2024年广东专升本高等数学真题

答案： A

写成 $3\cdot\sin3x/(3x)$。因为 $3x\to0$，由 $\sin t/t\to1$ 得极限为 $3$。

答案： C

$f\prime(x)=2x+\sin x$。代入 $x=\pi/2$ 得 $\pi+1$，选 C。负余弦的导数为正弦，注意符号。

答案： B

等价无穷小意味着两者之比趋于 $1$。$\lim_{x\to0}\frac{ax}{4x^3-3x^2+2x}=\lim_{x\to0}\frac{a}{4x^2-3x+2}=a/2$。令 $a/2=1$ 得 $a=2$。

答案： D

在 $0<x\le1$ 上 $x<2x<3x$，而指数函数严格递增，故 $e^x<e^{2x}<e^{3x}$。对同一区间积分保持严格大小关系，所以 $I_3>I_2>I_1$。

答案： C

原区域为 $0\le y\le1,\sqrt y\le x\le\sqrt[3]y$。因 $x,y\ge0$，两不等式分别等价于 $y\le x^2$ 和 $y\ge x^3$。所以 $0\le x\le1,x^3\le y\le x^2$，交换后即 C。

答案： $12x^2$

连续求两次导数：$y\prime=4x^3$，再求导为 $y\prime\prime=12x^2$。

答案： $\dfrac{dx}{x+1}$

在定义域 $x>-1$ 上，由链式法则 $y\prime=1/(x+1)$。微分为 $dy=y\prime dx=dx/(x+1)$。

答案： $-2$

级数收敛必有 $a_n\to0$。多项式连续，代入通项极限得 $(0+2)(0-1)=-2$。

答案： $-2\sqrt2$

参数曲线斜率为 $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)$，本题 $dx/dt=\cos t$ 在 $\pi/4$ 非零。故 $dy/dx=-2\sin2t/\cos t$，代入得 $-2/(\sqrt2/2)=-2\sqrt2$。

答案： $e^2-3$

重要极限给出 $f(t)=e^{2t}$，故 $f\prime(t)=2e^{2t},f\prime\prime(t)=4e^{2t}$。$g(x)=f\prime(x)-f\prime(0)=2e^{2x}-2$。于是 $\int_0^1g(x)dx=[e^{2x}-2x]_0^1=e^2-3$。

答案： $\dfrac12$

分子分母同除以最高次幂 $x^2$，得到 $(1+1/x)/(2+1/x^2)$。当 $x\to\infty$ 时，$1/x,1/x^2$ 趋于零，极限为 $1/2$。

答案： $\dfrac{e^x+y}{\sin y-x}$（$x-\sin y\ne0$）。

将 $y$ 视为 $x$ 的函数，两边求导：$y+xy\prime+e^x-\sin y\,y\prime=0$。合并含 $y\prime$ 的项，$(x-\sin y)y\prime=-(y+e^x)$。在 $x-\sin y\ne0$ 的点，$y\prime=(y+e^x)/(\sin y-x)$。

答案： $\dfrac1{\sqrt{x^2+y^2}}$（$(x,y)\ne(0,0)$）。

在非原点处，$z_x=x/\sqrt{x^2+y^2}$，再求导得 $z_{xx}=y^2/(x^2+y^2)^{3/2}$；同理 $z_{yy}=x^2/(x^2+y^2)^{3/2}$。相加约去 $x^2+y^2$，为 $1/\sqrt{x^2+y^2}$。原点的相关偏导不存在，结果不适用于原点。

答案： $\dfrac23(x-4)^{3/2}+10\sqrt{x-4}+C$（$x>4$）。

令 $u=x-4>0$，则 $x+1=u+5,dx=du$。积分成为 $\int(u^{1/2}+5u^{-1/2})du=\frac23u^{3/2}+10u^{1/2}+C$，再换回 $u=x-4$。

答案： $2$

取 $u=1+x,dv=\sin xdx$，则 $du=dx,v=-\cos x$。积分为 $[-(1+x)\cos x]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos xdx=1+1=2$。

答案： 发散。

通项 $a_n=3^nn!/n^n>0$，适合比值判别法。$a_{n+1}/a_n=3(n/(n+1))^n\to3/e>1$。所以通项最终增长，特别地不趋于零，原级数发散。

答案： $y=e^{2x}+e^{3x}$

特征方程 $r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0$，通解为 $y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$。初值给出 $C_1+C_2=2$ 和 $2C_1+3C_2=5$，解得 $C_1=C_2=1$。代回初值和方程均成立。

答案： $\dfrac83$

用极坐标 $x=r\cos\theta$，区域为 $0\le r\le2,0\le\theta\le\pi/2$。乘面积元 $rdrd\theta$，得 $\int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta\int_0^2r^2dr=1\cdot8/3=8/3$。

答案： 在 $(-\infty,-\ln a)$ 递减，在 $(-\ln a,+\infty)$ 递增；给定条件下无实根。

（1）$f\prime(x)=ae^x-1$。因为 $a>0$，导数在 $x=-\ln a$ 为零，小于该值时为负，大于该值时为正。故函数先减后增。

（2）其全局最小值在 $x=-\ln a$ 取得，为 $f(-\ln a)=1+\ln a+a$。条件要求该最小值严格为正，因而所有实数 $x$ 上 $f(x)>0$，方程无实根。

答案： $f(x)=2xe^x-2e^x+2$；所给严格不等式成立。

（1）先由积分方程知 $f(x)e^{-x}=x^2-\int_0^xf(t)e^{-t}dt$ 的右边可导，从而 $f$ 可导。对方程求导，积分项的导数是 $f(x)e^{-x}$，与乘积求导产生的 $-f(x)e^{-x}$ 抵消，得 $f\prime(x)e^{-x}=2x$，即 $f\prime(x)=2xe^x$。分部积分得 $f(x)=2xe^x-2e^x+C$。将 $x=0$ 代入原式，$f(0)=0$，故 $C=2$。

（2）$x>0$ 时，$\ln(1+x)<x$：令 $h(x)=x-\ln(1+x)$，则 $h(0)=0,h\prime(x)=x/(1+x)>0$。两边差值为 $f(x)-2e^x[\ln(1+x)-1]=2e^x[x-\ln(1+x)]+2>0$，证明成立。