2012年河南专升本高等数学真题

答案：C

根式要求$4+x\ge0$，分式要求$x\ne0$；反正切函数对实数没有额外限制。两个条件取交集，即$[-4,0)\cup(0,+\infty)$。

答案：B

$x$和$\sin x$都是奇函数，其乘积满足$(-x)\sin(-x)=x\sin x$，故B是偶函数。A、C的定义域也不关于原点对称，D满足$e^{-x}\ne e^x$。

答案：D

基本等价关系$\ln(1+u)\sim u$在$u\to0$时成立。令$u=2x$，得到$\ln(1+2x)\sim2x$。

答案：D

取趋于0的数列$x_n=1/(n\pi)$，函数值恒为0；取$t_n=1/(n\pi+\pi/2)$，函数值恒为1。同侧极限也不存在，因此为第二类间断点。

答案：C

$\sqrt[3]x\to0=y(0)$，所以连续。但差商$\sqrt[3]h/h=1/h^{2/3}\to+\infty$，没有有限导数，因此不可导。

答案：A

$f(0)=0$。右差商为$\varphi(h)\to\varphi(0)$，左差商为$-\varphi(h)\to-\varphi(0)$。由于$\varphi(0)\ne0$，两单侧导数不同，故不可导。

答案：B

微分链式法则给出$dy=f'(u)du$，代$u=e^x$得$dy=f'(e^x)d(e^x)=f'(e^x)e^xdx$，因此B正确。

答案：B

水平渐近线由$x\to\infty$时$y$的有限极限决定。若$f(x)\to\infty$，则$1/f(x)\to0$，所以$y=0$为水平渐近线。趋于0的条件涉及竖直方向附近，不能推出水平渐近线。

答案：D

$dy/dx=1-\frac12\cos x\ge1/2>0$，可取局部反函数，且$dx/dy=1/(dy/dx)=2/(2-\cos x)$。

答案：B

右差商$[1+h-1]/h=1$；左差商$\sin h/h\to1$。两者相等，因此导数存在且为1，也就是切线斜率。

答案：D

左边对$x$的导数为$3x^2+3>0$，所以严格递增，在任何区间至多一个零点。取$c$使端点异号时可以有一个，故最多1个。

答案：A

不定积分是$f$的全体原函数，对其中任一原函数求导均得到$f$，所以A成立。B、C作为不定积分等式都漏了任意常数；D的右边应为$f(x)dx$，漏了微分$dx$。

答案：C

已知一个原函数后，全体原函数只相差任意常数，所以直接得到$x-\arcsin x+C$。B是$f(x)$再加常数，并非$f$的原函数。

答案：B

先由$f'=1$得$f=x+C_0$，代$f(0)=1$得$f=x+1$。再积分为$x^2/2+x+C$。

答案：B

变下限求导先带负号，再代下限并乘下限导数：$-[-\cos((\sin x)^2)]\cos x=\cos(\sin^2x)\cos x$。

答案：C

令$u=x^2$，$du=2xdx$，积分化为$\int_0^1ue^{-u}du=[-(u+1)e^{-u}]_0^1=1-2/e$。

答案：D

D的原函数为$-e^{-5x}/5$，上端趋于0，下端有限，故收敛。A、C原函数为$(\ln x)^2/2$，在对应奇端发散；B近0为$x^{-4/3}$，指数大于1，也发散。

答案：A

最高阶导数为$y''$，所以二阶。乘积$yy'$的系数包含未知函数$y$，不符合未知函数及各阶导数一次线性组合的形式，因此非线性。

答案：B

在$y\ne0$的解区间内分离变量：$y\,dy=\sin x\cos xdx$。积分得$y^2/2=\sin^2x/2+C_0$，两边乘2并合并常数得到B。

答案：D

方向余弦满足$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$。所以$\cos^2\beta=1-1/2-1/4=1/4$，在$[0,\pi]$内有$\beta=60^\circ$或$120^\circ$。

答案：B

方向向量$(-1,2,3)$与法向量$(2,1,0)$点积为0，说明平行或在平面内。直线上点$(0,1,-2)$不满足平面方程，故平行而不在平面内。

答案：C

C可写成$x=y^2+z^2$，右边只取决于到$x$轴的距离平方，因此绕$x$轴旋转不变，是旋转抛物面。其余方程对应椭圆柱面、双曲抛物面、非旋转椭圆锥面。

答案：B

在原式定义处用共轭约分，得到$1/(\sqrt{xy}+1)$。当$(x,y)\to(1,1)$时分母趋于2，故极限为$1/2$。

答案：A

可微时增量可作线性近似，沿坐标轴分别取增量就得到两个偏导数存在，因此充分。但只有两个方向的偏导存在不保证全部方向的线性近似，所以不是必要条件。

答案：C

先求$z_x=1+y\cos(xy)$，再对$y$求导，乘积法则得$z_{xy}=\cos(xy)+y[-\sin(xy)]x=\cos(xy)-xy\sin(xy)$。

答案：B

通项改写为$(-2x)^n/n!$，与指数函数展开$e^t=\sum t^n/n!$对应，令$t=-2x$即得$e^{-2x}$。

答案：A

A的通项绝对值趋于4，不趋于0，违反级数收敛必要条件，故发散。B由交错级数判别法收敛，C为几何级数，D与$p=3/2>1$的$p$级数比较收敛。

答案：C

在距中心2的点0条件收敛，说明半径恰为2，否则应绝对收敛。2、3严格位于半径内，一定收敛；-1、5在外必发散；4是另一端点，无法确定。因此有2个。

答案：C

设势函数$F=xe^y+xy-2x-\frac32y^2$，其两个偏导数恰为被积式系数，故积分等于终点减起点。$F(-1,-1)=3/2-e^{-1}$，$F(1,1)=e-5/2$，差为$4-e-e^{-1}$。

答案：A

原区域是顶点$(0,0),(1,1),(2,0)$的三角形。横向切片范围为$0\le y\le1$、$y\le x\le2-y$，所以可合并为A。

令$u=x-1$，则$x=u+1$，所以$f(u)=(u+1)^2-(u+1)=u^2+u$。再代$u=\sqrt x$，得到$x+\sqrt x$，此时要求$x\ge0$。

对固定$x$使用重要极限$(1+a/t)^t\to e^a$，得$f(x)=e^{2x}$。所以$f(\ln2)=e^{2\ln2}=4$。

由费马定理，内点处可导函数若有极值，其导数必为0。可从左、右差商分别非正、非负且极限相同得出$f'(a)=0$。

一阶导数$y'=e^{-x}(1-x)$，二阶导数$y''=e^{-x}(x-2)$。在$x=2$两侧二阶导数变号，所以该点为拐点，纵坐标为$2e^{-2}$。

分解为$1/[x(x^2-1)]=-1/x+x/(x^2-1)$。后一项令$u=x^2-1$积分，得$-\ln|x|+\frac12\ln|x^2-1|+C$，适用于不跨$-1,0,1$的区间。

积分因子为$e^{\int2xdx}=e^{x^2}$，原方程化为$(ye^{x^2})'=1$。积分得$ye^{x^2}=x+C$，代初值得$C=0$，故$y=xe^{-x^2}$。

这里投影指有向标量投影，等于$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b/|\boldsymbol b|$。点积为$-3+8=5$，模为5，故投影为1；若问投影向量则为$(0,3/5,4/5)$。

先在$x=0,y=1$时得到$z=0$。隐式求导得$y+z+(x+y)z_x=0$，所以$z_x=-(y+z)/(x+y)$；代入为$-1$。

配方得$x^2+(y-2)^2\le4$，为半径2的圆盘。常数1的二重积分就是区域面积，等于$\pi\cdot2^2=4\pi$。

与调和级数比较：$u_n/(1/n)=nu_n\to k$，极限为正有限数，故两级数同敛散。调和级数发散，所以本级数发散。

当 $x\to0$ 时，$\tan x-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\sim\frac{x^3}{2}$，且 $e^{x^3}-1\sim x^3$，故极限为 $\frac12$。原扫描未显示指数；这里按流传答案的推导将指数编辑性复原为$x^3$。

参数曲线求导要求$dx/dt=-a\cos t\ne0$。由$dy/dt=a\sin t$得$dy/dx=-\tan t$。再次对$x$求导，须把对$t$的导数除以$dx/dt$：$d^2y/dx^2=(-\sec^2t)/(-a\cos t)=1/(a\cos^3t)$，两个负号相消，最终为正号。

令$t=\sqrt{x+1}$，则$x=t^2-1,dx=2tdt$。原积分为$2\int te^tdt=2(te^t-e^t)+C$，代回即得。对结果求导可还原$e^{\sqrt{x+1}}$。

连续性给出$\int_0^xe^{t^2}dt\sim x$；而$1-e^{x^2}\sim-x^2$。所以原式等价于$x\cdot x/(-x^2)=-1$。必须保留分母$1-e^{x^2}$的负号。

特征方程$2r^2+4r+3=0$，解为$r=-1\pm i/\sqrt2$。共轭复根$\alpha\pm i\beta$对应实解$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$，代入得到所示通解。

驻点由$z_x=-2x+6=0$、$z_y=3y^2-12=0$得$(3,\pm2)$。二阶导数$A=-2,B=0,C=6y$。在$(3,-2)$，$AC-B^2=24>0,A<0$，是极大值点，值为35；在$(3,2)$，$AC-B^2=-24<0$，为鞍点，不是极值点。因此无极小值。

两平面法向量分别为$(2,3,-1),(1,0,2)$。交线方向为叉积$(6,-5,-3)$。用给定点写点向式$(x,y,z)=(2,-3,-1)+s(6,-5,-3)$，再写成所示对称式。

把第二项写成$\frac12\ln(x^2+y^2)$。第一项偏导分别为$y/(x^2+y^2)$和$-x/(x^2+y^2)$，第二项偏导分别为$x/(x^2+y^2)$和$y/(x^2+y^2)$。相加并用$dz=z_xdx+z_ydy$得到结论。

用极坐标，$\pi\le r\le2\pi,0\le\theta\le2\pi$。积分为$2\pi\int_\pi^{2\pi}r\sin r\,dr$。分部积分原函数为$-r\cos r+\sin r$，上下限差为$-2\pi-\pi=-3\pi$，乘$2\pi$得$-6\pi^2$。

比值判别得$|x-2|<1$时绝对收敛，半径为1。$x=1$时为交错级数，项绝对值递减到0，收敛；$x=3$时为$p=1/2$的正项级数，发散。故收敛域为$[1,3)$。

对数求导：$\ln f=(\ln x)/x$，所以$f'/f=(1-\ln x)/x^2$。在$(0,e)$为正，在$(e,\infty)$为负，因此全局最大值在$e$处，为$e^{1/e}$。整数$n\ge3>e$对应项递减；只需比较前3项，已知$\sqrt2<\sqrt[3]3$且$1<\sqrt2$，所以数列最大项是$\sqrt[3]3$。