的三角形。按先 $x$ 后 $y$，区域为 $0\le y\le2,0\le x\le y$。积分为 $\int_0^2dy\int_0^y(x+y)dx=\int_0^2(3y^2/2)dy=[y^3/2]_0^2=4$。

答案： 发散。

设正项 $a_n=2^n/n^2$，有 $a_{n+1}/a_n=2n^2/(n+1)^2\to2>1$。比值判别法表明该级数发散，且通项最终增长，不能因分母有 $n^2$ 就误判为收敛。

答案： $x+3y-3=0$

对隐式方程求导：$y+xy\prime+3y^2y\prime+5x^4=0$，因此 $y\prime=-(y+5x^4)/(x+3y^2)$。在 $(0,1)$ 处分母为 $3\ne0$，斜率为 $-1/3$。切线 $y-1=-x/3$，整理为 $x+3y-3=0$。

答案： $y=\ln(e^{x^2}+e-1)$

乘以 $e^y$ 得 $e^yy\prime=2xe^{x^2}$，左边是 $(e^y)\prime$，右边是 $(e^{x^2})\prime$。积分得 $e^y=e^{x^2}+C$，初值给 $e=1+C$，即 $C=e-1$。右边对任意实数 $x$ 均大于零，取对数得所列解。代入初值与导数均满足。

答案： 在 $(x,y)\ne(0,0)$ 时恒等式成立。

非原点处有 $z>0$，先求 $z_x=x/z,z_y=y/z$。再求导：$z_{xx}=1/z-xz_x/z^2=(z^2-x^2)/z^3=y^2/z^3$；同理 $z_{yy}=x^2/z^3$。相加为 $(x^2+y^2)/z^3=z^2/z^3=1/z$。原点处右边及相关导数未定义，因此必须说明该适用范围。

答案： $S(a)=\dfrac13-a+\dfrac43a^{3/2}$；$a=\dfrac14$ 时最小面积为 $\dfrac14$。

（1）曲线 $x=y^2$ 与直线 $x=a$ 在 $y=\sqrt a$ 相交。面积用左右边界之差的绝对值：$S(a)=\int_0^{\sqrt a}(a-y^2)dy+\int_{\sqrt a}^1(y^2-a)dy$。第一项为 $\frac23a^{3/2}$，第二项为 $\frac13-a+\frac23a^{3/2}$，相加得到 $S(a)=\frac13-a+\frac43a^{3/2}$。

（2）$S\prime(a)=-1+2\sqrt a$，在 $0<a<1/4$ 为负，在 $1/4<a<1$ 为正。因此 $a=1/4$ 为全区间最小点，$S(1/4)=1/3-1/4+(4/3)(1/8)=1/4$。

答案： $y\prime+3y=f(x)$，且 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y(x)=\dfrac23$。

由连续性，变上限积分 $N(x)=\int_0^xe^{3t}f(t)dt$ 可导，$N\prime(x)=e^{3x}f(x)$。用乘积法则，$y\prime=-3e^{-3x}N(x)+e^{-3x}N\prime(x)=-3y+f(x)$，得到所求方程。

求极限时写成 $y=N(x)/e^{3x}$。因为 $f(x)\to2$，存在 $T$ 使 $t\ge T$ 时 $f(t)\ge1$，从而 $N(x)\ge N(T)+\int_T^xe^{3t}dt\to+\infty$。分子分母均趋于正无穷，分母导数为 $3e^{3x}>0$，导数之比 $N\prime(x)/(e^{3x})\prime=f(x)/3\to2/3$。因此洛必达法则适用，极限为 $2/3$。不能仅由微分方程猜测 $y\prime\to0$。