2024河南专升本高等数学全卷预览

2024年河南专升本高等数学真题

2024年河南专升本高等数学真题完整试卷，包含 25 道选择题、15 道填空题和 13 道解答题，共 53 题，题目分值合计 150 分。可按目录阅读全卷，展开参考答案解析，或进入对应题目练习。

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53题全卷题目

150分题目分值合计

25题选择题 · 50分

15题填空题 · 30分

13题解答题 · 70分

选择题

25 题 · 共 50 分

第 1 题

高等数学

2 分

函数 $f(x)=x\sin x\,e^{\cos x}$ （ $x\in\mathbb R$ ）是（）。
A. 有界函数
B. 周期函数
C. 偶函数
D. 奇函数

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参考答案：C

答案：C

将 $x$ 换成 $-x$ ， $x$ 和 $\sin x$ 各变号，而 $e^{\cos x}$ 不变，故 $f(-x)=f(x)$ ，为偶函数。取 $x=\pi/2+2k\pi$ 时 $f(x)=x$ ，可见其无界；连续周期函数必有界，因此它也不是周期函数。

第 2 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{1/(4x+1)}$ 。（）
A. $0$
B. $1$
C. $e^4$
D. $e^{-4}$

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参考答案：B

答案：B

对数为 $\ln(1+x)/(4x+1)$ ，对数增长慢于一次函数，其极限为零。再取指数得到 $e^0=1$ 。不能套用指数与底数增量乘积固定的另一类重要极限。

第 3 题

高等数学

2 分

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 与 $\lim_{x\to x_0}g(x)$ 都存在，则下列极限一定存在的是（）。
A. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}[f(x)]^{g(x)}$
B. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$
C. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f[g(x)]$
D. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)$

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参考答案：D

答案：D

有限极限的乘法法则无须额外条件，所以 D 必定存在，等于两个极限的乘积。商需分母极限不为零，幂运算需定义域及底数等条件，复合极限也需要外函数在相应点的连续性等条件，题目均未保证。

第 4 题

高等数学

2 分

设 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}1+x^2,&x\le1,\\\frac{\sin2(1-x)}{1-x},&x>1.\end{cases}$ 则 $x=1$ 是（）。
A. 连续点
B. 可去间断点
C. 跳跃间断点
D. 第二类间断点

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参考答案：A

答案：A

函数值及左极限均为 $2$ 。右极限令 $u=1-x\to0$ ， $\sin2u/u=2\sin2u/(2u)\to2$ 。两侧极限等于函数值，故连续。

第 5 题

高等数学

2 分

函数 $f(x)=\sqrt[3]{x-1}+x$ 在 $x=1$ 处（）。
A. 不连续、可导
B. 不连续、不可导
C. 连续、不可导
D. 连续、可导

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参考答案：C

答案：C

立方根与一次函数都连续，所以函数在 $1$ 连续。差商为 $[f(1+h)-f(1)]/h=h^{-2/3}+1$ ，当 $h\to0$ 趋于正无穷，不存在有限导数，故不可导。

第 6 题

高等数学

2 分

下列极限中，极限值为 $0$ 的是（）。
A. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-x+4}{x^3-x^2-3}$
B. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$
C. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac1{1-e^{1/x}}$
D. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}$

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参考答案：A

答案：A

A 分母比分子高一次，极限为零。B 将分子分母同除以 $x$ ，得到极限 $1$ ；D 用 $\ln(1+u)\sim u$ 也得 $1$ 。C 左极限为 $1$ ，右极限为 $0$ ，两侧不同，不能认为其极限是零。

第 7 题

高等数学

2 分

已知 $f(x)=xe^{-x}+\sin x$ ，求 $f''(x)$ 。（）
A. $(x+2)e^{-x}+\sin x$
B. $(x-2)e^{-x}-\sin x$
C. $(x+2)e^{-x}-\sin x$
D. $(x-2)e^{-x}+\sin x$

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参考答案：B

答案：B

先求导得 $f'=(1-x)e^{-x}+\cos x$ 。再次使用乘积法则， $[(1-x)e^{-x}]'=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$ ，再加余弦导数 $-\sin x$ ，得到 B。

第 8 题

高等数学

2 分

曲线 $y=(x+1)^2+xe^x$ 在 $(0,1)$ 处的切线斜率为（）。
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

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参考答案：C

答案：C

导数 $y'=2(x+1)+e^x+xe^x$ ，代入 $x=0$ 为 $2+1=3$ 。给定点代入曲线也为 $1$ ，因此切线斜率就是此导数值。

第 9 题

高等数学

2 分

设 $x=2\cos^3t,y=2\sin^3t$ ，求 $\displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\pi/4}$ 。（）
A. $1$
B. $-1$
C. $2$
D. $-2$

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参考答案：B

答案：B

参数导数为 $dx/dt=-6\cos^2t\sin t$ ， $dy/dt=6\sin^2t\cos t$ 。相除得到 $-\tan t$ ，代入 $\pi/4$ 得 $-1$ 。

第 10 题

高等数学

2 分

下列函数以 $(0,0)$ 为拐点的是（）。
A. $y=x^5$
B. $y=x^4$
C. $y=x^{3/2}$
D. $y=x^{2/3}$

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参考答案：A

答案：A

A 的二阶导为 $20x^3$ ，在零点两侧变号，曲线凹凸改变，所以原点为拐点。B 二阶导 $12x^2$ 不变号；C 在实数范围只定义于 $x\ge0$ ，原点无两侧；D 在两侧二阶导均为负，原点虽有尖点但不发生凹凸变化。

第 11 题

高等数学

2 分

方程 $x^3+2x-3=0$ 的实根个数为（）。
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

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参考答案：B

答案：B

令 $F=x^3+2x-3$ ，其导数 $3x^2+2>0$ ，所以严格递增，至多一根。 $F(1)=0$ ，已经找到一根，故恰有一根。

第 12 题

高等数学

2 分

函数 $f(x)=2\sin x\cos x$ 的一个原函数为（）。
A. $\frac12\sin^2x$
B. $\frac12\cos^2x$
C. $1-\sin^2x$
D. $1-\cos^2x$

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参考答案：D

答案：D

检验候选式的导数最直接。 $[1-\cos^2x]'=2\sin x\cos x$ ，所以 D 正确。A 的导数只有 $\sin x\cos x$ ，B、C 的导数还带负号或系数不同。

第 13 题

高等数学

2 分

已知 $f(x)=\tan x$ ，求 $\displaystyle\int\frac{f'(\sqrt x)}{\sqrt x}dx$ 。（）
A. $\tan\sqrt x+C$
B. $2\tan\sqrt x+C$
C. $\frac12\tan\sqrt x+C$
D. $\frac14\tan\sqrt x+C$

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参考答案：B

答案：B

令 $u=\sqrt x$ ，则 $x=u^2,dx=2u du$ 。被积式化为 $2f'(u)du$ ，积分为 $2f(u)+C=2\tan\sqrt x+C$ 。公式在 $x>0$ 且余弦不为零的区间使用。

第 14 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x-\sqrt{4-x^2})dx$ 。（）
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $-4\pi$
D. $4\pi$

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参考答案：A

答案：A

$x$ 为奇函数，对称区间上积分为零。 $\sqrt{4-x^2}$ 是半径 $2$ 的上半圆，面积为 $\pi\times2^2/2=2\pi$ 。前面有负号，所以结果为 $-2\pi$ 。

第 15 题

高等数学

2 分

直线 $\displaystyle\frac{x-1}2=\frac{y-3}{-1}=\frac z3$ 与平面 $2x-y+3z+1=0$ 的位置关系为（）。
A. 平行
B. 相交但不垂直
C. 垂直
D. 直线在平面内

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参考答案：C

答案：C

直线方向为 $(2,-1,3)$ ，与平面法向量完全相同，所以直线垂直于平面。与法向量平行正是线面垂直的判断条件。

第 16 题

高等数学

2 分

下列积分等式正确的是（）。
A. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=0$
B. $\displaystyle\int_{-1}^1e^x dx=0$
C. $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos xdx=0$
D. $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin xdx=0$

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参考答案：D

答案：D

D 为奇函数在对称区间的积分，等于零。A 实为 $\pi$ ；B 为 $e-e^{-1}>0$ ；C 为 $2$ ，均不为零。

第 17 题

高等数学

2 分

下列不等式正确的是（）。
A. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}x dx>\int_0^{\pi/2}\sin xdx$
B. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin xdx>\int_0^{\pi/2}\cos xdx$
C. $\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)dx>\int_0^1x dx$
D. $\displaystyle\int_0^1(1+x)dx>\int_0^1e^x dx$

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参考答案：A

答案：A

当 $x>0$ 时 $x>\sin x$ ，因此 A 积分后仍为严格不等式。B 两端积分都为 $1$ ；C 因 $\ln(1+x)<x$ ，方向相反；D 因 $e^x>1+x$ ，方向也相反。

第 18 题

高等数学

2 分

下列方程为一阶非齐次线性微分方程的是（）。
A. $y'+4y=xy^2$
B. $(y')^2-4y=\cos x$
C. $y'-x^2y=\sin x$
D. $(2x+y)dx+(x+y)dy=0$

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参考答案：C

答案：C

C 已具有标准形式 $y'+P(x)y=Q(x)$ ，最高阶导数为一，且 $Q=\sin x$ 不恒为零。A 含 $y^2$ ，B 含导数平方，D 解成 $y'=-(2x+y)/(x+y)$ 后对 $y$ 非线性，故均不合要求。

第 19 题

高等数学

2 分

已知 $y_1=x^2-2x$ 、 $y_2=x^2-2x+1$ 、 $y_3=e^{-2x}+x^2-2x$ 是同一个二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则其通解为（）。
A. $(C_1+C_2x)e^{-2x}+x^2-2x$
B. $C_1+C_2e^{-2x}+x^2-2x$
C. $(C_1+C_2x)e^{-2x}+x^2-2x+e^{-2x}$
D. $C_1+C_2e^{-2x}+x^2-1$

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参考答案：B

答案：B

两个特解之差是相应齐次方程的解。 $y_2-y_1=1$ ， $y_3-y_1=e^{-2x}$ ，它们线性无关，因此齐次通解为 $C_1+C_2e^{-2x}$ 。再加一个非齐次特解 $x^2-2x$ ，得到 B。

第 20 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{\sqrt{1+x^2y}-1}{x^2}$ 。（）
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $1/2$

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参考答案：D

答案：D

乘共轭后，在 $x\ne0$ 的定义点上化为 $y/[\sqrt{1+x^2y}+1]$ 。该式在 $(0,1)$ 连续延拓，代入得到 $1/(1+1)=1/2$ 。

第 21 题

高等数学

2 分

设 $f(x,y)=x^2+2y^2-2x+4y+3$ ，则点 $(1,-1)$ （）。
A. 是极大值点
B. 是极小值点
C. 不是驻点
D. 是驻点但非极值点

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参考答案：B

答案：B

配方得到 $f=(x-1)^2+2(y+1)^2$ 。它恒非负，且仅在 $(1,-1)$ 取得零，故该点是严格的全局最小值点，当然也是极小值点。

第 22 题

高等数学

2 分

函数 $f(x,y,z)=x^3-y^2-z^3$ 在 $(1,-1,1)$ 处的梯度为（）。
A. $(3,2,-3)$
B. $(3,2,3)$
C. $(3,-2,3)$
D. $(-3,-2,3)$

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参考答案：A

答案：A

梯度由各偏导数组成，为 $(3x^2,-2y,-3z^2)$ 。代入 $(1,-1,1)$ 得 $(3,2,-3)$ ，注意 $y=-1$ 使第二项为正。

第 23 题

高等数学

2 分

设 $L$ 为圆 $(x-1)^2+y^2=2$ ，求第一类曲线积分 $\displaystyle\int_L(x^2-2x+y^2)ds$ 。（）
A. $2\pi$
B. $-2\pi$
C. $2\sqrt2\pi$
D. $-2\sqrt2\pi$

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参考答案：C

答案：C

在圆周上 $x^2-2x+y^2=(x-1)^2+y^2-1=1$ ，积分等于圆周长。半径为 $\sqrt2$ ，周长为 $2\sqrt2\pi$ 。第一类曲线积分不因方向改变符号。

第 24 题

高等数学

2 分

下列级数发散的是（）。
A. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{n+1}}{3^n}$
B. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+5}}$
C. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2n}{n^3+1}$
D. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]3}$

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参考答案：D

答案：D

D 的通项为 $3^{-1/n}$ ，趋于 $1$ 而不趋于零，所以发散。A 为公比 $2/3$ 的等比级数；B 满足交错级数判别；C 通项与 $2/n^2$ 等价，三者均收敛。

第 25 题

高等数学

2 分

下列说法正确的是（）。
A. 若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\sum u_n^2$ 一定收敛
B. 若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\sum|u_n|$ 一定收敛
C. 若 $\sum u_n$ 、 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum(u_n+v_n)$ 一定收敛
D. 若 $\sum u_n$ 、 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum(u_n-v_n)$ 一定发散

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参考答案：C

答案：C

收敛级数的部分和均有有限极限，其和的部分和也有极限，所以 C 正确。A 可取 $u_n=(-1)^n/\sqrt n$ ，平方后为调和级数；B 被任何条件收敛级数反驳；D 取 $u_n=v_n=1$ ，差级数为零，收敛。

填空题

15 题 · 共 30 分

第 26 题

高等数学

2 分

设 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+3x,&x\ge0,\\5+2x^3,&x<0.\end{cases}$ 求 $f[f(-1)]$ 。

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先用负数分支得 $f(-1)=5-2=3$ 。再用非负分支， $f(3)=3^2+3\times3=18$ 。复合函数要分两次按各自输入选择分支。

第 27 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-2024)\tan\frac1{x-2024}$ 。

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令 $u=1/(x-2024)\to0$ ，表达式化为 $\tan u/u$ ，由基本极限等于 $1$ 。

第 28 题

高等数学

2 分

函数 $f(x)=|3-2x|$ 在哪一横坐标取得极小值？

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绝对值恒非负，当内部表达式为零时取得最小值零。解 $3-2x=0$ ，得 $x=3/2$ ，也是唯一极小值点的横坐标。

第 29 题

高等数学

2 分

已知 $f'(0)=-2$ ，求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(-x)-f(0)}{\ln(1+3x)}$ 。

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可导性给出 $f(-x)-f(0)=f'(0)(-x)+o(x)=2x+o(x)$ ，对数分母为 $3x+o(x)$ ，所以比值趋于 $2/3$ 。

第 30 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle f(x)=\frac{3+4x-x^2}{1-3x+x^2}e^{-x^2}$ 的水平渐近线。

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当 $x\to\pm\infty$ ，有理函数部分趋于首项系数比 $-1$ ，而指数因子 $e^{-x^2}\to0$ 。乘积两端均趋零，所以水平渐近线为 $y=0$ 。

第 31 题

高等数学

2 分

函数 $y=y(x)$ 由 $x^2y-e^y+3=y$ 确定，求 $dy/dx$ 。

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对两边求导得 $2xy+x^2y'-e^yy'=y'$ 。整理为 $(1+e^y-x^2)y'=2xy$ ，在系数非零时相除得到答案。这里 $e^y$ 是复合函数，求导必须乘 $y'$ 。

第 32 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\int\frac{dx}{e^{3x}+e^{-3x}}$ 。

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分子分母乘 $e^{3x}$ 得 $\int e^{3x}/(1+e^{6x})dx$ 。令 $u=e^{3x}$ ， $du=3e^{3x}dx$ ，积分成为 $(1/3)\int du/(1+u^2)$ ，得到答案。

第 33 题

高等数学

2 分

已知 $\displaystyle f(x)=\sqrt{1-x^2}+x^2\int_{-1}^1f(t)dt$ ，求 $\displaystyle\int_{-1}^1f(x)dx$ 。

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记未知积分为 $I$ ，对给定关系在 $[-1,1]$ 积分，得 $I=\pi/2+I\int_{-1}^1x^2dx=\pi/2+(2/3)I$ 。移项得 $I/3=\pi/2$ ，所以 $I=3\pi/2$ 。第一项是单位上半圆面积。

第 34 题

高等数学

2 分

计算广义积分 $\displaystyle\int_1^e\frac4{x\sqrt{\ln x}}dx$ 。

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下限 $x=1$ 是可积奇点。令 $u=\ln x$ ， $du=dx/x$ ，上下限变为 $0,1$ ，原积分为 $4\int_0^1u^{-1/2}du=4[2\sqrt u]_0^1=8$ ，广义积分收敛。

第 35 题

高等数学

2 分

已知 $y'''=\sin2x$ ，求通解。

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连续积分三次： $y''=-\cos2x/2+C_1$ ， $y'=-\sin2x/4+C_1x+C_2$ ， $y=\cos2x/8+C_1x^2/2+C_2x+C_3$ 。三次求导可核验原方程，且共有三个任意常数。

第 36 题

高等数学

2 分

求曲面 $z=2x^2+3y^2$ 在 $(1,1,5)$ 处的切平面方程。

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函数偏导为 $z_x=4x,z_y=6y$ ，在该点为 $4,6$ 。切平面用点斜形式 $z-5=4(x-1)+6(y-1)$ ，移项得到答案。

第 37 题

高等数学

2 分

求平面 $4x-2y+4z-5=0$ 与 $2x-y+2z=0$ 的距离。

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第一个方程除以二，化为 $2x-y+2z-5/2=0$ ，与第二个平面具有相同法向量，故平行。距离为常数项差的绝对值除以法向量模： $(5/2)/\sqrt{4+1+4}=5/6$ 。

第 38 题

高等数学

2 分

交换积分次序： $\displaystyle\int_{-1}^0dx\int_{x+1}^1f(x,y)dy$ 。

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区域为 $-1\le x\le0$ 、 $x+1\le y\le1$ ，是三角形。纵坐标总范围为 $0\le y\le1$ ，固定 $y$ 时，横坐标从 $-1$ 到直线 $x=y-1$ 。据此写出交换后的二次积分。

第 39 题

高等数学

2 分

设 $z=xye^{x^2+y^2}$ ，求 $\displaystyle\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{x=0,y=1}$ 。

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对 $x$ 求偏导时 $y$ 不变，使用乘积法则得 $z_x=ye^{x^2+y^2}+2x^2ye^{x^2+y^2}$ 。代入 $(0,1)$ ，第二项为零，第一项为 $e$ 。

第 40 题

高等数学

2 分

求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{4^n}x^{2n}$ 的收敛半径。

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令 $u=x^2/4$ ，级数为 $\sum(n+1)u^n$ ，比值判别给出 $|u|<1$ 。因此 $|x|<2$ 时收敛， $|x|>2$ 时发散，关于变量 $x$ 的收敛半径为 $2$ 。端点虽都发散，也不影响半径。

解答题

13 题 · 共 70 分

第 41 题

高等数学

5 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\ln(1+\sin t)dt}{\sqrt{1+x^2}-1}$ 。

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零附近 $\ln(1+\sin t)=t+O(t^2)$ ，积分后分子为 $x^2/2+O(x^3)$ ；分母由有理化为 $x^2/(\sqrt{1+x^2}+1)\sim x^2/2$ ，故极限为 $1$ 。也可在零邻域应用洛必达法则。

第 42 题

高等数学

5 分

设 $y=e^{\sin2x}+\arcsin\sqrt x$ ，求 $dy/dx$ 。

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第一项由指数函数和正弦复合，导数为 $e^{\sin2x}\cdot2\cos2x$ 。第二项反正弦求导为 $1/\sqrt{1-x}$ ，再乘 $\sqrt x$ 的导数 $1/(2\sqrt x)$ 。两者相加即可；端点处该有限导数公式不适用。

第 43 题

高等数学

5 分

当 $x\to0^+$ 时， $ax^b$ 与 $(e^{2\sqrt x}-1)\arctan x$ 等价，求 $a,b$ 。

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利用 $e^u-1\sim u$ ，第一因子与 $2\sqrt x$ 等价；反正切与 $x$ 等价。两因子相乘为 $2x^{3/2}$ ，因此 $a=2,b=3/2$ 。条件 $x>0$ 保证根式有意义。

第 44 题

高等数学

5 分

计算不定积分 $\displaystyle\int(x-2024)\ln x\,dx$ 。

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拆为 $\int x\ln xdx-2024\int\ln xdx$ 。两次分部积分分别给出 $x^2\ln x/2-x^2/4$ 和 $x\ln x-x$ ，代回合并即得答案，定义域为 $x>0$ 。

第 45 题

高等数学

5 分

设 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac1{\sqrt x+1},&x\ge0,\\\frac{\sin x}{\cos^2x},&x<0.\end{cases}$ 计算 $\displaystyle\int_{-1}^1f(x)dx$ 。

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在零点分段。负半段由 $(\sec x)'=\sin x/\cos^2x$ ，积分为 $1-\sec1$ 。正半段令 $t=\sqrt x$ ， $dx=2t dt$ ，得到 $\int_0^12t/(t+1)dt=2\int_0^1(1-1/(t+1))dt=2-2\ln2$ 。两段相加得到结果。

第 46 题

高等数学

5 分

求直线 $\begin{cases}x-y-6=0,\\x+y+z-9=0\end{cases}$ 与平面 $x-2y+z-8=0$ 的夹角。

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直线是两个平面的交线，方向向量可取两个法向量 $(1,-1,0)$ 、 $(1,1,1)$ 的叉积 $(-1,-1,2)$ 。目标平面法向量为 $(1,-2,1)$ 。线面夹角 $\theta\in[0,\pi/2]$ 满足 $\sin\theta=|(-1,-1,2)\cdot(1,-2,1)|/(\sqrt6\sqrt6)=3/6=1/2$ ，故 $\theta=\pi/6$ 。

第 47 题

高等数学

5 分

函数 $z=z(x,y)$ 由 $x^2+e^{-y}+z=xyz$ 确定，求 $dz$ 。

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两边全微分： $2x dx-e^{-y}dy+dz=yzdx+xzdy+xydz$ 。把 $dz$ 移到左侧，得到 $(1-xy)dz=(yz-2x)dx+(e^{-y}+xz)dy$ 。在 $xy\ne1$ 的隐函数可微区域相除，得到公式。

第 48 题

高等数学

5 分

求微分方程 $y''-10y'+26y=0$ 的通解。

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特征方程 $r^2-10r+26=0$ ，配方为 $(r-5)^2+1=0$ ，根为 $5\pm i$ 。由共轭复根的实通解公式，得到 $e^{5x}(C_1\cos x+C_2\sin x)$ 。

第 49 题

高等数学

5 分

计算 $\displaystyle\iint_D(x+y)dxdy$ ，其中 $D$ 由 $y=2-x,y=x,x=0$ 围成。

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两斜线交于 $(1,1)$ ，故区域可写为 $0\le x\le1,x\le y\le2-x$ 。积分为 $\int_0^1[x y+y^2/2]_{y=x}^{2-x}dx=\int_0^1(2-2x^2)dx=4/3$ 。

第 50 题

高等数学

5 分

将 $\displaystyle f(x)=\frac{3x+3}{2x^2+5x+2}$ 展开为 $x$ 的幂级数。

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分母分解为 $(2x+1)(x+2)$ ，部分分式为 $1/(2x+1)+1/(x+2)$ 。用几何级数分别展开为 $\sum(-2x)^n$ 与 $\frac12\sum(-x/2)^n$ ，合并即得结果。共同收敛域为 $|x|<1/2$ ；端点第一部分的通项不趋零，均不包含。

第 51 题

高等数学

6 分

证明：对任意实数 $x$ ， $\displaystyle\ln(1+e^x)-x>\frac1{1+e^x}$ 。

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令 $t=e^{-x}>0$ ，左端化为 $\ln(1+t)$ ，右端为 $t/(1+t)$ 。令 $h(t)=\ln(1+t)-t/(1+t)$ ，则 $h(0)=0$ ， $h'(t)=t/(1+t)^2>0$ （ $t>0$ ）。所以 $h(t)>0$ ，原严格不等式成立。由于 $t$ 不可能为零，没有有限 $x$ 取等号。

第 52 题

高等数学

7 分

平面图形 $D$ 由 $y=2x-x^2$ 与 $y=x$ 围成。

（1）求 $D$ 的面积；
（2）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得体积。

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两曲线交点横坐标满足 $2x-x^2=x$ ，得 $x=0,1$ 。在其间抛物线在直线上方，且两者均非负。

（1）面积 $S=\int_0^1[(2x-x^2)-x]dx=\int_0^1(x-x^2)dx=1/6$ 。

（2）旋转截面为圆环，外半径 $2x-x^2$ 、内半径 $x$ 。所以 $V=\pi\int_0^1[(2x-x^2)^2-x^2]dx=\pi\int_0^1(3x^2-4x^3+x^4)dx=\pi/5$ 。

第 53 题

高等数学

7 分

某工厂生产产品的产量为 $x$ ，成本 $C(x)=\frac23x^3-22x^2+8x+3500$ ，每件价格为 $30-x/2$ 。问产量为多少时利润最大？

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总收入为 $R(x)=x(30-x/2)$ ，利润 $P=R-C=-2x^3/3+43x^2/2+22x-3500$ 。求导并因式分解： $P'=-2x^2+43x+22=-(2x+1)(x-22)$ 。对实际范围 $x\ge0$ （若要求价格非负，还需 $x\le60$ ），导数在 $0\le x<22$ 为正，在 $x>22$ 为负，因此利润先增后减，最大值在 $x=22$ 取得。整数产量也恰为 $22$ 。