2026年考研数学一真题

答案： A，$z_x-z_y=1/a$。

解题思路： 把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数，对隐式方程分别求偏导；指数中也含 $z$，两次求导都要使用链式法则。

详细解答： 记 $E=e^{y+az}>0$。原方程写成 $F(x,y,z)=x-az-e^{y+az}=0$，其中 $F_z=-a(1+E)\ne0$，所以在解的附近可隐式求导。固定 $y$ 对 $x$ 求导，再固定 $x$ 对 $y$ 求导，得到

$$1-az_x=aEz_x,\qquad -az_y=E(1+az_y).$$

分别移项解出

$$z_x=\frac1{a(1+E)},\qquad z_y=-\frac{E}{a(1+E)}.$$

因而 $z_x-z_y=(1+E)/[a(1+E)]=1/a$，选 A。$a\ne0$ 与 $E>0$ 保证上述分母非零。

答案： D，收敛域为 $(-1,1)$。

解题思路： 系数随 $n$ 的奇偶性变化，直接分成两个子级数；不能用没有极限的相邻项比值直接判断。

详细解答： 当 $n=2k$ 时，$[3+(-1)^n]/4=1$，对应项为 $x^{4k}$，$k\ge1$；当 $n=2k-1$ 时，系数底数为 $1/2$，对应项为 $(x^2/2)^{2k-1}$。因此原级数是两个非负项级数之和：

$$\sum_{k=1}^\infty x^{4k} +\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{x^2}{2}\right)^{2k-1}.$$

$|x|<1$ 时，第一部分是公比 $x^4<1$ 的几何级数；第二部分相邻项的公比为 $x^4/4<1$，也收敛。若 $|x|\ge1$，偶数 $n$ 对应的项 $x^{4k}$ 不趋于零，原级数必发散。特别地，$x=\pm1$ 时该子序列恒为 $1$，两个端点都不包含。

答案： C。固定右端点 $1$ 的割线斜率随左端点增加而单调不减。

解题思路： 这里“图形是凹的”表示凹向上，即函数图形不高于连接任意两点的弦。由弦的不等式可以比较割线斜率。其余三个命题需分别用反例排除。

详细解答： 设 $-1\le x_1<x_2<1$。令 $t=(x_2-x_1)/(1-x_1)\in(0,1)$，则 $x_2=(1-t)x_1+t\cdot1$。凹向上的弦不等式为

$$f(x_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(1).$$

移项得 $f(1)-f(x_2)\ge(1-t)[f(1)-f(x_1)]$。又 $1-x_2=(1-t)(1-x_1)>0$，故

$$\frac{f(x_1)-f(1)}{x_1-1} =\frac{f(1)-f(x_1)}{1-x_1} \le\frac{f(1)-f(x_2)}{1-x_2} =\frac{f(x_2)-f(1)}{x_2-1}.$$

这证明 C 中的单调性。

• A 不成立：取 $x\ne0$ 时 $f(x)=|x|$，而 $f(0)=1$。两侧分别递减、递增，但充分接近零点的其他函数值都小于 $1$，所以 $f(0)$ 不是极小值。题设没有要求在零点连续。
• B 不成立：取 $f(0)=0$，$x\ne0$ 时 $f(x)=2-x^2$。零点为极小值点，但函数在 $(-1,0)$ 递增、在 $(0,1)$ 递减。
• D 不成立：取 $f(x)=x^4-x^3$，则 $f(1)=0$，固定端点的差商为 $x^3$，在 $[-1,1)$ 严格递增；但 $f''(x)=12x^2-6x<0$ 在 $(0,1/2)$ 上成立，图形不满足凹向上的条件。

答案： C。

解题思路： 球面与圆锥都以原点为中心或顶点，球坐标可同时简化区域和被积函数。先明确极角从正 $z$ 轴量起。

详细解答： 采用球坐标

$$x=r\sin\varphi\cos\theta,\quad y=r\sin\varphi\sin\theta,\quad z=r\cos\varphi.$$

上半球面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 对应 $r=2$；圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $r\cos\varphi=r\sin\varphi$，即 $\varphi=\pi/4$。有界区域处于圆锥上方、球面内部，所以

$$0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi4,\quad 0\le r\le2.$$

被积函数变成 $f(r^2)$，坐标变换的 Jacobian 为 $r^2\sin\varphi$，因此

$$\iiint_\Omega f(x^2+y^2+z^2)\,dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/4}d\varphi \int_0^2 f(r^2)r^2\sin\varphi\,dr,$$

即 C。若改用柱坐标，径向上限应为两曲面交线的半径 $\sqrt2$，且下界为 $z=r$；这也说明 A、B 的区域不正确。

答案： B，$A^{-1}$ 为置换矩阵。

解题思路： 置换矩阵把标准基向量重新排序，逆运算仍是重新排序。伴随矩阵还多出行列式这一符号因子。

详细解答： 置换矩阵的每一行、每一列均恰有一个 $1$，其他元素为 $0$，因此行向量两两正交且长度为 $1$，得到 $AA^T=I$。于是 $A^{-1}=A^T$，而转置仍满足置换矩阵的结构，所以 B 必然成立。

又因 $AA^*=(\det A)I$，有

$$A^*=(\det A)A^{-1},\qquad \det A\in\{1,-1\}.$$

当交换两行的次数为奇数时，$\det A=-1$。例如 $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，则 $A^*=-A^{-1}$，含有 $-1$，不是置换矩阵，故 A、C 不普遍成立。取 $A=I$，有 $A^*=A^{-1}=I$，又排除了 D。

答案： A。$Ax=\beta$ 有解可以推出 $Bx=\beta$ 有解。

解题思路： 列向量能被另一列向量组表示，可以写成矩阵乘积 $A=BK$，相当于 $A$ 的列空间包含在 $B$ 的列空间中。

详细解答： 把 $A$ 的每一列关于 $B$ 各列的表示系数排成列，得到一个 $n\times n$ 矩阵 $K$，使 $A=BK$。若 $Ax_0=\beta$，则

$$B(Kx_0)=Ax_0=\beta.$$

所以 $Kx_0$ 是方程 $Bx=\beta$ 的一个解，A 正确。反向包含不一定成立，例如 $A=0,B=I,\beta\ne0$，$Bx=\beta$ 有解而 $Ax=\beta$ 无解，C 错误。

转置后是 $A^T=K^TB^T$，这并不保证两个转置矩阵的列空间互相包含。具体取

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

$A$ 的列向量确可由 $B$ 的列向量表示；但 $A^T$ 的列空间为 $\operatorname{span}\{(0,1)^T\}$，$B^T$ 的列空间为 $\operatorname{span}\{(1,0)^T\}$。分别取 $\beta=(0,1)^T$ 与 $\beta=(1,0)^T$，便否定 B 与 D。

答案： B。$a=-4$，正交变换下的标准型为 $-6y_1^2-6y_2^2$。

解题思路： 圆柱面沿某个方向不变，二次型应在这一方向没有平方项，即有零特征值。其余两个特征值还要与右端 $-1$ 的符号匹配。

详细解答： 交叉项系数为矩阵非对角元素的两倍，所以对应实对称矩阵为

$$Q=\begin{pmatrix}a&2&2\\2&a&2\\2&2&a\end{pmatrix} =(a-2)I+2J,$$

其中 $J$ 是所有元素为 $1$ 的 $3$ 阶矩阵。对向量 $(1,1,1)^T$，$J$ 的特征值为 $3$；对满足 $x_1+x_2+x_3=0$ 的二维子空间，$Jx=0$。故 $Q$ 的特征值为 $a+4,a-2,a-2$。

有零特征值要求 $a=-4$ 或 $a=2$。若 $a=2$，特征值为 $6,0,0$，方程化为 $6y_1^2=-1$，没有实点，不能表示圆柱面。若 $a=-4$，特征值为 $0,-6,-6$。由于 $Q$ 对称，可取正交特征向量组成坐标变换，适当排列后

$$f=-6y_1^2-6y_2^2,\qquad f=-1\Longleftrightarrow y_1^2+y_2^2=\frac16.$$

这是沿 $y_3$ 轴的圆柱面，故选 B。规范型与正交标准型的系数不同；正交变换保留特征值 $-6,-6,0$。

答案： C，最小值点为 $t=-1$，最小值为 $2$。

解题思路： 二阶矩可写成“方差加均值平方”，将目标化为关于 $t$ 的平方项。

详细解答： 由 $X\sim N(1,2)$，有 $EX=1$、$D(X)=2$。加上常数不改变方差，故

$$f(t)=E[(X+t)^2]=D(X+t)+[E(X+t)]^2=2+(1+t)^2.$$

平方项非负，且仅在 $t=-1$ 时为零，因此最小值为 $2$，选 C。

答案： A，$a=\sigma,b=\mu$。

解题思路： 先由分布函数的单调性和两端极限确定 $a>0$，再把 $F(ay+b)$ 识别为随机变量 $(X-b)/a$ 的分布函数。

详细解答： 若 $a<0$，$y\to-\infty$ 时 $ay+b\to+\infty$，于是 $F(ay+b)\to1$，违反分布函数左端极限为 $0$ 的要求；若 $a=0$，它为常数，也不是分布函数。因此 $a>0$。

对 $Z=(X-b)/a$，

$$P(Z\le y)=P(X\le ay+b)=F(ay+b).$$

所以 $Y$ 与 $Z$ 同分布，进而

$$EY=\frac{\mu-b}{a}=0,\qquad D(Y)=\frac{\sigma^2}{a^2}=1.$$

第一式给 $b=\mu$，第二式给 $a^2=\sigma^2$。结合 $a>0,\sigma>0$，得 $a=\sigma$。

答案： D，$P(X>m+n\mid X>m)>P(X>n)$。

解题思路： 给定分布是两个几何衰减项的和。先分别求尾概率，再将条件概率与无条件尾概率作差，判断其符号。

详细解答： 对非负整数 $j$，等比级数求和给出

$$T(j)=P(X>j)=\sum_{k=j+1}^\infty\left(2^{-(k+1)}+3^{-k}\right) =\frac{2^{-j}}2+\frac{3^{-j}}2.$$

特别地，$T(0)=1$，与总概率一致。因 $\{X>m+n\}\subseteq\{X>m\}$，条件概率为 $T(m+n)/T(m)$。

令 $u_j=2^{-j},v_j=3^{-j}$，则

$$\begin{aligned} \frac{T(m+n)}{T(m)}-T(n) &=\frac{u_mu_n+v_mv_n}{u_m+v_m}-\frac{u_n+v_n}{2}\\ &=\frac{(u_m-v_m)(u_n-v_n)}{2(u_m+v_m)}>0. \end{aligned}$$

最后的严格正号来自 $m,n\ge1$，因此 $2^{-m}>3^{-m}$、$2^{-n}>3^{-n}$，D 成立，B 不成立。A 也不普遍成立，例如 $m=n=1$ 时上述严格不等式直接否定 A。C 比较的是 $T(m)$，取 $m=1,n=2$，条件概率为 $T(3)/T(1)=7/36<5/12=T(1)$，所以 C 不成立。

答案： $1+z$。

解题思路： 先算叉积得到向量场的三个分量，再按散度定义分别对 $x,y,z$ 求偏导后相加。

详细解答： 按叉积行列式，

$$F=v_1\times v_2 =\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\0&x&z\\y&0&1\end{vmatrix} =(x,yz,-xy).$$

因此

$$\operatorname{div}F =\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial(yz)}{\partial y} +\frac{\partial(-xy)}{\partial z} =1+z+0=1+z.$$

第三分量不含 $z$，所以它对 $z$ 的偏导为零。

答案： $1/2$。

解题思路： 两个单独的项都在零点发散，应先通分，使一阶项相消，再展开到二次项。

详细解答： 零点附近的非零 $x$ 满足 $\sin x\ne0$，且 $1+x>0$，所以

$$\frac1x-\frac{\ln(1+x)}{x\sin x} =\frac{\sin x-\ln(1+x)}{x\sin x}.$$

由零点处的 Taylor 展开，

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\qquad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4).$$

于是分子为 $x^2/2-x^3/2+O(x^4)$，分母为 $x^2+O(x^4)$。分子分母同除以 $x^2$ 后取极限，得到 $1/2$。

答案： $-\sqrt2/8$。

解题思路： 参数方程的二阶导数要把一阶导数对 $t$ 求导后再除以 $dx/dt$，不能只求 $d^2y/dt^2$。

详细解答： 记关于 $t$ 的导数为撇号。由题设，

$$x'=2\sin2t,\quad x''=4\cos2t,\qquad y'=1-\sin t,\quad y''=-\cos t.$$

在 $0<t<\pi/2$ 内 $x'>0$，所以局部可把 $y$ 视为 $x$ 的函数。利用链式法则与商法则，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y'}{x'},\qquad \frac{d^2y}{dx^2} =\frac1{x'}\frac{d}{dt}\left(\frac{y'}{x'}\right) =\frac{y''x'-y'x''}{(x')^3}.$$

在 $t=\pi/4$，$x'=2,x''=0,y''=-\sqrt2/2$。代入得到 $(-\sqrt2/2)\times2/2^3=-\sqrt2/8$。

答案： $2\ln2$。

解题思路： 先对有限上限 $R$ 分部积分，将对数项的求导化为有理函数，再取 $R\to\infty$ 并检查边界项。

详细解答： 取 $u=\ln(1+x)$、$dv=x^{-2}dx$，则 $du=dx/(1+x)$、$v=-1/x$，得到

$$\int_1^R\frac{\ln(1+x)}{x^2}\,dx =\left[-\frac{\ln(1+x)}x\right]_1^R +\int_1^R\frac{dx}{x(1+x)}.$$

因为 $\ln(1+R)/R\to0$，第一项趋于 $\ln2$。第二项使用

$$\frac1{x(1+x)}=\frac1x-\frac1{1+x}$$

积分得

$$\left[\ln x-\ln(1+x)\right]_1^R =\ln\frac{R}{1+R}+\ln2\longrightarrow\ln2.$$

两部分极限均有限，故反常积分收敛，值为 $2\ln2$。

答案： $a<0$。

解题思路： 分别算两矩阵的特征值，再把最大实特征值写成分段函数比较。$B$ 不是对称矩阵，应直接使用它的特征多项式。

详细解答： $A$ 的第一行使行列式可按第一行展开，

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)[(\lambda-a)^2-4],$$

所以它的三个特征值为 $1,a-2,a+2$，得到 $m(A)=\max\{1,a+2\}$。

令 $d=\lambda-a$、$c=\lambda-2$，则

$$\lambda I-B=\begin{pmatrix}d&1&1\\1&c&-1\\1&1&d\end{pmatrix}.$$

按第一行展开，其行列式为

$$d(cd+1)-(d+1)+(1-c)=c(d^2-1) =(\lambda-2)[(\lambda-a)^2-1].$$

故 $B$ 的特征值为 $2,a-1,a+1$，均为实数，$m(B)=\max\{2,a+1\}$。分段比较：

• 当 $a\le-1$，$m(A)=1,m(B)=2$，不等式成立。
• 当 $-1<a\le1$，$m(A)=a+2,m(B)=2$，不等式等价于 $a<0$。
• 当 $a>1$，$m(A)=a+2,m(B)=a+1$，不等式不成立。

合并得到 $a<0$。在 $a=0$ 时两最大值均为 $2$，严格不等式不包含这一端点。

答案： $E(XY)=4$。

解题思路： 题设给的是 $X$ 与 $Y-X$ 独立，将 $XY$ 拆成 $X^2+X(Y-X)$ 才能使用独立性。

详细解答： 令 $Z=Y-X$。泊松变量的均值与方差都等于其参数，故

$$EX=1,\quad D(X)=1,\quad E(X^2)=D(X)+(EX)^2=2, \quad EZ=EY-EX=3-1=2.$$

题设 $X,Z$ 独立，因此 $E(XZ)=EX\cdot EZ=2$。由 $Y=X+Z$，

$$E(XY)=E(X^2)+E(XZ)=2+2=4.$$

不能把题设误读为 $X$ 与 $Y$ 独立后使用 $EX\cdot EY$。

答案： 在 $(-2,0)$ 处有极大值 $8e^{-2}$，没有极小值；$(0,0)$ 为鞍点。

解题思路： 函数在整个平面内光滑，极值点必须是驻点。先求全部驻点，再用二阶偏导构成的 Hessian 判别。

详细解答： 一阶偏导为

$$f_x=e^x(2x^2+4x-y^2),\qquad f_y=-2ye^x.$$

因为 $e^x>0$，$f_y=0$ 强制 $y=0$，继而 $f_x=0$ 给出 $2x(x+2)=0$。全部驻点为 $(0,0)$、$(-2,0)$。

二阶偏导为

$$f_{xx}=e^x(2x^2+8x+4-y^2),\quad f_{xy}=-2ye^x,\quad f_{yy}=-2e^x.$$

记 $\Delta=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$。在 $(0,0)$，$f_{xx}=4,f_{yy}=-2,f_{xy}=0$，所以 $\Delta=-8<0$，该点为鞍点，不是极值点。在 $(-2,0)$，

$$f_{xx}=-4e^{-2}<0,\quad f_{yy}=-2e^{-2},\quad f_{xy}=0,\quad \Delta=8e^{-4}>0,$$

故为严格局部极大值点。其函数值为 $(2\times4)e^{-2}=8e^{-2}$。其他点均非驻点，不可能是极值点，故无极小值。此处“极大值”为局部极大值；沿 $y=0,x\to+\infty$，函数趋于 $+\infty$，并无全局最大值。

（1）

答案： 存在常数 $C$，使 $(f''(u)-f(u))/u=C$，$u>0$。

解题思路： 题设微分是某个函数的全微分，两个系数的交叉偏导必须相等。把所得关系识别为商函数导数为零。

详细解答： 记

$$P(x,y)=\frac{f(xy)}{x^2y},\qquad Q(x,y)=\frac{f''(xy)}{xy^2}.$$

由 $dF=P\,dx+Q\,dy$，有 $F_x=P,F_y=Q$。因 $f$ 有三阶连续导数，$P,Q$ 在 $xy>0$ 上具有连续一阶偏导，故 $F$ 有连续二阶偏导，可用 $F_{xy}=F_{yx}$ 得 $P_y=Q_x$。

令 $u=xy>0$，分别用链式法则求导：

$$P_y=\frac{f'(u)}{xy}-\frac{f(u)}{x^2y^2} =\frac{uf'(u)-f(u)}{u^2},$$

$$Q_x=\frac{f^{(3)}(u)}{xy}-\frac{f''(u)}{x^2y^2} =\frac{uf^{(3)}(u)-f''(u)}{u^2}.$$

因此 $uf'-f=uf^{(3)}-f''$，整理得到

$$\frac{d}{du}\left(\frac{f''(u)-f(u)}u\right) =\frac{u(f^{(3)}-f')-(f''-f)}{u^2}=0.$$

每个 $u>0$ 都可取 $x=u,y=1$ 实现；比值在连通区间 $(0,+\infty)$ 内导数恒为零，故为同一个常数 $C$。

（2）

答案： $f(u)=u-e^{u-1}+e^{1-u}$，$u>0$。

解题思路： 用 $u=1$ 的初值先确定（1）的常数，再解二阶常系数非齐次方程。

详细解答： 由（1），$f''-f=Cu$。在 $u=1$ 代入 $f''(1)=0,f(1)=1$，得 $C=-1$，所以

$$f''-f=-u.$$

齐次方程的特征方程为 $r^2-1=0$，根为 $1,-1$。非齐次项为 $-u$，取特解 $f_p=u$，确有 $f_p''-f_p=-u$。通解为

$$f(u)=c_1e^u+c_2e^{-u}+u,\qquad f'(u)=c_1e^u-c_2e^{-u}+1.$$

初值 $f(1)=1,f'(1)=-1$ 给出

$$c_1e+c_2e^{-1}=0,\qquad c_1e-c_2e^{-1}=-2.$$

相加相减可得 $c_1=-e^{-1},c_2=e$，于是 $f(u)=u-e^{u-1}+e^{1-u}$。其二阶导数为 $-e^{u-1}+e^{1-u}$，在 $u=1$ 为零，第三个初值也满足。