2020年广东专升本高等数学真题

答案：D。

把 $f(x)$ 写成 $\cos x-[\cos x-f(x)]$。已知右边两项的极限都存在，所以

$$\lim_{x\to0}f(x)=1-1=0.$$

因此 $f(x)\cos x\to0$，而 $f(x)+\cos x\to0+1=1$。逐项核对可知只有 D 正确。

答案：C。

先求导：$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$。驻点为 $x=0,1$。

当 $x<0$ 时导数为正；当 $0<x<1$ 时导数为负；当 $x>1$ 时导数为正。所以 $x=0$ 处由增变减，是极大值点；$x=1$ 处由减变增，是极小值点。

答案：B。

“$3^x$ 是 $f(x)$ 的原函数”表示 $(3^x)'=f(x)$。使用指数函数求导公式 $(a^x)'=a^x\ln a$，得到 $f(x)=3^x\ln3$。注意原函数求导，而不是再次积分。

答案：A。

被积函数含 $x^2+y^2$，区域是上半单位圆，宜用极坐标 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$。范围为 $0\le r\le1,0\le\theta\le\pi$，面积元为 $d\sigma=r\,dr\,d\theta$。因此

$$\iint_D(x^2+y^2)^4\,d\sigma=\int_0^\pi d\theta\int_0^1 r^8r\,dr=\pi\left[\frac{r^{10}}{10}\right]_0^1=\frac{\pi}{10}.$$

换坐标时不能漏掉面积元中的 $r$。

答案：C。

几何级数 $\sum5^{-n}$ 收敛，比较判别法说明 $\sum a_n$ 收敛。因此乘常数或去掉有限项后的 A、B 都收敛。

C 中 $\sum n^{-2/3}$ 是指数 $p=2/3\le1$ 的 $p$ 级数，发散；又因各项 $a_n\ge0$，C 的部分和不小于它，所以 C 发散。

D 中 $\sum n^{-3/2}$ 收敛，而两个收敛级数的差仍收敛。

答案：$a=1$。

连续要求左右极限等于函数值。左侧给出 $f(1)=1+a$，右侧极限为 $a(1-2)^3+3=3-a$。令 $1+a=3-a$，解得 $2a=2$，故 $a=1$。

答案：$y=x-3$。

对曲线方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 随 $x$ 变化，得 $x+2yy'=0$。所以切线斜率为 $y'=-x/(2y)$；在 $(2,-1)$ 处为 $1$。点斜式为 $y+1=x-2$，即 $y=x-3$。

答案：$y=C_1e^x+C_2e^{-4x}$。

对常系数齐次方程设 $y=e^{rx}$，得到特征方程 $r^2+3r-4=(r-1)(r+4)=0$。两个不同实根为 $r=1,-4$，对应两个线性无关解 $e^x,e^{-4x}$，它们的任意线性组合就是通解。

答案：$2$。

偏导数 $f'_x(0,0)$ 的定义是固定 $y=0$ 后，对 $x$ 取差商极限：

$$f'_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}x=\lim_{x\to0}(3x+2)=2.$$

这里无需先求出整个二元函数。

答案：$m=4$。

由 $f'=f$ 可得 $f(x)=Ce^x$。也可直接求导 $(e^{-x}f(x))'=e^{-x}(f'-f)=0$，因此 $e^{-x}f(x)$ 是常数。代入 $x=0$ 得常数为 $m$，即 $f(x)=me^x$。

积分化为 $\int_{-1}^{1}m\,dx=2m=8$，故 $m=4$。这个推导包含 $m=0$ 的情形，没有除以可能为零的 $f$。

答案：$\dfrac13$。

分子和分母都趋于零。分子是连续函数的变限积分，导数为 $x\arctan x$。在 $x\ne0$ 的邻域分母导数 $3x^2\ne0$，用洛必达法则得

$$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x t\arctan t\,dt}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x\arctan x}{3x^2}=\frac13\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=\frac13.$$

最后一个极限为 $1$，可由 $\arctan x$ 在零点的导数得到。

答案：$\dfrac1e$。

在 $x=e>1$ 的邻域各项可导。先写 $\ln\sqrt{x}=\tfrac12\ln x$，再逐项求导，常数 $2\ln2$ 的导数为零：

$$y''=\frac1{2x}+\frac1{2x\sqrt{\ln x}}.$$

代入 $x=e$、$\ln e=1$，得到 $y''(e)=\frac1{2e}+\frac1{2e}=\frac1e$。

答案：$\dfrac12\sin2x+\dfrac12\cos x^2+C$。

将积分拆成两项。第一项令 $u=2x$，得 $\int\cos2x\,dx=\tfrac12\sin2x$。第二项注意 $(x^2)'=2x$：

$$-\int x\sin x^2\,dx=-\frac12\int\sin u\,du=\frac12\cos u=\frac12\cos x^2.$$

两项合并加积分常数。求导检查可恢复 $\cos2x-x\sin x^2$。

答案：$\dfrac32$。

先令 $u=x+2$，$du=dx$，上下限由 $-3,0$ 变为 $-1,2$。分段点是 $u=1$，所以

$$\int_{-3}^{0}f(x+2)\,dx=\int_{-1}^{1}\frac{u^3}{1+u^2}\,du+\int_1^2u\,du.$$

前一被积函数为奇函数，在对称区间积分为零；后一项为 $[u^2/2]_1^2=3/2$。换元后要同时改变上下限与分段点。

答案：

$$dz=\left(3y^2+\frac{2x}{y}\right)dx+\left(6xy-\frac{x^2}{y^2}\right)dy,\qquad z_{xy}=6y-\frac{2x}{y^2}.$$

原函数要求 $y\ne0$。对 $x$ 求偏导时把 $y$ 当常数，得 $z_x=3y^2+2x/y$；对 $y$ 求偏导时把 $x$ 当常数，得 $z_y=6xy-x^2/y^2$。全微分公式是 $dz=z_xdx+z_ydy$。

再把 $z_x$ 关于 $y$ 求导，得 $z_{xy}=6y-2x/y^2$。在 $y\ne0$ 的区域函数光滑，两个混合偏导相等。

答案：$4$。

固定高度 $y$ 作水平截线。上下范围为 $0\le y\le2$；两条斜线改写为 $x=y$ 和 $x=y+2$，所以 $y\le x\le y+2$。

$$\iint_Dy\,d\sigma=\int_0^2dy\int_y^{y+2}y\,dx=\int_0^22y\,dy=[y^2]_0^2=4.$$

内层积分宽度始终为 $2$，可用于检查边界是否写反。

答案：$y=\sqrt[3]{1+3\tan x}$。

初值附近 $y\ne0$，可分离变量为 $y^2dy=\sec^2x\,dx$。两边积分得 $y^3/3=\tan x+C$。代入 $x=0,y=1$，得到 $C=1/3$，因此 $y^3=1+3\tan x$。

原方程要求 $\cos x\ne0$ 且 $y\ne0$。包含初始点 $0$ 的最大解区间为 $(-\arctan(1/3),\pi/2)$：左端 $y\to0$，右端 $\tan x$ 不存在。在该区间对所得表达式求导可验证原方程和初值。

答案：发散。

令 $u_n=n^n/(2^nn!)>0$，含阶乘时优先使用比值判别法：

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}\frac{2^nn!}{n^n}=\frac12\left(1+\frac1n\right)^n\longrightarrow\frac e2>1.$$

比值极限大于 $1$，级数发散；同时也说明通项最终增长，不能趋于零。

答案：（1）$a=1$；（2）$V=\pi(e-2)$。

（1）先求交点，再列面积积分。 $e^{ax}=e$ 给出 $x=1/a$。在 $0\le x\le1/a$ 上，上边界为 $y=e$，下边界为 $y=e^{ax}$。

$$S=\int_0^{1/a}(e-e^{ax})\,dx=\frac ea-\frac{e-1}a=\frac1a.$$

由 $S=1$ 及 $a>0$，得 $a=1$。

（2）沿 $y$ 方向切片。 此时 $y=e^x$，即 $x=\ln y$，$1\le y\le e$。水平线段从 $x=0$ 到 $x=\ln y$，绕 $y$ 轴旋转形成半径 $\ln y$ 的圆盘：

$$V=\pi\int_1^e(\ln y)^2dy.$$

分部积分两次，原函数为 $y[(\ln y)^2-2\ln y+2]$，所以

$$V=\pi\left[y((\ln y)^2-2\ln y+2)\right]_1^e=\pi(e-2).$$

答案：（1）$ab>0$ 时严格递减，$ab<0$ 时严格递增；（2）拐点 $(0,a/2)$；（3）水平渐近线为 $y=0$ 和 $y=a$。

分母始终为正，所以函数定义在整个实数轴。

（1）根据一阶导数符号判断。

$$f'(x)=-\frac{ab e^{bx}}{(1+e^{bx})^2}.$$

指数和分母都为正，故导数的符号由 $-ab$ 决定。$ab>0$ 时导数恒负，函数严格递减；$ab<0$ 时导数恒正，函数严格递增。

（2）求二阶导数并检查变号。

$$f''(x)=\frac{ab^2e^{bx}(e^{bx}-1)}{(1+e^{bx})^3}.$$

因 $a,b$ 非零，二阶导数仅在 $e^{bx}=1$ 即 $x=0$ 时为零。$e^{bx}-1$ 在 $x=0$ 两侧异号，故二阶导数也变号，零点确为拐点。代入得 $f(0)=a/2$。

（3）分别计算两端极限。 若 $b>0$，则 $x\to+\infty$ 时 $f(x)\to0$，$x\to-\infty$ 时 $f(x)\to a$。若 $b<0$，这两个方向交换。因此两条水平渐近线均为 $y=0$、$y=a$。