2013年河南专升本高等数学真题

答案：A

按原卷可见题面$y=\arcsin(1-x)$，定义域需满足$-1\le1-x\le1$，解得$0\le x\le2$，对应A。流传答案表所列C与可见题面不符，本稿按可见题面和定义域计算更正答案。

答案：D

先算$f(f(x))=1/[1-1/(1-x)]=(x-1)/x$，再代一次得$f(f(f(x)))=1/[1-(x-1)/x]=x$。复合函数原定义要求$x\ne1$且$x\ne0$，在这个定义域内结果为$x$。

答案：B

根式满足$\sqrt{1+x^2}>|x|$，对数真数恒正。但$x=0$时对数为0，原函数实际定义域为$\mathbb R\setminus\{0\}$。本稿在题面显式注明$x\ne0$；原资料将范围标为全体实数，未列出此定义域限制。由$(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)=1$，对数在$x\mapsto-x$时变号，倒数也变号，因此是奇函数。原资料全实数范围缺少对0的排除。

答案：B

当$x\to0$时$\sin(2x)/x=2\sin(2x)/(2x)\to2$，有限极限存在，但$f(0)$未定义。补$f(0)=2$即可连续，所以为可去间断点。

答案：A

有理化得差为$2x/(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$。分母趋于2，所以该式与$x$之比趋于1，等价于$x$。

答案：C

利用相同的常数值拆开，表达式为$[f(x)-f(0)]/x+[g(0)-g(-x)]/x$。第一项趋于$a$；第二项令$h=-x$，恰为$[g(h)-g(0)]/h$，趋于$b$，相加为$a+b$。

答案：B

参数曲线的切线斜率为$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{b\cos t}{-a\sin t}$，在$t=\pi/4$处为$-b/a$。法线斜率是切线斜率的负倒数，故为$a/b$，选B。A、C为负数，D严格大于$a/b$，对任意$a,b>0$均不等于正确值。本稿依据用户授权重建选项；C项负号及A/C/D的完整形式不是原扫描可证文本。

答案：D

由微分链式法则，$df(\sin^2x)=f'(\sin^2x)d(\sin^2x)$。再代$f'=g$及$(\sin^2x)'=2\sin x\cos x=\sin2x$，得到D。

答案：A

用归纳法：$n=1$时正是题设。假设$n$成立，再求导得$f^{(n+1)}=n!(n+1)f^nf'= (n+1)!f^{n+2}$，归纳完成。因此选A。

答案：A

对$y$求导有$yx'+x=e^{x+y}(x'+1)$。利用$e^{x+y}=xy$，整理得$y(1-x)x'=x(y-1)$，在能确定可导隐函数的点分母非0，故$x'=x(y-1)/[y(1-x)]$。

答案：B

若$0<u<v<a$，由拉格朗日中值定理，存在$c\in(u,v)$使$f^{\prime}(v)-f^{\prime}(u)=f^{\prime\prime}(c)(v-u)>0$，故$f^{\prime}$在$(0,a)$上严格递增，选B。只在开区间内给出$f^{\prime\prime}>0$时，不能把结论直接写到闭区间端点；本稿将B项区间按可由条件推出的范围修订为$(0,a)$。

答案：A

点在曲线上给$c=1$。二阶导数为$6x+2b$，拐点横坐标0要求$2b=0$，得$b=0$。此时$y''=6x$在0两侧变号，确实是拐点。

答案：A

分母为$(x-3)(x+2)$，在$x\ne-2,3$时可约成$y=1+1/(x-3)$。在3处发散，是垂直渐近线；在-2处极限有限，只是可去间断，不是渐近线。因此1条。

答案：B

对B求导，$(e^x+e^{-x})'=e^x-e^{-x}$，正好为$f$。注意$e^{-x}$求导会产生负号。

答案：D

不定积分后再取微分会还原被积函数乘微分变量，所以D正确。A、C漏了任意常数，B的右边漏$dx$。

答案：D

被积函数为偶函数$x^2$与奇函数$\sin x$的乘积，所以是奇函数。关于原点对称区间上的奇函数积分为0。

答案：A

对等式求导得$f(x+2)=(x+1)e^{x+2}$。令$u=x+2$，则$f(u)=(u-1)e^u$，故$f^{\prime}(u)=ue^u$，对应A。右端补入常数$e$后，$x=-1$时等式两端均为0，消除了原式在该点的矛盾；补入常数是依据答案结构和一致性作出的编辑性复原。

答案：C

无穷区间$p$积分$\int_1^{\infty}x^{-p}dx$当且仅当$p>1$收敛，故C收敛，A、B发散。D令$t=\ln x$化为$\int_0^{\infty}t^3dt$，发散。

答案：B

最高出现的导数是二阶导数$y''$，所以方程为二阶。导数的平方影响非线性性质，不改变阶数。

答案：B

在初值附近$y\ne0$，分离变量得$dy/y^2=2xdx$，积分为$-1/y=x^2+C$。代$x=1,y=-1$得$C=0$，所以$y=-1/x^2$；含初值的最大解区间为$x>0$。

答案：C

方向角要求三个余弦平方和为1。C中为$1/4+1/4+1/2=1$；A为$5/4$，B为$3/2$，D为$3/4$，均不符合。

答案：B

直线方向向量$(2,-3,1)$恰好与平面法向量同向，因此直线垂直平面，必有唯一交点，选B。

答案：D

D可写为$(x-1)^2+y^2=1$，与$z$无关，是单位圆沿$z$轴平移生成的圆柱面。A是圆锥面，B是双曲抛物面，C是椭球面。

答案：C

分子有理化，原式等于$(4-(xy+4))/[xy(2+\sqrt{xy+4})]=-1/(2+\sqrt{xy+4})$。在原式定义处约去$xy$后取极限，得$-1/4$。

答案：B

令$u=x^2-y^2,v=2x+3y$，链式法则给$z_y=f_1u_y+f_2v_y$。因$u_y=-2y,v_y=3$，所以$z_y=-2yf_1+3f_2$，偏导均在$(u,v)$处取值。

答案：A

第一块在抛物线$y=x^2/2$下方，第二块在圆$x^2+y^2=8$内，二者在$(2,2)$接合。横向切片时$0\le y\le2$；左界由$y=x^2/2$给$x=\sqrt{2y}$，右界由圆给$x=\sqrt{8-y^2}$，所以选A。

答案：C

先对$y$积分，得$x^2[y^2/2]_1^2=3x^2/2$。再对$x$积分，$\int_0^1(3/2)x^2dx=(3/2)(1/3)=1/2$。

答案：D

因为$d(x^2y)=2xy\,dx+x^2dy$，所以被积式为全微分。积分等于终点$x^2y=1$减起点0，即1，与弧的具体形状无关。

答案：C

比值判别为$\lim|(n+2)x^{n+1}/((n+1)x^n)|=|x|$，所以$|x|<1$收敛。两个端点的通项绝对值均为$n+1$不趋于0，因此都发散，得$(-1,1)$。

答案：A

A的正数项$1/(n+1)$单调趋于0，交错级数判别法保证收敛。B部分和为$\ln(N+1)$发散；C与调和级数极限比较发散；D每项不小于1，通项不趋0。

有定义不保证极限存在，例如$f(x)=\sin(1/x)$在0任意补值；极限存在也不要求点上有定义，例如$f(x)=x$只在$x\ne0$定义时极限仍存在。故两者互不蕴含。

取对数，指数极限为$\lim px\ln(1-3/x)=p(-3)=-3p$。因此原极限为$e^{-3p}$，与$e^{-2}$比较得$p=2/3$。

分段两侧自身连续，只需在0拼接。左极限及函数值为$1-a$，右极限为$a$，连续要求$1-a=a$，所以$a=1/2$。

令$u=1/x^2>0$，则$x^4=u^{-2}$，所以$f(u)=u^{-2}$，在题设确定的正自变量范围内$f'(u)=-2u^{-3}$。改名即得$f'(x)=-2/x^3$，不能据此断言负自变量处的值。

分母导数为$2+\cos x$，正好是分子。令$u=2x+\sin x$，原积分为$\int du/u=\ln|u|+C$，在分母非0的区间适用。

点积为$-1$，两个模均为$\sqrt2$，所以夹角余弦为$-1/2$。夹角取$[0,\pi]$内的值，故为$2\pi/3$。

化为$y'+y=x$，乘积分因子$e^x$得$(ye^x)'=xe^x$。积分得$ye^x=(x-1)e^x+C$，所以$y=x-1+Ce^{-x}$。

先在$(0,1)$处得$z=-2$。对$x$求偏导：$1+z_x-2yz-2xyz_x=0$，得$z_x=(2yz-1)/(1-2xy)$。代$x=0,y=1,z=-2$得到$-5$。

在点$(1,2)$，两个偏导为2和4。切平面点斜式为$z-5=2(x-1)+4(y-2)$，化简即得$2x+4y-z=5$。

把$x=4+(x-4)$代入，$1/x=(1/4)/[1+(x-4)/4]$。用几何级数$1/(1+t)=\sum(-t)^n$得所示展开，收敛要求$|(x-4)/4|<1$，即$0<x<8$；两个端点通项均不趋0。

通分为$[\ln(1+x)-x]/[x\ln(1+x)]$。用$\ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$，分子为$-x^2/2+o(x^2)$，分母为$x^2+o(x^2)$，比值趋于$-1/2$。

令$F=\arctan(y/x)-\frac12\ln(x^2+y^2)$。在原式定义处$x\ne0$，有$F_x=-(x+y)/(x^2+y^2)$、$F_y=(x-y)/(x^2+y^2)$。由$F_xx'+F_y=0$得到$x'=-F_y/F_x=(x-y)/(x+y)$。

令$t=\sqrt x$，则$dx=2tdt$。分部积分：$\int2t\arctan tdt=t^2\arctan t-\int t^2/(1+t^2)dt$。后项分解为$\int[1-1/(1+t^2)]dt=t-\arctan t$。合并并代回得$(x+1)\arctan\sqrt x-\sqrt x+C$。

令$t=x-2$，积分限变为$-1,1$。按分段点0拆开，得到$\int_{-1}^0(1+t^2)dt+\int_0^1e^tdt=4/3+(e-1)=e+1/3$。

齐次特征方程$2r^2+r-1=(2r-1)(r+1)=0$，所以$y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{x/2}$。设特解$Ae^x$，代入左边为$(2+1-1)Ae^x=2Ae^x$，故$A=3/2$，相加得通解。

把另一个变量看作常数，求得$u_x=2x+ye^{xy}$、$u_y=2\cos2y+xe^{xy}$。由全微分公式$du=u_xdx+u_ydy$得到结论。