2015年河南专升本高等数学真题

已知函数 $f(x)=x$，则 $f(f(1/x))=$（ ）。
A. $x$
B. $x^2$
C. $1/x$
D. $1/x^2$

已知函数 $f(x)=x^8-x^4$，则 $f(x)$ 是（ ）。
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 无法判断

已知函数 $f(x)=x^{1/2}$，则 $f(x)$ 的定义域是（ ）。
A. $(0,+\infty)$
B. $[0,+\infty)$
C. $(-\infty,0)$
D. $(-\infty,0]$

已知 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(mx)}x=2$，则可确定 $m$ 的值是（ ）。
A. $1$
B. $2$
C. $1/2$
D. $0$

当 $x\to0$ 时，若 $2a-\cos x\sim\dfrac12x^2$，则可确定 $a$ 的值一定是（ ）。
A. $0$
B. $1$
C. $1/2$
D. $-1/2$

下列有限双侧极限存在的是（ ）。
A. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x+1}{x^2}$
B. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac1{2^x-1}$
C. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac1x$
D. $\displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{\frac{x^2+2}{x^2+1}}$

已知 $f(x)=\begin{cases}a\dfrac{\sin x}{x},&x\ne0,\\1,&x=0,\end{cases}$，在 $x=0$ 处下列结论正确的是（ ）。
A. $a=1$ 时 $f$ 连续
B. $a=0$ 时 $f$ 连续
C. $a=1$ 时 $f$ 不连续
D. $a=-1$ 时 $f$ 连续

极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{\sin^3x}$ 的值是（ ）。
A. $1/6$
B. $1/3$
C. $0$
D. $+\infty$

已知 $f(x)=(x-a)g(x)$，其中 $g$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f'(a)=$（ ）。
A. $0$
B. $g'(a)$
C. $g(a)$
D. $f(a)$

曲线 $y=x^2$ 与 $y=x^3$ 的切线相互垂直时，自变量 $x$ 的值应为（ ）。
A. $-1$
B. $-\sqrt[3]{1/6}$
C. $-1/6$
D. $\sqrt[3]{1/6}$

已知 $f(x)=|x|$，则 $f$ 在 $x=0$ 处（ ）。
A. 连续且可导
B. 不连续
C. 连续但不可导
D. 左右导数均不存在

$f(x)=\cos x$ 在 $[0,2\pi]$ 上满足罗尔定理，则开区间内使 $f'(\xi)=0$ 的 $\xi$ 是（ ）。
A. $\pi/2$
B. $\pi$
C. $0$
D. $2\pi$

函数 $f$ 在 $(-\delta,\delta)$ 内连续；当 $x\in(-\delta,0)$ 时 $f'(x)<0$，当 $x\in(0,\delta)$ 时 $f'(x)>0$。则（ ）。
A. $f(0)$ 是极小值
B. $f(0)$ 是极大值
C. $f(0)$ 不是极值
D. $f(0)$ 是最大值

已知在 $(a,b)$ 内 $f'(x)<0$ 且 $f''(x)>0$，则 $f$（ ）。
A. 单调递减且形状为凸
B. 单调递增且形状为凸
C. 单调递减且形状为凹
D. 单调递增且形状为凹

曲线 $y=2+x^5$ 的拐点是（ ）。
A. $(0,2)$
B. $(1,3)$
C. $(0,0)$
D. $(-1,1)$

若 $F'(x)=f(x)$，则 $\displaystyle\int f(2x)\,dx=$（ ）。
A. $\frac12F(x)+C$
B. $\frac12F(2x)+C$
C. $F(x)+C$
D. $F(2x)+C$

已知 $f(x)=\displaystyle\int_0^x t\sin t\,dt$，则 $f'(x)=$（ ）。
A. $\sin x$
B. $x\cos x$
C. $-x\cos x$
D. $x\sin x$

函数 $f$ 在 $[-a,a]$ 上连续，则 $\displaystyle\int_{-a}^a x^4\sin x\,dx=$（ ）。
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. 不确定

设 $I_1=\displaystyle\int_0^1x^2dx$，$I_2=\displaystyle\int_0^1x^3dx$，则（ ）。
A. $I_1>I_2$
B. $I_1=I_2$
C. $I_1<I_2$
D. 不确定

已知 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$a<b$ 且 $f(x)\ge0$。由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 与 $y=0$ 围成的面积是（ ）。
A. $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$
B. $\displaystyle\int_b^a f(x)dx$
C. $|f(b)-f(a)|(b-a)$
D. 不确定

下列微分方程中，可进行分离变量的是（ ）。
A. $xy'-3y=\sin x$
B. $(x-y\cos x)dy+(y+x^2)dx=0$
C. $y'=\sin x\cos y$
D. $yy'-4y=2x=0$

微分方程 $y''-5y'+ay=0$ 的一个解为 $e^{2x}$，则 $a=$（ ）。
A. $4$
B. $3$
C. $5$
D. $6$

下列各组角中，可以作为向量一组方向角的是（ ）。
A. $(\pi/4,\pi/4,\pi/6)$
B. $(\pi/4,\pi/3,\pi/2)$
C. $(\pi/4,\pi/3,\pi/4)$
D. $(\pi/4,\pi/3,\pi/3)$

已知 $z=2x^2+3xy-y^2$，则 $\displaystyle\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=$（ ）。
A. $-2$
B. $2$
C. $6$
D. $3$

用铁板做一个容积为 $27\,\mathrm{m^3}$ 的有盖长方体水箱，最省材料时其最小表面积为（ ）。
A. $54\,\mathrm{m^2}$
B. $27\,\mathrm{m^2}$
C. $9\,\mathrm{m^2}$
D. $6\,\mathrm{m^2}$

平面闭区域 $D:1\le x^2+y^2\le16$，则 $\displaystyle\iint_D3\,dxdy=$（ ）。
A. $45\pi$
B. $45$
C. $48\pi$
D. $48$

已知 $\displaystyle\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_0^1dx\int_0^{\sqrt{x}}f(x,y)dy$，改变积分次序后为（ ）。
A. $\displaystyle\int_0^1dy\int_{y^2}^1f(x,y)dx$
B. $\displaystyle\int_0^1dy\int_1^{y^2}f(x,y)dx$
C. $\displaystyle\int_{y^2}^1dy\int_0^1f(x,y)dx$
D. $\displaystyle\int_1^0dy\int_{y^2}^1f(x,y)dx$

若 $L$ 为连接 $(1,0)$ 及 $(0,1)$ 两点的线段，则 $\displaystyle\int_L(x+y)ds=$（ ）。
A. $2$
B. $\sqrt2$
C. $1$
D. $0$

下列级数中绝对收敛的是（ ）。
A. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$
B. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3^{2n-1}}$
C. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin\frac{\pi}{n}$
D. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n^2}}{n!}$

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，下列结论正确的是（ ）。
A. 若 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，则 $\sum u_n$ 收敛
B. 若 $\sum u_n$ 的部分和数列有界，则 $\sum u_n$ 收敛
C. 若 $\sum|u_n|$ 收敛，则 $\sum u_n$ 绝对收敛
D. 若 $\sum|u_n|$ 发散，则 $\sum u_n$ 也发散

已知 $f(x)=x-1$，则 $f(x)$ 的反函数为 $y=$______。

极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n^2+1}\sin\sqrt{n^2+1}=$______。

已知 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ne1,\\1,&x=1,\end{cases}$，则 $x=1$ 是 $f$ 的______间断点。

用线性近似计算 $\ln1.01$，结果为______。

计算不定积分 $\displaystyle\int\cos(3x+2)dx=$______。

计算定积分 $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx=$______。

已知 $z=\ln(x^2+y^2)$，在 $(1,1)$ 处的全微分为 $dz=$______。

与向量 $(-3,4,1)$ 平行的单位向量为______。

微分方程 $y'=e^{x-y}$ 的通解为______。

幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛半径 $R=$______。

求极限 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+\sin x)^{1/x}$。

已知 $f$ 可导且 $f(x)\ne0$，求 $y=\sqrt{f(x)}$ 的导数。

计算不定积分 $\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}dx=$______。

计算定积分 $\displaystyle\int_0^1\sqrt{x}\,e^{\sqrt{x}}d\sqrt{x}=$______。

求过点 $A(1,2,1)$ 且与直线 $\begin{cases}2x-4y+z=0,\\3x-y-2z=0\end{cases}$ 平行的直线方程。

由方程 $x^2+y^2+z^2-4z=0$ 确定 $z=f(x,y)$，求全微分 $dz$。

计算二重积分 $\displaystyle\iint_D e^{x^2+y^2}dxdy$，其中 $D:1\le x^2+y^2\le4$。

求微分方程 $y'+\dfrac yx=\dfrac{e^x}{x}$ 的通解。

求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{(x-1)^n}{n}$ 的收敛区间。

求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}$ 的和函数。

计算由 $x=0$、$y=e^x$ 与 $y=e$ 围成的平面图形面积。

某公司成本函数 $C(x)=40000+200x-0.002x^3$，收入函数 $R(x)=350x-0.004x^3$。生产多少辆自行车时利润最大？

已知方程 $x^{11}-x^7-x^3+x=0$ 有一正根 $x=1$，证明方程 $11x^{10}-7x^6-3x^2+1=0$ 必有一个小于 $1$ 的正根。