2016年河南专升本高等数学真题

答案：D

根式必须有意义，且分母不能为零，因此要求 $1-x>0$，即 $x<1$。故定义域为 $(-\infty,1)$，选 D。

答案：A

定义域为全体实数，关于原点对称。代入得 $f(-x)=-x+2x^3=-f(x)$，所以为奇函数，选 A。

答案：D

把内层函数整体代入：$f(f(x))=1-1/(1-1/x)=1-x/(x-1)=1/(1-x)$。两层函数同时有定义须 $x\ne0,1$，选 D。

答案：D

A 直接代入为 0；B 分子分母除以 $x^2$ 后为 0；C 指数函数趋于 0。D 的函数值无限增大，没有有限实数极限，故选 D。

答案：C

分母为 $x^2$，逐项相除得 $1/x^2-2/x-1$。前两项趋于 0，极限为 $-1$，选 C。

答案：D

当 $a\ne0$ 时，$\sin(ax)\sim ax$，故极限等于 $1/a$。由 $1/a=2$ 得 $a=1/2$；$a=0$ 时表达式无定义，选 D。

答案：A

利用 $1-\cos x\sim x^2/2$，有 $2-2\cos x\sim x^2$。因此 $a=1$，选 A。

答案：B

连续必须先使分子在 $x=1$ 为0，故只可能 $a=2$。此时分子为 $(x-1)^2$，分式化为 $x-1$，极限为0，却不等于 $f(1)=2$。所以 $a=2$ 时仍不连续，正确选项为 B。

答案：C

乘积求导得 $f'(x)=\varphi(x-1)+(x-1)\varphi'(x-1)$。令 $x=1$，第二项为0，得 $f'(1)=\varphi(0)$，选 C。也可直接用导数定义和可导蕴含连续得到同样结论。

答案：D

绝对值函数连续，所以 $f$ 在1连续。左侧 $f(x)=x$，右侧 $f(x)=2-x$，左右导数分别为1和-1，不相等，故不可导，选 D。

答案：C

两切线斜率分别为 $-3x_0^2$ 与 $1/x_0$，且对数要求 $x_0>0$。垂直意味着斜率乘积为-1，即 $-3x_0=-1$，得 $x_0=1/3$，故应选 C。

答案：A

$f$ 在闭区间连续、开区间可导，且端点值相同。计算 $f'(x)=-4x^3$，唯一零点为0，属于开区间，故选 A。

答案：A

导数为负时函数递减，导数为正时函数递增。函数在0两侧先减后增，且在0连续，所以邻近的非零点函数值都大于 $f(0)$，故0为极小值点，选 A。

答案：B

二阶导数在1左侧为负、右侧为正，表示图形从凸转凹，凹凸性发生变化。又二阶可导保证曲线连续，因此 $[1,f(1)]$ 是拐点，选 B；没有一阶导数的符号信息，不能直接判定极值。

答案：D

$y'=4x^3$，在正半轴为正，故单调递增；$y''=12x^2>0$（$x>0$），按本卷采用的下凹约定称为凹。因此选 D。负半轴虽递减，但二阶导数仍为正，A 的凹凸判断不成立。

答案：A

对候选原函数求导检验：$[F(x-1)]'=F'(x-1)\cdot1=f(x-1)$。平移变量的导数为1，不额外引入系数，故选 A。

答案：C

被积函数连续，变上限积分求导就是把积分变量 $t$ 替换为上限 $x$。所以 $f'(x)=e^{-x}+x^2$，选 C，不必先把积分全部算出。

答案：C

$e^{-x^2}$ 为偶函数，乘以奇函数 $x$ 得奇函数。奇函数在对称区间的积分为0，选 C；即使 $a<0$，换向后仍为0。

答案：C

在 $[0,1]$ 上指数函数为正，面积等于 $\int_0^1e^{-x}dx=[-e^{-x}]_0^1=1-e^{-1}$，选 C。

答案：B

在 $1<x\le2$ 上 $x^2>x$，在端点1相等。由定积分保序性得 $I_1>I_2$；也可算出 $I_1=7/3$，$I_2=3/2$，选 B。

答案：D

向量坐标为 $(0,1,1)$，模长 $\sqrt2$，方向余弦依次为 $0,1/\sqrt2,1/\sqrt2$。方向角取 $[0,\pi]$ 内的值，所以为 $(\pi/2,\pi/4,\pi/4)$，选 D。

答案：A

代入 $y=e^{-x}$，有 $y'=-e^{-x},y''=e^{-x}$。方程化为 $(3-3a)e^{-x}=0$；指数函数不为0，故 $a=1$，选 A。

答案：B

B 可写成 $y'=(xe^x)(ye^y)$，右端能分为只含 $x$ 和只含 $y$ 的乘积；对 $y\ne0$ 可写 $e^{-y}dy/y=xe^x dx$。分离时还应保留零解 $y=0$。其余式含不可直接分离的和或乘积指数，选 B。

答案：C

先对 $x$ 求偏导，$z_x=3x^2+y^2$；再对 $y$ 求导，得到 $z_{xy}=2y$。多项式光滑，交换求导次序结果也相同，选 C。

答案：B

设边长为正数 $a,b,c$，则 $ab+bc+ca=27$。由算术几何平均不等式 $27\ge3(abc)^{2/3}$，得 $abc\le27$，等号在 $a=b=c=3$ 时成立，故最大容积为27立方米，选 B。

答案：D

$D$ 是第一象限半径1至2的四分之一圆环，面积为 $\pi(4-1)/4=3\pi/4$。常数函数的二重积分等于常数乘区域面积，所以结果是 $3\pi$，选 D。

答案：A

原区域为 $0\le y\le x\le1$。改为先定 $y$ 时，$y$ 从0到1，而对应的 $x$ 从 $y$ 到1，故选 A。内层积分的上下限不能再含其自身积分变量。

答案：B

参数化 $x=t,y=\sqrt3t$，$0\le t\le1$，则 $ds=\sqrt{1+3}\,dt=2dt$。所以积分为 $\int_0^13t^2\cdot2dt=2$，选 B。

答案：A

A 为调和级数，发散。B 由交错级数判别法收敛；C 为 $p=2>1$ 的 $p$ 级数，收敛；D 绝对值级数等于 C，也收敛，选 A。

答案：C

级数收敛时，部分和 $S_n$ 有极限，故 $u_n=S_n-S_{n-1}\to0$，C 正确。A 可用调和级数反驳；B 可用 $\sum(-1)^n$ 反驳；D 可用交错调和级数反驳。

令 $y=x^3$，由于立方函数在全体实数上严格递增，可以反解 $x=\sqrt[3]y$。交换自变量与因变量名称，得反函数 $y=\sqrt[3]x$，定义域为全体实数。

分子分母同除以 $n$，得到 $(1-1/n)/(2+1/n)$。令 $n\to\infty$，分子趋于1、分母趋于2，结果为 $1/2$。

$x\to0$ 时左右极限均为2，因此极限存在且有限；但 $f(0)=1$，不等于该极限。只需把0处函数值改为2即可连续，所以是可去间断点。

在邻近点 $x_0=1$ 展开，$f(1)=1$，$f'(1)=-1$，增量 $\Delta x=-0.01$。一阶近似 $f(0.99)\approx f(1)+f'(1)\Delta x=1.01$。

令 $u=x+1$，则 $du=dx$。积分化为 $\int\sin u\,du=-\cos u+C$，代回得 $-\cos(x+1)+C$；求导可恢复被积函数。

在积分区间内 $1+x>0$，原函数为 $\ln(1+x)$。代入上下限得 $\ln2-\ln1=\ln2$。

全微分为 $dz=z_xdx+z_ydy$。这里 $z_x=y-2x$，$z_y=x-2y$，在 $(0,1)$ 处分别为1与-2，因此 $dz=dx-2dy$。

原向量模长为 $\sqrt{4+1+4}=3$。同向单位化应除以正模长，得 $(2/3,1/3,2/3)$；其模长为1且各分量比例不变。

对于 $y\ne0$，分离变量得 $dy/y^2=-x\,dx$，积分为 $-1/y=-x^2/2+C_1$，整理得 $y=2/(x^2+C)$。分离时除以了 $y^2$，故必须补回零解 $y=0$；非零解取分母不为0的区间。

这是公比为 $x/3$ 的几何级数，收敛条件为 $\lvert x/3\rvert<1$，即 $\lvert x\rvert<3$。所以收敛半径为3。

设表达式为 $u>0$，取对数得 $\ln u=(2/x)\ln(1-x)$。由于 $\ln(1-x)\sim-x$，对数极限为-2，故原极限为 $e^{-2}$。

把函数看成外层平方根与内层 $2-\cos x$ 的复合。链式法则给出 $y'=\tfrac12(2-\cos x)^{-1/2}\sin x$。因 $2-\cos x\ge1$，该公式对一切实数成立。

题中对数要求 $x>0$。令 $u=\ln x$，则 $du=dx/x$，积分化为 $\int(2u-1)du=u^2-u+C$，代回得 $(\ln x)^2-\ln x+C$。

分部积分取 $u=x,dv=\sin xdx$，则 $du=dx,v=-\cos x$。因此积分等于 $[-x\cos x]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos xdx=0+1=1$。

两平面法向量为 $(1,2,3)$ 与 $(3,5,7)$，交线的方向垂直于两者，取叉积得 $(-1,2,-1)$。过已知点的直线可写为 $(x,y,z)=(0,1,2)+t(-1,2,-1)$，消去 $t$ 即为所列对称式。

原式直接因式分解为 $(x-y)(z-1)=0$。若 $x\ne y$，只能有 $z=1$，所以 $dz=0$；隐函数求导也得 $dz=(1-z)dx/(x-y)+(z-1)dy/(x-y)=0$。当 $x=y$ 时方程恒成立，$F_z=x-y=0$，不能由它唯一确定二元函数，须注明此限制。

使用极坐标 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，区域为 $0\le r\le2,0\le\theta\le2\pi$，面积元为 $rdrd\theta$。积分化为 $2\pi\int_0^2r\sqrt{4-r^2}dr$。令 $u=4-r^2$，得 $\pi\int_0^4u^{1/2}du=16\pi/3$，也等于半径2的上半球体积。

将方程写为 $(xy)'=x$，积分得 $xy=x^2/2+C$。在不经过0的区间除以 $x$，得 $y=x/2+C/x$。若要求解延拓并经过0，则只能取 $C=0$，由原方程还要求 $y(0)=0$。

由比值判别法，通项绝对值比值趋于 $\lvert x-1\rvert$，因此内部收敛域为 $0<x<2$。在 $x=0$ 时各项成为 $1/(n+1)$，发散；在 $x=2$ 时为交错调和型级数，收敛。故收敛区间为 $(0,2]$，须包含右端点。

先记 $T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$。在 $\lvert x\rvert<1$ 内逐项求导得 $T'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$，又 $T(0)=0$，故 $T(x)=-\ln(1-x)$，从而 $S(x)=xT(x)$。左端点 $x=-1$ 为收敛的交错级数，值为 $\ln2$；右端点为调和级数，发散，故完整范围为 $[-1,1)$。

在 $[1,e]$ 上 $1/x>0$，上边界为 $1/x$，下边界为0。面积 $A=\int_1^e dx/x=[\ln x]_1^e=1$。

利润等于收入减成本：$L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x^2+30x-7500$。其导数 $L'(x)=30-0.02x$，令其为0得 $x=1500$；二阶导数恒为-0.02，因此此点为全局最大值点。1500是整数，符合台数要求，最大利润为15000。