2026年河南专升本高等数学真题

答案：B

有界要求存在与 $x$ 无关的常数控制函数绝对值。B 满足 $0<y<1$。A 在无穷远约为 $x$；C 取 $x=2n\pi$ 时无界；D 令 $1/x=\pi/2+2n\pi$，其值也无界。因此只有 B。

答案：A

对表达式取对数。因为 $\ln(1+u)\sim u$，对数极限为 $\lim x^2[-3/(x^2+1)]=-3$，所以原极限为 $e^{-3}$，选 A。

答案：C

等价要求与 $x^2$ 的比值趋于 $1$。C 有理化后为 $2x^2/(\sqrt{1+2x^2}+1)\sim x^2$。A 约为 $-x$，B 约为 $-2x^2$，D 在 $x>0$ 时恰为 $x$，都不满足比值为 $1$。

答案：B

无穷大量指绝对值趋于无穷，也包括趋于 $-\infty$。B 中 $\ln x\to-\infty$。A 趋于 $\pi/2$，C 等价于 $x\to0$，D 趋于 $1$，因此选 B。

答案：D

左右极限和函数值均为 $5$，所以连续。左导数为 $4\cdot1-1=3$，右导数为 $3$，相等且有限，因此在该点可导，选 D。

答案：A

左极限为 $2a$，右极限为 $e^{-b}$。连续要求 $2a=a+1=e^{-b}$。先得 $a=1$，再得 $e^{-b}=2$，即 $b=-\ln2$，选 A。

答案：D

先对外层平方求导，再对 $f$ 求导，最后乘内层 $\cos x$ 的导数 $-\sin x$。乘积为 $-2f(\cos x)f'(\cos x)\sin x$，选 D。

答案：A

$dx/dt=-e^{-t}-\sin t$，在零点为 $-1$；$dy/dt=e^t+\cos t$，在零点为 $2$。参数曲线的斜率是两者之比，故为 $2/(-1)=-2$，选 A。

答案：D

求导得 $y'=e^{-x^2}(1-2x^2)$，$y''=2xe^{-x^2}(2x^2-3)$。二阶导数在 $x=-\sqrt{3/2},0,\sqrt{3/2}$ 三个单根处均改变符号，故有三个拐点。不能只解 $y''=0$ 而不检验变号。

答案：C

令 $h(x)=x-1-\ln x$，有 $h(1)=0$、$h'(x)=1-1/x>0$（$x>1$），故 C 成立。基本不等式为 $\sin x<x<\tan x$，A、B 方向相反；$e^x-ex$ 在 $x>1$ 也为正，D 不成立。

答案：B

先求 $f(x)=\arcsin x+x/\sqrt{1-x^2}$。分部积分得 $\int xf'(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx$。代入已知原函数后，两个 $x\arcsin x$ 抵消，得到 $x^2/\sqrt{1-x^2}+C$，适用于 $|x|<1$，选 B。

答案：D

令 $u=x-1$，则 $f'(u)=2(u+1)^2-4(u+1)+1=2u^2-1$。积分并用 $f(0)=0$ 得 $f(x)=\frac23x^3-x$，再积分得 $\frac16x^4-\frac12x^2+C$，选 D。

答案：A

周期函数在任意长度为 $T$ 的区间上的积分都相同。所求区间长度恰为 $2026T$，可分成 $2026$ 个完整周期，每段积分为 $2$，故总积分为 $4052$，选 A。

答案：D

在 $[-1,0)$ 上 $e^{x^2}>1$，严格积分得到 D。A 区间内 $\sin x<\cos x$，B 区间内 $\cos x<\sin x$，两者方向都相反；C 中除原点外 $e^{-x^2}<1$，积分小于 $1$。

答案：B

令 $u=1-x^2$，则右端为 $u-u^2$。在 $u<1$ 的范围，对 $u$ 求导得 $f(u)=1-2u$；再利用 $f$ 在 $u=1$ 连续，得到 $f(1)=-1$。这样避免在 $x=0$ 时直接除以 $x$。

答案：A

在无穷远，$1-e^{-x}\to1$，$(1+x)^m\sim x^m$。被积函数与 $x^{-m}$ 的比值趋于 $1$，同为正函数，可用极限比较判别。$\int_1^\infty x^{-m}dx$ 恰在 $m>1$ 收敛，选 A。

答案：A

方向向量 $(3,1,5)$ 与平面法向量 $(3,1,-2)$ 的点积为 $9+1-10=0$，所以直线方向平行于平面。直线上点 $(1,2,3)$ 代入平面得到 $-1\ne0$，不在平面内，故为严格平行，选 A。

答案：C

线性要求未知函数及各阶导数都是一次，并且不相乘；系数可以依赖 $x$。C 的最高阶为二阶，也符合线性。A 含 $y'y$，B 含导数平方且仅一阶，D 含 $y^2$，均不符，选 C。

答案：B

在 $x\ne0$ 的区间，两边除以 $x^2$，得到 $(y/x)'=2$。积分得 $y/x=2x+C$，即 $y=2x^2+Cx$，选 B。直接代入原式也可验证。

答案：C

在表达式的定义域上，将其写成 $[(\cos x-1)/x^2]\cdot[xy/\arcsin(xy)]$。两因子分别趋于 $-1/2$ 和 $1$，故极限为 $-1/2$，选 C。极限只沿原表达式有定义的点趋近。

答案：A

取 $x=t$，曲线参数式为 $\mathbf r(t)=(t,2t^2,t^3/3)$。在 $t=-1$ 处，点为 $(-1,2,-1/3)$，切向量 $\mathbf r\prime(-1)=(1,-4,1)$，故切线为 $(x+1)/1=(y-2)/(-4)=(z+1/3)/1$，选 A。其余三项分别改错了切点、$y$方向分量或 $z$方向分量。四个选项都是编辑重建，原回忆版无法复原选项字母。

答案：D

由函数值 $e(a-b)=-e$ 得 $a-b=-1$。内点极值要求 $f_x(1,0)=e(2a-b)=0$，故 $b=2a$，解得 $a=1,b=2$。检验二阶导数：$f_{xx}=e$，$f_{yy}=2e$，$f_{xy}=0$，Hessian 正定，确为极小值，选 D。

答案：A

区域为 $x\ge0$、$x^2+(y-1)^2\le1$，位于第一象限。用 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，圆周变为 $r=2\sin\theta$，故 $0\le\theta\le\pi/2$、$0\le r\le2\sin\theta$。面积元变为 $rdrd\theta$，选 A。

答案：B

分母配方为 $1+(x-3)^2$。把 $u=-(x-3)^2$ 代入几何级数 $1/(1-u)=\sum u^n$，得 B；要求 $|x-3|<1$，即 $2<x<4$。两个端点通项都不趋零。

答案：D

D 的正项约由几何因子 $(3/4)^n$ 控制，比值极限为 $3/4<1$，故绝对收敛。A 中通项等价于 $n^{-3/2}$，实际收敛；B 的绝对值级数与 $1/n^2$ 比较收敛；C 的通项趋于 $e^{-1}\ne0$，实际发散。选 D。

复合函数要求内层值落在外函数定义域内，即 $1\le\ln(1+x)\le3$。指数函数递增，得到 $e\le1+x\le e^3$，所以 $e-1\le x\le e^3-1$，自动满足对数真数为正。

分子分母同时除以 $x$，得到 $[(\cos x)/x-1]/[2+(\sin x)/x]$。因为正弦余弦有界，两项除以 $x$ 均趋零，因此极限为 $-1/2$。不能对含振荡三角函数的原式随意反复用洛必达。

导数为 $y'=2a(x-1)+\sin x+x\cos x$。代入零点得 $y'(0)=-2a$，由 $-2a=-4$，求得 $a=2$。曲线在零点的函数值也确为 $a$。

分母的导数为 $2x-4=2(x-2)$。令 $u=x^2-4x+2$，$du=2(x-2)dx$，原式为 $\frac12\int du/u$，得到答案。公式适用于避开分母零点的各区间。

$f'(x)=1-\sin2x\ge0$，故 $f$ 在给定区间单调不减。最大值在右端点取得，$f(\pi/2)=\pi/2-1$。中间导数为零的点并不自动是极值点。

先对原函数求导得到 $f(x)=2x/(x^2+2)$。再求导，$f'(x)=[2(x^2+2)-4x^2]/(x^2+2)^2$，所以微分为 $f'(x)dx$，即答案。不能把 $df$ 与 $f$ 混为一谈。

分子为 $(x+3)(x-2)$，分母为 $(x-1)(x-2)$。对 $x\ne1,2$，函数等于 $(x+3)/(x-1)$。在 $x=1$ 处无界，是铅直渐近线；在 $x=2$ 处约分后极限有限，只是可去间断点。

令 $u=\arctan\sqrt x$，则 $du=dx/[2(1+x)\sqrt x]$。$x=0,1$ 分别对应 $u=0,\pi/4$，原积分为 $2\int_0^{\pi/4}u^2du=\frac23(\pi/4)^3=\pi^3/96$。端点按广义积分理解，换元后有限。

因初值非零，可在其邻域分离变量：$dy/y^2=dx/(1+x^2)$，积分得 $-1/y=\arctan x+C$。由 $x=1,y=-1/2$ 得 $C=2-\pi/4$，整理得到答案。分母在 $x_0=\tan(\pi/4-2)$ 处为零；包含初值 $x=1$ 的最大解区间是 $(x_0,+\infty)$，不能延拓过该竖直渐近线。

展开为 $x^2+y^2-2xy$，交叉项因对称性积分为零。余下用极坐标，$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt2}r^2rdr=2\pi[r^4/4]_0^{\sqrt2}=2\pi$。

定义域要求 $x+y>0$。先有 $z_x=e^{x+y}-1/(x+y)$，再对 $y$ 求导，$z_{xy}=e^{x+y}+1/(x+y)^2$。代入 $(1,0)$ 得 $e+1$。

代入给定点满足原球面，故可求切平面。取隐函数左侧减 $15$，其梯度为 $(2x-6,2y+2,2z)$，在该点为 $(0,6,8)$。所以 $6(y-2)+8(z-4)=0$，约去因子 $2$，得到答案。

区域为 $0\le y\le x\le1$。交换积分次序，得到 $\int_0^1dx\int_0^x(e^x/x)dy=\int_0^1e^xdx=e-1$。原点的奇性在面积积分中可积；可先在 $x\ge\varepsilon$ 上交换再取极限。

方向余弦给出 $x=6\cos(\pi/3)=3$，$z=6\cos(3\pi/4)=-3\sqrt2$。由模平方 $x^2+y^2+z^2=36$ 得 $y^2=9$。与 $y$ 轴正向成钝角说明 $y<0$，故 $y=-3$。

从每一项中提出因子 $-1/2$，级数为 $-\frac12\sum_{n=0}^\infty(-2)^n/n!$。指数函数展开式 $e^t=\sum t^n/n!$ 在所有实数上收敛，令 $t=-2$，得到答案。

令 $t=1/x\to0^+$，分子分母同乘 $t$，化为 $[\ln(1+t)-\sin t]/[\sqrt{1-t^2}-1]$。展开分子为 $-t^2/2+O(t^3)$，分母为 $-t^2/2+O(t^4)$，所以比值趋于 $1$。这里首阶项相消，需要保留二阶。

可导先要求连续：右值 $2a-1$ 等于左极限 $3b$。左右导数分别为 $a$、$b$，故还需 $a=b$。联立 $2a-1=3a$ 得 $a=b=-1$。该值下对数在零点左邻域有定义，条件成立。