2022年河南专升本高等数学真题

答案：A

将 $x$ 换为 $-x$，有 $h(-x)=[f(x)-f(-x)]/3=-h(x)$。定义域关于原点对称，因此满足奇函数定义；即便它恒为零，也仍是奇函数。

答案：B

分子比分母高一次，当 $x\to+\infty$ 时，商与 $(5/2)x$ 等价，故趋于正无穷。若符号 $x\to\infty$ 同时指两端无穷，则应理解函数绝对值无界；通常本题指正无穷方向。

答案：A

等价无穷小要求两者都趋于零且比值趋于一。基本展开为 $1-\cos x\sim x^2/2$，所以 A 正确。B 两者阶数不同，C 中余切不趋零，D 的比值趋于零。

答案：C

分子乘共轭，原式化为 $6/[\sqrt{7x-6}+\sqrt x]$，取极限得到 $6/2=3$。也可视为函数 $\sqrt{7x-6}-\sqrt x$ 在 $1$ 处的导数。

答案：B

将分母改成导数定义中的 $5x$：给定极限等于 $(5/2)\lim[f(5x)-f(0)]/(5x)=(5/2)f'(0)$。令其等于 $1$，得 $f'(0)=2/5$。

答案：A

链式法则给出 $(\sqrt{2x})'=2/(2\sqrt{2x})=1/\sqrt{2x}$，$(\cos3x/3)'=-\sin3x$。相加得 A，导数公式适用于 $x>0$。

答案：D

第一段值域为 $(1,2]$，第三段值域为 $[2,3)$，中间点值为 $2$，所以总值域为 $(1,3)$。下确界 $1$、上确界 $3$ 都取不到，因此既无最大值也无最小值。两侧极限分别为 $1,3$，还存在跳跃间断。

答案：C

$|\tan x|\to0$，与函数值相同，所以连续。右差商趋于 $1$，左差商趋于 $-1$，左右导数不同，因此不可导。

答案：A

参数求导为 $(1+2\cos2t)/(-\sin t)$。在 $t=\pi/2$，分子为 $1-2=-1$，分母为 $-1$，故导数为 $1$。

答案：C

由夹逼定理 $2x\sin(1/x)\to0$，左极限为 $a$；右极限由基本极限得 $1$。可去间断要求两侧极限相等且不同于函数值 $0$，故 $a=1$。

答案：C

分母零点 $3,-7$ 均未与分子约去，所以有两条垂直渐近线 $x=3,x=-7$。分子分母同次，首项系数比为 $3$，另有水平渐近线 $y=3$。共三条。

答案：B

左极限为 $3$。对 $k\ne0$，利用 $\ln(1-kx^2)\sim-kx^2$ 得右极限 $-1/k$。两侧相等要求 $-1/k=3$，即 $k=-1/3$；此时对数真数在零附近为正，公式有效。$k=0$ 时分母恒零，不可取。

答案：B

因为 $[f(7x)]'=7f'(7x)$，所以积分时需乘 $1/7$ 抵消链式法则中的系数。结果为 $f(7x)/7+C$。

答案：C

在 $1<x\le2$，有 $0<\ln x<1$，所以 $(\ln x)^2>(\ln x)^3$。两边积分且严格不等式在正长度区间成立，故 $I_1>I_2$。

答案：D

A 换元 $u=x^2$ 后为收敛指数积分；B 的无穷远通项为 $1/x^3$，收敛；C 为 $3\arctan x$ 的两端差，等于 $3\pi$。D 的原函数为 $3\ln(1+x^2)$，上限趋于无穷时发散。

答案：B

变上限积分求导时，将 $t$ 换为 $2x$，并乘上上限的导数 $2$，得到 $2\cos((2x)^2)=2\cos4x^2$。

答案：D

改写为 $z=(x^2+y^2)/3$。水平截面为圆，轴向截面为抛物线，且顶点在原点，故为绕 $z$ 轴的旋转抛物面。

答案：D

拉格朗日中值定理给出 $f(3)-f(-1)=4f'(\xi)<0$，所以 D 成立。导数符号只确定单调性，不能确定函数值本身的正负。

答案：B

两个特征根为 $-2,1$，故特征多项式为 $(r+2)(r-1)=r^2+r-2$。把 $r^2,r,1$ 分别对应 $y'',y',y$，得到 B。

答案：A

反正弦的导数为 $1/\sqrt{1-u^2}$，内函数 $u=3x+1$ 的导数为 $3$，所以 $dy=3dx/\sqrt{1-(3x+1)^2}$。该微分公式适用于 $|3x+1|<1$。

答案：D

设 $\boldsymbol a=\lambda(-1,2,1)$。与 $\boldsymbol c$ 点乘为 $\lambda(-1+4-1)=2\lambda=6$，得 $\lambda=3$，因此 $\boldsymbol a=(-3,6,3)$。

答案：A

梯度为 $(x,y)/\sqrt{2+x^2+y^2}$。在 $(1,-1)$，根号等于 $2$，故梯度为 $(1/2,-1/2)$。

答案：C

由于 $e^{y^2}$ 没有初等原函数，先交换积分次序。区域为 $0\le x\le y\le2$，所以积分为 $\int_0^2dy\int_0^y e^{y^2}dx=\int_0^2ye^{y^2}dy=(e^4-1)/2$。

答案：C

等比级数收敛的充要条件是公比绝对值小于一，所以 $|q-3|<1$，解得 $2<q<4$。端点公比为 $\pm1$，通项不趋零，不可取。

答案：A

绝对值不超过 $n^2/5^n$。这个正项级数相邻项比为 $(n+1)^2/(5n^2)\to1/5<1$，因此收敛；由比较判别法，原级数绝对收敛。

反函数值表示使 $f(x)=2$ 的自变量。解 $\sqrt{x^3+2}=2$，得 $x^3=2$，因此 $x=\sqrt[3]2$。函数在其定义域单调，逆值唯一。

在 $(0,1)$ 附近，对数真数为正且分母不为零，表达式连续，可以直接代入。分子为 $\ln(1+1)=\ln2$，分母为 $1$。

$f'(x)=e^{-x}(1-x)$。因指数因子恒正，导数在 $x>1$ 时为负，在 $x<1$ 时为正，所以严格递减区间为 $(1,+\infty)$。

每次对 $5^x$ 求导都会乘一个 $\ln5$，而指数函数本身保留。连续求导 $n$ 次即得到 $5^x(\ln5)^n$。

切点为 $(\cos(3\pi/4)+\sqrt2/2,\sin(\pi/4))=(0,\sqrt2/2)$。斜率为 $\cos t/(-3\sin3t)$，代入得 $-1/3$。由点斜式得到 $y-\sqrt2/2=-x/3$。

分子分母均趋于零，可用洛必达法则：导数之比为 $\ln(2+x^3)/\cos x\to\ln2$。被积函数在零附近连续，分子求导合法。

平均变化率为 $[(e-2)-(1-2)]/(1-0)=e-1$。令导数 $e^\xi=e-1$，得 $\xi=\ln(e-1)$。由于 $1<e-1<e$，该点确在 $(0,1)$。

由原函数关系，$f(x)=(\ln x)'=1/x$，故 $f'(x)=-1/x^2$。于是 $xf'(x)=-1/x$，积分得到 $-\ln x+C$，定义域沿用 $x>0$。

部分分式为 $3/(x-3)-3/(x-2)$。分别积分得到 $3\ln|x-3|-3\ln|x-2|+C$，合并即可；原函数在避开 $2,3$ 的每个区间分别理解。

括号中每一项均为偶函数，乘以奇函数 $x$ 后为奇函数。奇函数在关于原点对称的区间上积分为零。

半径平方等于球心到给定点的距离平方，即 $1^2+2^2+2^2=9$。原点为球心的球面标准式为 $x^2+y^2+z^2=r^2$，故右端是 $9$。

先对 $y$ 求导，$u_y=-ze^{3x-yz}$；再对 $x$ 求导，视 $y,z$ 为常数，得到 $-3ze^{3x-yz}$。反向求导也给出相同结果。

对 $x$ 连续积分两次，先得 $y'=3x^2+C_1$，再得 $y=x^3+C_1x+C_2$。二阶微分方程需要两个独立积分常数。

用格林公式，$Q_x-P_y=3-(-3)=6$。圆域面积为 $25\pi$，所以积分为 $6\times25\pi=150\pi$。正方向是逆时针，符号为正。

通项正且小于 $2/e^n$。后者为公比 $1/e<1$ 的收敛等比级数，故由比较判别法，原级数收敛。

通分得到 $2[x-\ln(1+x)]/[x\ln(1+x)]$。利用 $\ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$，分子为 $x^2+o(x^2)$，分母为 $x^2+o(x^2)$，故极限为 $1$。必须保留到二阶，不能只用一阶等价直接相减。

令 $u=x+3y-2z$，方程变为 $\sin u=u$。实数中只有 $u=0$：当 $u>0$ 时 $u-\sin u=\int_0^u(1-\cos t)dt>0$，负数情形由奇性得到。因此 $z=(x+3y)/2$，直接求导得 $1/2,3/2$。不应把隐函数公式中的 $\cos u-1$ 约去，因为在实际解上它为零。

$y'=e^{\arctan x}/(1+x^2)$，再求导得 $y''=e^{\arctan x}(1-2x)/(1+x^2)^2$。除 $1-2x$ 外的因子均正，因此在 $x<1/2$ 二阶导正，在 $x>1/2$ 二阶导负，按本卷命名分别为凹、凸。二阶导在 $1/2$ 变号，得到所示拐点。

改写为 $y'-y=e^{-x}$，乘积分因子 $e^{-x}$ 得 $(ye^{-x})'=e^{-2x}$。积分为 $ye^{-x}=-e^{-2x}/2+C$，两边乘 $e^x$ 即得通解。

令 $t=\sqrt x$，则 $dx=2t dt$，上下限为 $0,2$。积分成为 $2\int_0^2te^{-t/2}dt$。分部积分得到原函数 $-4(t+2)e^{-t/2}$，代入得 $-16/e+8$。

将第二项分解为 $2/(x\ln x)+1/x$。分别使用 $\int dx/(1+x^2)=\arctan x$、令 $u=\ln x$ 的换元积分，以及 $\int dx/x=\ln x$，得所示结果。原式要求 $x>0$ 且 $x\ne1$，积分常数在两个连通区间分别理解。

区域为矩形，被积函数分离为只含 $x$ 与只含 $y$ 的乘积，故积分是 $[\int_0^3x/\sqrt{x^2+1}dx][\int_1^5\ln y/y\,dy]$。前者为 $\sqrt{10}-1$，后者为 $(\ln5)^2/2$，相乘即得。

设垂足 $B=(t-1,2t+1,t)$，给定点 $A=(1,-1,2)$，则 $\overrightarrow{AB}=(t-2,2t+2,t-2)$。与直线方向 $(1,2,1)$ 点乘为 $6t$，垂直要求 $t=0$，故 $B=(-1,1,0)$。

驻点满足 $6y-3x^2=0$ 和 $6y+6x=0$，得 $(0,0)$、$(-2,2)$。二阶导数 $A=f_{xx}=-6x,B=f_{xy}=6,C=f_{yy}=6$。在原点，$AC-B^2=-36<0$，为鞍点。在 $(-2,2)$，$A=12,AC-B^2=36>0$，为严格极小值点，代入函数得 $1$。所有驻点已列完，因此无其他极值点。

比值判别得绝对收敛条件 $|x-2|<1$，即 $1<x<3$。在 $x=1$ 为 $\sum(-1)^n/(n+1)$，由交错级数判别收敛；在 $x=3$ 为调和级数去掉首项，发散。因此收敛域为 $[1,3)$。

对 $F(t)=(\ln t)^2$ 在 $[a,b]$ 使用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使左端为 $(2\ln\xi/\xi)(b-a)$。令 $g(t)=2\ln t/t$，则 $g'(t)=2(1-\ln t)/t^2<0$（$t>e$），故 $\xi<e^3$ 推出 $g(\xi)>g(e^3)=6/e^3$。乘正数 $b-a$ 即得严格不等式。