2022年广东专升本高等数学真题

答案： D

连续要求极限值与函数值相等。$\lim_{x\to1}(x+1)=2$，因此 $a=f(1)=2$，选 D。

答案： A

当 $x$ 足够接近 $0$ 时底数为正。取对数，$\ln L=\lim_{x\to0}\ln(1-3x)/x=-3$，利用 $\ln(1+t)/t\to1$。所以原极限为 $e^{-3}$，选 A。

答案： B

级数收敛一定有通项趋于零，因此为必要条件；反之不成立，例如调和级数 $\sum1/n$ 的通项趋于零但级数发散，所以不是充分条件。选 B。

答案： C

原函数为 $F(x)=x^{-2}$，于是 $f(x)=F\prime(x)=-2x^{-3}$。反常积分为 $\lim_{b\to\infty}[1/x^2]_1^b=0-1=-1$，选 C。

答案： D

区域是 $0\le x\le1,x\le y\le1$。用 $x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta$，条件 $y\ge x$ 给出 $\theta\ge\pi/4$；第一象限内极角最多为 $\pi/2$。射线与上边界 $y=1$ 相交时 $\rho\sin\theta=1$，所以 $0\le\rho\le\csc\theta$。最后注意面积元 $dxdy=\rho d\rho d\theta$，得到 D。

答案： $2$

等价要求 $\lim_{x\to0}(3x^2+mx)/(2x)=1$，约去 $x$ 后极限为 $m/2$，所以 $m=2$。

答案： $\dfrac1{2\ln2}$

参数定义域 $t>0$。$dx/dt=5-2t$，$dy/dt=1/(t\ln2)$。在 $t=2$ 时 $dx/dt=1$，所以 $dy/dx=(1/(2\ln2))/1=1/(2\ln2)$。

答案： $8\pi$

椭圆上半部满足 $y^2=3(1-x^2/4)$，横坐标范围为 $[-2,2]$。绕 $x$ 轴旋转，每个截面是半径 $y$ 的圆盘，体积 $V=\pi\int_{-2}^2y^2dx=3\pi\int_{-2}^2(1-x^2/4)dx=3\pi(4-4/3)=8\pi$。

答案： $y=2e^x+C$

因 $e^x>0$，方程等价于 $y\prime=2e^x$。两边积分，得 $y=2e^x+C$，其中 $C$ 为任意常数。

答案： $dx+dy$

在 $x,y>0$ 上写成 $z=e^{\ln x\ln y}$。故 $z_x=z\ln y/x$，$z_y=z\ln x/y$。在 $(e,e)$ 处 $z=e$ 且 $\ln e=1$，两偏导都为 $1$。由 $dz=z_xdx+z_ydy$ 得 $dx+dy$。

答案： $2$

分子为 $(x-1)^2(x+5)$，分母为 $(x-1)^2(x+2)$。对 $x\ne1$ 约去相同因子，再代入得 $(1+5)/(1+2)=2$。不能只进行一次洛必达后直接代入零比零。

答案： $-1$

先用链式法则得 $y\prime=2x/(1+x^4)$。再用商法则，$y\prime\prime=[2(1+x^4)-8x^4]/(1+x^4)^2=(2-6x^4)/(1+x^4)^2$。代入 $x=1$，得 $-4/4=-1$。

答案： $2$

按定义，$f\prime(0)=\lim_{h\to0}[f(h)-f(0)]/h=\lim_{h\to0}[h\sin(1/h)+2]$。因为 $|h\sin(1/h)|\le|h|\to0$，由夹逼准则此项趋于零，故导数为 $2$。$\sin(1/h)$ 自身没有极限，但与 $h$ 相乘后有极限。

答案： $-2\sqrt{1-x^2}+3\arcsin x+C$（$-1<x<1,x\ne0$）。

先在原被积函数定义域内约去 $x$，得到 $(2x+3)/\sqrt{1-x^2}$。第一项令 $u=1-x^2$，$du=-2xdx$，积分为 $-2\sqrt{1-x^2}$；第二项用 $\int dx/\sqrt{1-x^2}=\arcsin x+C$，为 $3\arcsin x$。各连通定义域区间的积分常数可以不同。

答案： $\dfrac\pi4-\dfrac12\ln2$

取 $u=x,dv=\sec^2xdx$，则 $du=dx,v=\tan x$。积分为 $[x\tan x]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan xdx=\pi/4+[\ln|\cos x|]_0^{\pi/4}$。$\cos(\pi/4)=1/\sqrt2$，所以结果为 $\pi/4-\ln2/2$。

答案： $2$

对 $x$ 求偏导：$z_x=2-y^2e^zz_x$，所以 $z_x=2/(1+y^2e^z)$。对 $y$ 求偏导：$z_y=-2ye^z-y^2e^zz_y$，所以 $z_y=-2ye^z/(1+y^2e^z)$。代入组合得 $(2+2y^2e^z)/(1+y^2e^z)=2$。分母为正，允许相除。

答案： $\dfrac12$

固定 $x$ 后 $y$ 从 $0$ 到 $\sin x$，故二重积分为 $\int_0^{\pi/2}dx\int_0^{\sin x}\cos xdy=\int_0^{\pi/2}\sin x\cos xdx$。令 $u=\sin x$，从 $0$ 积到 $1$，得到 $\int_0^1u du=1/2$。

答案： 绝对收敛。

对正项 $a_n=n/3^n$，比值 $a_{n+1}/a_n=(n+1)/(3n)\to1/3<1$，故 $\sum n/3^n$ 收敛；$\sum3/2^n$ 为公比 $1/2$ 的收敛等比级数。并且 $|n/3^n-3/2^n|\le n/3^n+3/2^n$，右边级数收敛，故原级数绝对收敛，从而收敛。

答案： （1）拐点为 $(1,0)$；（2）不存在经过原点的切线。

定义域为 $x>0$。

（1）$f\prime(x)=2\ln x+1+1/x^2$，$f\prime\prime(x)=2/x-2/x^3=2(x^2-1)/x^3$。在 $(0,1)$ 为负，在 $(1,+\infty)$ 为正，二阶导数在 $1$ 两侧变号，且 $f(1)=0$，因此拐点为 $(1,0)$。

（2）设切点横坐标为 $a>0$。切线为 $y=f(a)+f\prime(a)(x-a)$，过原点要求 $f(a)-af\prime(a)=0$。计算左边为 $2-2a-2/a$。因为 $a+1/a\ge2$，左边至多 $-2<0$，不可能为零，所以没有这样的切线。

答案： （1）等式成立；（2）$f(x)=\cos x+3\sin x$。

（1）令 $u=x-t$，$dt=-du$。当 $t=0$ 时 $u=x$，当 $t=x$ 时 $u=0$，所以 $\int_0^xf(x-t)dt=-\int_x^0f(u)du=\int_0^xf(u)du$。此换元对正负 $x$ 的有向积分均适用。

（2）利用（1），原式为 $f(x)=3x+1+\int_0^xtf(t)dt-x\int_0^xf(t)dt$。右边由连续性可导，于是 $f$ 可导；求导后 $xf(x)$ 两项抵消，得 $f\prime(x)=3-\int_0^xf(t)dt$。再求导得 $f\prime\prime(x)=-f(x)$。原式给 $f(0)=1$，导数式给 $f\prime(0)=3$。方程 $f\prime\prime+f=0$ 的通解为 $A\cos x+B\sin x$，由初值得 $A=1,B=3$。代回积分方程验证满足。