2010年河南专升本高等数学真题

设$f$的定义域为$(-1,1]$，则$e^{f(x-1)}$的定义域为（ ）。
A. $[-2,2]$
B. $(-1,1]$
C. $(-2,0]$
D. $(0,2]$。

若$f(x)$在$\mathbb R$上为奇函数，下列函数为偶函数的是（ ）。
A. $y=\sqrt[3]{x^3-1}f(x),\ x\in[-1,1]$
B. $y=xf(x)+\tan^3x,\ x\in(-\pi/2,\pi/2)$
C. $y=x^3\sin x-f(x),\ x\in[-1,1]$
D. $y=f(x)e^{x^2}\sin^5x,\ x\in[-\pi/2,\pi/2]$。

当$x\to0$时，$e^{2x}-1$是$\sin3x$的（ ）。
A. 低阶无穷小
B. 高阶无穷小
C. 等价无穷小
D. 同阶非等价无穷小。

设$f(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x^5),&x>0,\\ e^{1/x^3},&x<0.\end{cases}$，则$x=0$是$f$的（ ）。
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 连续点
D. 第二类间断点。

下列方程在$(0,1)$内至少有一个实根的是（ ）。
A. $x^2+2=0$
B. $\sin x=1-\pi$
C. $x^3+5x^2-2=0$
D. $x^2+1+\arctan x=0$。

$f$在$x_0$可导，$f'(x_0)=-1$，求$\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0)-f(x_0+3h)}{2h}$。（ ）
A. $2/3$
B. $-2/3$
C. $-3/2$
D. $3/2$。

曲线$y=x\ln x$上平行于直线$x-y+1=0$的切线方程是（ ）。
A. $y=x-1$
B. $y=-(x+1)$
C. $y=-x+1$
D. $y=(\ln x+1)(x-1)$。

设$y=\sqrt{1-x^2}-2\sin(\pi/5)$，则$y'=$（ ）。
A. $x/\sqrt{1-x^2}-2\cos(\pi/5)$
B. $-x/\sqrt{1-x^2}$
C. $2x/\sqrt{1-x^2}$
D. $2x/\sqrt{1-x^2}-(2\pi/5)\cos(\pi/5)$。

若$df(x)=-2x\sin(x^2)\,dx$，则$f(x)=$（ ）。
A. $\cos x^2$
B. $\cos x^2+C$
C. $\sin x^2+C$
D. $-\cos x^2+C$。

设$a,b$为常数，则$\dfrac d{dx}\int_a^b e^{-x}\sin(1-2x)\,dx=$（ ）。
A. $e^{-x}\sin(1-2x)$
B. $e^{-x}\sin(1-2x)\,dx$
C. $e^{-x}\sin(1-2x)+C$
D. $0$。

若$f(-x)=f(x)$，且$x>0$时$f'(x)>0,f''(x)>0$，则$x<0$时（ ）。
A. $f'<0,f''<0$
B. $f'>0,f''>0$
C. $f'>0,f''<0$
D. $f'<0,f''>0$。

$f$在$(a,b)$连续，在$x_0\in(a,b)$不可导，则（ ）。
A. $x_0$为极大值点
B. 为极小值点
C. 不是极值点
D. 可能是极值点。

曲线$y=xe^{-x}$的拐点为（ ）。
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $(2,2/e^2)$
D. $(1,1/e)$。

曲线$y=\dfrac{2\arctan x}{5x}+C$（ ）。
A. 仅有水平渐近线
B. 仅有垂直渐近线
C. 二者都有
D. 二者都无。

若$\cos x$是$f(x)$的一个原函数，则$\int df(x)=$（ ）。
A. $-\sin x+C$
B. $\sin x+C$
C. $-\cos x+C$
D. $\cos x+C$。

曲线$y=f(x)$过$(0,1)$，任一点切线斜率为$x+e^x$，则$f(x)=$（ ）。
A. $x^2/2-e^x$
B. $x^2/2+e^x$
C. $x^2+e^x$
D. $x^2-e^x$。

$\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{x^2\sin x}{1+x^4}\,dx=$（ ）。
A. $2$
B. $0$
C. $1$
D. $-1$。

$f$连续，则$\int_a^xf(t)\,dt$是（ ）。
A. $f(x)$的一个原函数
B. $f(x)$的全体原函数
C. $2xf(x^2)$的一个原函数
D. $2xf(x^2)$的全体原函数。

下列广义积分收敛的是（ ）。
A. $\int_1^{\infty}dx/\sqrt x$
B. $\int_e^{\infty}(\ln^2x)/x\,dx$
C. $\int_e^{\infty}dx/(x\ln^2x)$
D. $\int_1^{\infty}x/(1+x^2)\,dx$。

微分方程$x^4(y'')^2+y'-x^2y=0$的阶数是（ ）。
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$。

向量$\boldsymbol a=(5,x,-2)$与$\boldsymbol b=(y,6,4)$平行，则$x,y$分别为（ ）。
A. $-4,5$
B. $-3,-10$
C. $-4,-10$
D. $-10,-3$。

平面$x+y+z=1$与$x+y-z=2$的位置关系是（ ）。
A. 重合
B. 平行
C. 垂直
D. 相交但不垂直。

下列方程在空间直角坐标系中表示柱面的是（ ）。
A. $y^2+z^2=1$
B. $x^2+y^2+z^2=1$
C. $z^2=x^2+y^2$
D. $z=x^2-y^2$。

设$f(x,y)=\begin{cases}xy/(x^2+y^2),&x^2+y^2\ne0,\\0,&x=y=0.\end{cases}$，下列错误的是（ ）。
A. 原点连续
B. $f_x(0,0)=0$
C. $f_y(0,0)=0$
D. 原点不可微。

设$z=\dfrac{x}{y}\ln(x-y)$，则$\partial z/\partial y=$（ ）。
A. $x/[y(x-y)]$
B. $-x\ln(x-y)/y^2$
C. $\ln(x-y)/y+x/[y(x-y)]$
D. $-x\ln(x-y)/y^2-x/[y(x-y)]$。

将$I=\int_0^2dx\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dy$交换次序得（ ）。
A. $\int_0^1dy\int_{-y}^yf(x,y)dx$
B. $\int_0^2dy\int_{-\sqrt{2y-y^2}}^{\sqrt{2y-y^2}}f(x,y)dx$
C. $\int_{-1}^1dy\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)dx$
D. $\int_{-1}^1dy\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{1+\sqrt{1-y^2}}f(x,y)dx$。

设$D=\{(x,y):|x|\le2,|y|\le2\}$，则$\iint_Ddxdy=$（ ）。
A. $2$
B. $16$
C. $12$
D. $4$。

若$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径为$R$，则$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^{2n}$的收敛区间为（ ）。
A. $(-\sqrt R,\sqrt R)$
B. $(2-R,2+R)$
C. $(-R,R)$
D. $(2-\sqrt R,2+\sqrt R)$。

下列级数绝对收敛的是（ ）。
A. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/\sqrt n$
B. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n3^n/2^{2n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n+1)/(2n-1)$
D. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nn/\sqrt{2n^2-1}$。

幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-3)^n$在$x=1$发散，在$x=5$收敛。$x=0,2,4,6$中使级数发散的点有几个？
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$。

若$f(3-2x)$的定义域为$(-3,4]$，求$f(x)$的定义域。

求$\lim_{x\to+\infty}\sqrt x(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3})$。

$f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$，求$f^{(4)}(x)$。

参数方程$x=2t+1,y=3t^2-1$确定$y=y(x)$，求$d^2y/dx^2$。

求$\int(\ln x+1)dx$。

求点$(3,2,-1)$到平面$x+y+z-1=0$的距离。

求$z=(1+y)^x$在$(1,1)$处的全微分。

$L$是顶点$(0,0),(1,0),(0,1)$的三角形边界，逆时针方向，求$\oint_L(xy^2-y^3)dx+(x^2y-3xy^2)dy$。

微分方程$y'+ay=e^x$有一个特解$y=xe^x$，求$a$。

求$\sum_{n=0}^{\infty}3^n/n!$的和。

求$\lim_{x\to0}\left[\dfrac{(e^x-1)\sin x}{1-\cos x}-\dfrac{\int_0^{x^2}\sin t\,dt}{x^4}\right]$。

由$e^y-xy^2=e^2$确定$y=y(x)$，求$\left.dy/dx\right|_{x=0}$。

求$\int e^{2x}/\sqrt{e^x+1}\,dx$。

求$\int_0^2(x+\sqrt{2x-x^2})dx$。

求过$(1,2,-5)$且与直线$\begin{cases}2x-y+z=1,\\x-3y=3\end{cases}$平行的直线方程。

求$f(x,y)=x^2+3y^2-2xy+8x$的极值。

将$f(x)=3x/(2x^2+x-1)$展开为$x$的幂级数。

计算$\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,d\sigma$，其中$D:x^2+y^2\le3$。

求$9y''-6y'+y=0$的通解。