2023河南专升本高等数学全卷预览

2023年河南专升本高等数学真题

2023年河南专升本高等数学真题完整试卷，包含 25 道选择题、15 道填空题和 13 道解答题，共 53 题，题目分值合计 150 分。可按目录阅读全卷，展开参考答案解析，或进入对应题目练习。

返回年度练习

53题全卷题目

150分题目分值合计

25题选择题 · 50分

15题填空题 · 30分

13题解答题 · 70分

选择题

25 题 · 共 50 分

第 1 题

高等数学

2 分

函数 $\displaystyle y=\frac7{\sqrt{49-x^2}}+\lg(3x-6)$ 的定义域是（）。
A. $(-7,2)$
B. $(2,7)$
C. $(-7,7)$
D. $(2,+\infty)$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：B

答案：B

根号在分母上，要求 $49-x^2>0$ ，即 $-7<x<7$ ；对数要求 $3x-6>0$ ，即 $x>2$ 。两个条件取交集，得到 $(2,7)$ 。

进入练习

第 2 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{10}\,x^2+4x}{\tan10x}$ 。（）
A. $-5/2$
B. $-2/5$
C. $2/5$
D. $5/2$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

分子提出 $x$ ，原式为 $(\sqrt{10}\,x+4)x/\tan10x$ 。由于 $\tan10x\sim10x$ ，极限为 $4/10=2/5$ 。根号只作用于 $10$ ，不包含后面的 $x^2+4x$ 。

进入练习

第 3 题

高等数学

2 分

设 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}3+e^{-2/x},&x\ne0,\\3,&x=0.\end{cases}$ 则 $0$ 是 $f$ 的（）。
A. 连续点
B. 可去间断点
C. 跳跃间断点
D. 第二类间断点

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：D

答案：D

当 $x\to0^+$ ， $e^{-2/x}\to0$ ，右极限为 $3$ ；当 $x\to0^-$ ，指数趋于正无穷，左极限无穷大。至少一个单侧极限不是有限值，故为第二类间断点。

进入练习

第 4 题

高等数学

2 分

当 $x\to2$ 时， $x-2$ 等价于（）。
A. $\frac14(x^2-4)$
B. $2x-4$
C. $(x-2)^2$
D. $\frac12(x^3-8)$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：A

答案：A

因 $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ，A 与 $x-2$ 的比值为 $(x+2)/4\to1$ 。其余选项与 $x-2$ 的比值分别趋于 $2,0,6$ ，不等价。

进入练习

第 5 题

高等数学

2 分

下列极限存在的是（）。
A. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{1-\sqrt{x^2+1}}$
B. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\arctan(1+x)$
C. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4+2x^2+1}{(x^2-2)(2x+1)}$
D. $\displaystyle\lim_{x\to0}\cos\frac3{x^3}$

编者修订： 本地扫描题面在 D 前有因子 $x$ ；高校对照版不含此前因子、但振荡项为 $\cos(5/x^5)$ 。本稿按本次指定保留扫描版中的 $3/x^3$ 并删除因子 $x$ ；该组合不是原卷字面复原。

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：B

答案：B

B 的极限为 $\pi/2$ 。A 有理化后为 $-(1+\sqrt{1+x^2})/x$ ，双侧极限不存在；C 与 $x/2$ 同阶并趋于正无穷。D 中 $\cos(3/x^3)$ 振荡：取 $x_n=(3/(2\pi n))^{1/3}$ 与 $y_n=(3/((2n+1)\pi))^{1/3}$ ，两列都趋于 $0^+$ ，函数值分别为 $1$ 与 $-1$ ，故极限不存在。因此仅 B 的有限极限存在。

进入练习

第 6 题

高等数学

2 分

已知 $f'(-3)=-2$ ，求 $\displaystyle\lim_{x\to-3}\frac{f(x)-f(-3)}{\sin(3+x)}$ 。（）
A. $-2$
B. $0$
C. $2$
D. 不存在

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：A

答案：A

将比值写成 $[f(x)-f(-3)]/(x+3)\cdot(x+3)/\sin(x+3)$ 。第一因子极限为导数 $f'(-3)=-2$ ，第二因子极限为 $1$ ，结果为 $-2$ 。

进入练习

第 7 题

高等数学

2 分

设 $y=f(x)$ 可导，满足 $\displaystyle f'(x^3+2)=\frac1{x^3+6}$ ，则 $dy$ 为（）。
A. $\displaystyle\frac{dx}{x^3-4}$
B. $\displaystyle\frac{dx}{x^3+6}$
C. $\displaystyle\frac{dx}{x+4}$
D. $\displaystyle\frac{dx}{x-4}$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

令 $u=x^3+2$ ，则 $x^3+6=u+4$ ，给定关系等价于 $f'(u)=1/(u+4)$ 。将自变量重新记作 $x$ ，得到 $dy=f'(x)dx=dx/(x+4)$ 。这里给的是导函数取值，并非复合函数整体的导数，不要额外乘 $3x^2$ 。

进入练习

第 8 题

高等数学

2 分

曲线 $\displaystyle y=3x^2(x-1)^{-2/3}+3$ 的垂直渐近线为（）。
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $y=3$
D. 无垂直渐近线

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：A

答案：A

改写为 $3x^2/\sqrt[3]{(x-1)^2}+3$ 。当 $x\to1$ 时分母趋于零且为正，分子趋于 $3$ ，函数趋于正无穷，故 $x=1$ 为垂直渐近线。

进入练习

第 9 题

高等数学

2 分

$f$ 在 $(a,b)$ 内可导，下列结论正确的是（）。
A. $f$ 在 $[a,b]$ 上连续
B. $f$ 在 $(a,b)$ 内可微
C. 存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$
D. 存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=[f(b)-f(a)]/(b-a)$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：B

答案：B

一元函数在一点可导与可微等价，因此 B 正确。题目没有给出端点定义或连续性，不能推出 A 或直接用中值定理得到 D；导数也不必取零，例如 $f(x)=x$ 。

进入练习

第 10 题

高等数学

2 分

曲线 $\displaystyle y=\frac{x}{2\ln x}+1$ 在 $(e^2,e^2/4+1)$ 处的切线斜率为（）。
A. $-8$
B. $-1/8$
C. $1/8$
D. $8$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

商法则给出 $y'=(\ln x-1)/[2(\ln x)^2]$ 。代入 $x=e^2$ ，得 $(2-1)/(2\times4)=1/8$ 。常数 $1$ 的导数为零。

进入练习

第 11 题

高等数学

2 分

设 $y=e^{ax}+x^3$ （ $a>0$ ），求 $y'''(0)$ 。（）
A. $6$
B. $a^3+6$
C. $a+6$
D. $a^2+6$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：B

答案：B

指数项三次求导为 $a^3e^{ax}$ ，三次项三次求导为 $6$ 。在 $x=0$ ，指数因子为 $1$ ，所以结果为 $a^3+6$ 。

进入练习

第 12 题

高等数学

2 分

设 $\displaystyle f(x)=\int_0^{x^2}\sqrt{2+u}\,du$ ，则 $f$ 在 $(-2,2)$ 内（）。
A. 先增后减
B. 单调递增
C. 单调递减
D. 先减后增

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：D

答案：D

变上限积分与链式法则给出 $f'(x)=2x\sqrt{2+x^2}$ 。根号恒正，故 $x<0$ 时导数负， $x>0$ 时导数正，函数在 $(-2,0)$ 递减，在 $(0,2)$ 递增。

进入练习

第 13 题

高等数学

2 分

已知 $f(x)=e^x$ ，求 $\displaystyle\int\left[\frac{f(\ln x)}{x^2}+1\right]dx$ 。（）
A. $\ln|x|+x+C$
B. $-\ln|x|+x+C$
C. $1/x+x+C$
D. $-1/x+x+C$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：A

答案：A

由于 $x>0$ ， $f(\ln x)=e^{\ln x}=x$ ，被积函数为 $1/x+1$ ，积分为 $\ln x+x+C$ ，与选项 A 在定义域内一致。

进入练习

第 14 题

高等数学

2 分

下列等式错误的是（）。
A. $\displaystyle\int_{-1}^1(x+\arctan x)dx=0$
B. $\displaystyle\int_{-1}^1x^2\sin xdx=0$
C. $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx=\pi/2$
D. $\displaystyle\int_0^2\sqrt{2x-x^2}dx=\pi$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：D

答案：D

A、B 被积函数均为奇函数，所以在对称区间上积分为零。C 是单位圆上半圆面积，为 $\pi/2$ 。D 根号内为 $1-(x-1)^2$ ，仍是半径 $1$ 的上半圆，其面积也为 $\pi/2$ ，不是 $\pi$ 。

进入练习

第 15 题

高等数学

2 分

下列广义积分收敛的是（）。
A. $\displaystyle\int_0^3\frac{dx}{x^5}$
B. $\displaystyle\int_5^{+\infty}\frac{x^2}{x^6+5}dx$
C. $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{3-2x-x^2}$
D. $\displaystyle\int_0^3\frac{dx}{(1-x)^5}$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：B

答案：B

B 的被积函数与 $1/x^4$ 等价，无穷远 $p=4>1$ ，故收敛。A 在零点为不可积的 $x^{-5}$ ；C 分母 $(1-x)(x+3)$ 在上端有一阶奇点；D 在区间内 $x=1$ 有五阶奇点，这三项都发散。

进入练习

第 16 题

高等数学

2 分

已知 $|\boldsymbol a|=\sqrt6$ ， $|\boldsymbol b|=2\sqrt3$ ， $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=3\sqrt2$ ，以两向量为邻边的平行四边形面积为（）。
A. $3\sqrt2/2$
B. $3\sqrt2$
C. $3\sqrt6$
D. $6\sqrt2$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

面积为叉积的模，其平方等于 $|a|^2|b|^2-(a\cdot b)^2$ 。代入得 $6\times12-18=54$ ，故面积为 $\sqrt{54}=3\sqrt6$ 。

进入练习

第 17 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\lim_{\substack{x\to6\\y\to0}}\frac{3y}{\sqrt{x^3y+9}-3}$ 。（）
A. $-1/12$
B. $0$
C. $1/12$
D. 不存在

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

乘以共轭并约去 $y$ ，在表达式定义的点上化为 $3[\sqrt{x^3y+9}+3]/x^3$ 。它在 $(6,0)$ 附近有连续延拓，极限为 $3\times6/6^3=1/12$ 。

进入练习

第 18 题

高等数学

2 分

函数 $z=2x^2+3xy-4x-15$ 在条件 $2x-y=4$ 下的最小值为（）。
A. $-23$
B. $-17$
C. $-15$
D. $-11$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：A

答案：A

从约束得 $y=2x-4$ ，代入化为 $z=8x^2-16x-15=8(x-1)^2-23$ 。平方项非负，故最小值为 $-23$ ，在 $(x,y)=(1,-2)$ 取得。

进入练习

第 19 题

高等数学

2 分

$f(x,y)=1+ye^{2x}$ 在 $(0,1)$ 沿 $\boldsymbol l=(6,-8)$ 的方向导数为（）。
A. $-2/5$
B. $-2$
C. $2/5$
D. $2$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

梯度为 $(2ye^{2x},e^{2x})$ ，在给定点是 $(2,1)$ 。方向向量长度为 $10$ ，单位方向为 $(3/5,-4/5)$ 。点乘为 $2\times3/5-4/5=2/5$ 。

进入练习

第 20 题

高等数学

2 分

平面 $\pi_1:x+4y+2z-5=0$ 与 $\pi_2:2x-5y+9z+4=0$ 的关系为（）。
A. 垂直
B. 重合
C. 平行但不重合
D. 相交但不垂直

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：A

答案：A

两个法向量为 $(1,4,2)$ 、 $(2,-5,9)$ ，点积为 $2-20+18=0$ ，所以法向量垂直，两个平面也垂直。

进入练习

第 21 题

高等数学

2 分

设 $D:x^2+y^2\le8$ ，求 $\displaystyle\iint_D(x^2+y^2+2x+3)dxdy$ 。（）
A. $11\pi$
B. $40\pi$
C. $56\pi$
D. $80\pi$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

圆域关于 $y$ 轴对称， $2x$ 的积分为零。极坐标中半径 $R=\sqrt8$ ，积分为 $2\pi\int_0^{\sqrt8}(r^2+3)rdr=2\pi[ r^4/4+3r^2/2]_0^{\sqrt8}=56\pi$ 。

进入练习

第 22 题

高等数学

2 分

微分方程 $y'''-2x^3y'+x^2y=x\sin x$ 是（）。
A. 三阶线性微分方程
B. 三阶非线性微分方程
C. 四阶线性微分方程
D. 四阶非线性微分方程

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：A

答案：A

最高导数是 $y'''$ ，所以阶数为三。 $y$ 及各阶导数只以一次形式出现，系数仅依赖 $x$ ，没有相互乘积，因此是线性方程。右端非零说明它是非齐次方程，不影响线性判断。

进入练习

第 23 题

高等数学

2 分

微分方程 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{3x}{y\cos(y^2)}$ 的通解为（）。
A. $\sin(y^2)+3x^2+C=0$
B. $\sin(y^2)-3x^2+C=0$
C. $\sin(y^2)+3x^2=0$
D. $\sin(y^2)-3x^2=0$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：B

答案：B

分离变量得 $y\cos(y^2)dy=3x dx$ ，两边积分为 $\frac12\sin(y^2)=\frac32x^2+C$ 。乘以二并重新记常数，得到 B。解应限制在 $y\cos(y^2)\ne0$ 的原方程定义区间。

进入练习

第 24 题

高等数学

2 分

下列级数绝对收敛的是（）。
A. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sqrt{n^2+1}+\sin n}{n+1}$
B. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{5^n-3^n}{5^n}$
C. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{(n+3)\sqrt{3n+2}}$
D. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{5n+4}}$

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：C

答案：C

A、B 的通项绝对值均趋于 $1$ ，连通项趋零的必要条件都不满足。C 的绝对值通项与 $1/(\sqrt3n^{3/2})$ 等价， $p=3/2>1$ ，收敛。D 的绝对值与 $1/\sqrt{5n}$ 等价，发散，因此只有 C 绝对收敛。

进入练习

第 25 题

高等数学

2 分

已知正项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ ，下列结论正确的是（）。
A. 若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\sum\sqrt{u_n}$ 收敛
B. 若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\sum u_{n+5}$ 收敛
C. 若 $\sum(-1)^nu_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛
D. 若 $\sum u_n/n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛

查看答案与解析收起答案与解析

参考答案：B

答案：B

去掉有限项不改变敛散性，因此 B 正确。A 可取 $u_n=1/n^2$ ，开方后成为发散调和级数。C 可用条件收敛交错调和级数反驳；D 取 $u_n=1/n$ ，则 $\sum u_n/n$ 收敛而 $\sum u_n$ 发散。

进入练习

填空题

15 题 · 共 30 分

第 26 题

高等数学

2 分

求 $y=1+2\tan5x$ （ $|x|<\pi/10$ ）的反函数。

查看答案与解析收起答案与解析

给定区间使 $5x\in(-\pi/2,\pi/2)$ ，正切在此严格递增且可逆。由 $\tan5x=(y-1)/2$ ，得 $x=\frac15\arctan((y-1)/2)$ ，交换自变量名称即得反函数，其值域为 $(-\pi/10,\pi/10)$ 。

进入练习

第 27 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)-2x}{\sin3x}$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

分子展开为 $3x+o(x)-2x=x+o(x)$ ，分母为 $3x+o(x)$ ，因此比值趋于 $1/3$ 。

进入练习

第 28 题

高等数学

2 分

设 $f(x)=(7x-6)^{8/7}+9x$ ，求 $f''(1)$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

先求导得 $f'(x)=8(7x-6)^{1/7}+9$ ，再求导得 $f''(x)=8(7x-6)^{-6/7}$ （在 $x=1$ 邻域可用）。代入 $x=1$ 得 $8$ 。线性项的二阶导数为零。

进入练习

第 29 题

高等数学

2 分

设参数方程 $y=\sqrt3\,t^3+t$ ， $x=t^2-5$ ，求 $dy/dx$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

分别求参数导数， $dy/dt=3\sqrt3t^2+1$ ， $dx/dt=2t$ ，相除得答案。 $t=0$ 时 $x$ 的参数导数为零而 $y$ 的不为零，对应竖直切线，不能给有限斜率。

进入练习

第 30 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle y=\frac{x^2}2+4\ln x+\ln7$ 的拐点。

查看答案与解析收起答案与解析

定义域为 $x>0$ 。 $y'=x+4/x$ ， $y''=1-4/x^2$ ，在 $(0,2)$ 为负，在 $(2,\infty)$ 为正，故 $x=2$ 为拐点横坐标。代入求得纵坐标 $2+4\ln2+\ln7$ 。

进入练习

第 31 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\int\left(\frac3{\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1-x}\right)dx$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

第一项使用反正弦积分公式。第二项令 $u=1-x$ ，则 $dx=-du$ ，原来的负号与换元负号抵消，得到 $\int u^{1/2}du=2u^{3/2}/3$ 。两项相加即可，实数公式在 $-1<x<1$ 适用。

进入练习

第 32 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\int_0^1\frac2{e^{-x}+5}dx$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

分子分母乘 $e^x$ ，被积函数成为 $2e^x/(1+5e^x)$ 。令 $u=1+5e^x$ ，积分为 $(2/5)\ln u$ 的上下限差，得到 $(2/5)[\ln(1+5e)-\ln6]$ 。

进入练习

第 33 题

高等数学

2 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xe^{\sin2t}dt}{\tan(3x+7\sin x)}$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

分子与 $x$ 等价，因为被积函数在零点连续且值为一。分母中 $3x+7\sin x\sim10x$ ，再用 $\tan u\sim u$ ，因此结果为 $1/10$ 。

进入练习

第 34 题

高等数学

2 分

求曲面 $z=x^3+y^2-3xy+4y-3$ 在 $(1,-2,0)$ 处的法线方程。

查看答案与解析收起答案与解析

令 $F=x^3+y^2-3xy+4y-3-z$ 。法向量为 $\nabla F=(3x^2-3y,2y-3x+4,-1)$ ，在给定点为 $(9,-3,-1)$ 。该点代入曲面方程成立，由过点方向式得到法线。

进入练习

第 35 题

高等数学

2 分

求点 $(-3,\sqrt5,2)$ 到平面 $4x+\sqrt5y-2z-4=0$ 的距离。

查看答案与解析收起答案与解析

点到平面的距离为 $|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 。代入得 $|-12+5-4-4|/\sqrt{16+5+4}=15/5=3$ 。

进入练习

第 36 题

高等数学

2 分

设 $z=2\sin x^2+e^{2y}-3xy^2$ ，求全微分 $dz$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

全微分为 $z_xdx+z_ydy$ 。第一项对 $x$ 求导时应用链式法则，得 $4x\cos x^2$ ；其余分别求偏导，得到 $z_x=4x\cos x^2-3y^2$ 、 $z_y=2e^{2y}-6xy$ ，代入即可。

进入练习

第 37 题

高等数学

2 分

交换积分次序： $\displaystyle\int_5^7dy\int_{(y-3)/2}^{2}f(x,y)dx$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

原区域满足 $5\le y\le7$ 且 $(y-3)/2\le x\le2$ 。改写为 $y\le2x+3$ ，横坐标总体从 $1$ 到 $2$ ；固定 $x$ 后，纵坐标从 $5$ 到斜边 $2x+3$ 。由此得交换后的积分。

进入练习

第 38 题

高等数学

2 分

曲线 $L$ 参数方程为 $x=\sqrt3\cos2t,y=\sqrt3\sin2t$ （ $0\le t\le\pi$ ）。求 $\displaystyle\int_L\left(\frac{x^2+y^2}3\right)^4ds$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

沿曲线 $x^2+y^2=3$ ，所以被积函数恒为一，积分就是弧长。参数角 $2t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ ，恰好绕半径 $\sqrt3$ 的圆一周，弧长为 $2\pi\sqrt3$ 。

进入练习

第 39 题

高等数学

2 分

求微分方程 $y''+5y'-24y=0$ 的通解。

查看答案与解析收起答案与解析

特征方程 $r^2+5r-24=(r-3)(r+8)=0$ ，有不同实根 $3,-8$ 。因此两个独立解为 $e^{3x},e^{-8x}$ ，线性组合即为通解。

进入练习

第 40 题

高等数学

2 分

当 $-5<x<5$ ，求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{5^n}$ 的和函数。

查看答案与解析收起答案与解析

提出 $x$ 后得到 $x\sum_{n=1}^\infty(x/5)^n$ 。在 $|x|<5$ ，等比级数和为 $(x/5)/(1-x/5)$ ，乘回 $x$ 即得 $x^2/(5-x)$ 。

进入练习

解答题

13 题 · 共 70 分

第 41 题

高等数学

5 分

设 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}ax^2+2x-1,&x<1,\\b,&x=1,\\\frac{x^2-1}{\sin(\sqrt x-1)},&x>1.\end{cases}$ 若在 $x=1$ 连续，求 $a,b$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

右极限中 $\sin(\sqrt x-1)\sim\sqrt x-1$ ，并且 $x^2-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)(x+1)$ ，所以右极限为 $4$ 。左极限为 $a+1$ ，函数值为 $b$ 。连续要求 $a+1=b=4$ ，得 $a=3,b=4$ 。

进入练习

第 42 题

高等数学

5 分

求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-(\cos2x)^{2023x}}{2x^3}$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

零附近余弦为正，可写为 $\exp[2023x\ln(\cos2x)]$ 。由 $\ln(\cos2x)\sim-2x^2$ ，指数与 $-4046x^3$ 等价；再用 $1-e^u\sim-u$ ，分子与 $4046x^3$ 等价。除以 $2x^3$ 得 $2023$ 。

进入练习

第 43 题

高等数学

5 分

函数 $y=y(x)$ 由 $\cos y=e^{2x+y}+x^3-y^2+3\pi$ 确定，求 $dy/dx$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

两边对 $x$ 求导，左边为 $-\sin y\,y'$ ，右边为 $e^{2x+y}(2+y')+3x^2-2yy'$ 。把含 $y'$ 的项移到同一侧，得到 $(2y-e^{2x+y}-\sin y)y'=2e^{2x+y}+3x^2$ ，在系数非零时相除即可。

进入练习

第 44 题

高等数学

5 分

求 $\displaystyle y=\frac{e^x}{x+1}+3x-5$ 的凹凸区间。

查看答案与解析收起答案与解析

定义域排除 $x=-1$ 。求导得 $y'=xe^x/(x+1)^2+3$ ， $y''=e^x(x^2+1)/(x+1)^3$ 。分子恒正，故 $x<-1$ 时二阶导负，为凸； $x>-1$ 时二阶导正，为凹。变号位置 $-1$ 不在曲线上，所以不是拐点。

进入练习

第 45 题

高等数学

5 分

求 $\displaystyle\int x[\sec^2x+\sin(2+x^2)]dx$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

第一部分分部积分： $\int x\sec^2x dx=x\tan x-\int\tan x dx=x\tan x+\ln|\cos x|$ 。第二部分令 $u=2+x^2$ ，得 $\frac12\int\sin udu=-\frac12\cos u$ 。相加得到结果，定义区间应避开 $\cos x=0$ 。

进入练习

第 46 题

高等数学

5 分

设 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt x,&x\ge0,\\e^{-x^3/3},&x<0.\end{cases}$ 求 $\displaystyle\int_{-3}^1x^2f(x)dx$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

在零点分段。负半轴令 $u=-x^3/3$ ，则 $du=-x^2dx$ ，积分为 $\int_0^9e^u du=e^9-1$ 。正半轴为 $\int_0^1x^{5/2}dx=2/7$ 。相加得 $e^9-5/7$ 。

进入练习

第 47 题

高等数学

5 分

求过点 $P(5,-1,2)$ 且与平面 $2x+3y-7z=-14$ 、 $x+2y-3z=20$ 都平行的直线方程。

查看答案与解析收起答案与解析

直线方向须同时垂直于两个平面法向量 $(2,3,-7)$ 、 $(1,2,-3)$ 。取叉积得到 $(5,-1,1)$ 。用给定点及该方向写过点方向式，得到答案。平面方程的常数项不影响法向量。

进入练习

第 48 题

高等数学

5 分

设 $z=u^2+\cos(xy+u)$ ， $u=x\ln y$ ，求 $z_x,z_y$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

先代入 $u$ ，得到 $z=x^2(\ln y)^2+\cos(xy+x\ln y)$ ，要求 $y>0$ 。对 $x$ 求导时，余弦内函数导数为 $y+\ln y$ ；对 $y$ 求导时为 $x+x/y$ 。各自应用乘积法则及链式法则，即得答案中的两个偏导数。

进入练习

第 49 题

高等数学

5 分

计算 $\displaystyle\iint_D\left(\frac{x^3}{y^2}+2x\right)dxdy$ ，其中 $D$ 由 $x=\sqrt{2y},x=0,y=2$ 围成。

查看答案与解析收起答案与解析

按先 $x$ 后 $y$ 写成 $\int_0^2dy\int_0^{\sqrt{2y}}(x^3/y^2+2x)dx$ 。当 $y>0$ ，内积分为 $[x^4/(4y^2)+x^2]_0^{\sqrt{2y}}=1+2y$ ，再积分为 $[y+y^2]_0^2=6$ 。 $y=0$ 的边界奇点按广义积分极限处理，计算值有限。

进入练习

第 50 题

高等数学

5 分

将 $\displaystyle f(x)=\frac5{(2-x)^2}$ 展开为 $x$ 的幂级数。

查看答案与解析收起答案与解析

先有 $1/(2-x)=\sum_{n=0}^\infty x^n/2^{n+1}$ （ $|x|<2$ ）。在收敛区间内部逐项求导，得 $1/(2-x)^2=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}/2^{n+1}$ 。乘五并令索引减一，得到所示形式；两端点通项不趋零，故均不包含。

进入练习

第 51 题

高等数学

6 分

证明：对任意实数 $x$ 与 $m>0$ ， $\displaystyle\ln(x^2+m)+\frac m{x^2+m}\ge1+\ln m$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

令 $u=x^2/m\ge0$ ，原不等式等价于 $h(u)=\ln(1+u)+1/(1+u)-1\ge0$ 。 $h(0)=0$ ，且 $h'(u)=u/(1+u)^2\ge0$ ，在 $u>0$ 严格为正。所以 $h(u)\ge0$ ，且等号仅在 $u=0$ ，也就是 $x=0$ 时成立。

进入练习

第 52 题

高等数学

7 分

由曲线 $y=\sqrt x$ 、直线 $x=k$ （ $k>0$ ）与 $y=0$ 围成区域 $D$ ，面积为 $S$ ，绕 $x$ 轴一周所得体积为 $V$ 。求使 $V=\frac32\pi S$ 成立的 $k$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

面积 $S=\int_0^k\sqrt xdx=2k^{3/2}/3$ 。圆盘法给体积 $V=\pi\int_0^kxdx=\pi k^2/2$ 。代入关系得 $k^2/2=k^{3/2}$ ，因 $k>0$ 可除以 $k^{3/2}$ ，得 $\sqrt k=2$ ，所以 $k=4$ 。

进入练习

第 53 题

高等数学

7 分

汽车原以 $15\,\mathrm{m/s}$ 匀速行驶，遇障碍后立即匀减速，刹车后行驶 $45\,\mathrm m$ 停止。已知 $v=ds/dt$ 、 $a=dv/dt$ 。以开始刹车为 $t=0$ 、从刹车点起计路程，求减速过程的 $s(t)$ 。

查看答案与解析收起答案与解析

设加速度为常数 $a<0$ ，积分得 $v(t)=15+at$ 、 $s(t)=15t+at^2/2$ 。停车时 $v=0$ ，故停车时间 $T=-15/a$ 。将 $s(T)=45$ 代入，得 $-225/(2a)=45$ ，所以 $a=-5/2\,\mathrm{m/s^2}$ ， $T=6\,\mathrm s$ 。因此减速期间 $s(t)=15t-5t^2/4$ 。停车后若保持静止，则路程恒为 $45$ ，不能继续延伸此二次式。

进入练习