2018年河南专升本高等数学真题

答案：B

根式位于分母，故必须 $4-x^2>0$，解得 $-2<x<2$，选 B。

答案：A

$e^x-e^{-x}$ 和 $\sin x$ 都是奇函数，乘积满足 $f(-x)=f(x)$，故为偶函数，选 A。

答案：B

分子分母除以 $x^2$ 后分别趋于1和2，故极限为 $1/2$，选 B。

答案：C

利用 $(1+u)^k-1\sim ku$ 与 $1-\cos x\sim x^2/2$，两者之比趋于 $2k$。等价要求此比值为1，因此 $k=1/2$，选 C。

答案：B

在 $x\ne1$ 时约去 $x-1$，得到 $(x+1)/(x-2)$，趋近1时极限为-2。原式在1无定义，但补定义为-2即可连续，故选 B。

答案：C

令 $t=-h$，C 中差商正好变成 $[f(a+t)-f(a)]/t$，与导数定义完全相同。A、B 不能排除点值或对称抵消问题，D 涉及远处函数值，故选 C。

答案：A

反正切有界，所以第一项的绝对值不超过 $\pi\lvert x\rvert/2$，趋于0。第二项由 $\arctan x\sim x$ 趋于1，故总极限为-1，选 A。

答案：A

在 $x>0$ 上，先求 $y'=\ln x+1$，再求导得到 $y''=1/x$，选 A。

答案：C

对 $x$ 求偏导时把底数 $2y+1$ 当常数，利用 $(a^x)\prime=a^x\ln a$，得 $z_x=(2y+1)^x\ln(2y+1)$，选 C。实变指数的通常定义域要求 $2y+1>0$。

答案：A

分子分母同为二次，$x\to\pm\infty$ 时函数趋于最高次系数之比1。因此水平渐近线是 $y=1$，选 A。

答案：C

原函数的定义表明，$f$ 的导数 $f\prime$ 的一个原函数就是 $f$，所以 $\int f\prime(x)dx=f(x)+C$，C 正确。微分 $d$ 与求导 $d/dx$ 不能省略或混为一谈。

答案：D

令 $u=1-x^2$，则 $du=-2x\,dx$。原积分为 $-\tfrac12\int f(u)du=-u^3/2+C$，代回选 D。

答案：A

变上限积分求导后，先把被积变量替换为 $e^x$，再乘上限的导数 $e^x$，得到 $(1+e^{2x})e^x$，选 A。

答案：A

在 $0<x<1$ 上有 $x>x^2$，积分后严格不等号仍成立，所以 A 正确。B、D 所在区间 $x\ge1$ 时反而高次幂更大，选 A。

答案：B

$\int_1^\infty x^{-p}dx$ 当且仅当 $p>1$ 收敛，所以 B 收敛。D 的原函数为 $\ln\ln x$，趋于无穷，也发散，选 B。

答案：C

点积为 $2+3+3=8$，模长分别为 $\sqrt{14}$ 与 $\sqrt{11}$。由 $\cos\theta=(\vec a\cdot\vec b)/(\lVert a\rVert\lVert b\rVert)$ 得 $8/\sqrt{154}$，选 C。

答案：A

原曲线位于 $yz$ 平面，其点到 $z$ 轴的距离平方为 $y^2$。旋转后同高度的点具有相同半径，故将 $y^2$ 替换为 $x^2+y^2$，得到 A。

答案：D

令 $u=x^2+y^2\to0^+$，原式为 $(1-\cos u)/(ue^u)$。由 $1-\cos u\sim u^2/2$、$e^u\to1$，比值与 $u/2$ 等价，故极限为0，选 D。

答案：A

可微意味着增量能由两个线性主部表示，沿坐标轴取增量即可得到两个偏导，因此 A 正确。连续不保证偏导存在，两个偏导存在也不能控制任意方向的变化，故其余错误。

答案：D

区域为 $0\le x\le3,x^2\le y\le3x$。固定 $y$ 时由两条边界反解出 $y/3\le x\le\sqrt y$，且投影为 $0\le y\le9$，所以换序式为 D。

答案：A

参数取 $x=t,y=t^2$，$0\le t\le\sqrt2$，则 $\sqrt y=t$、$ds=\sqrt{1+4t^2}dt$。积分为 $\int_0^{\sqrt2}t\sqrt{1+4t^2}dt=[(1+4t^2)^{3/2}/12]_0^{\sqrt2}=(27-1)/12=13/6$，选 A。

答案：B

第一部分的绝对值项不超过 $1/n^2$，对所有实数 $\alpha$ 都绝对收敛。第二部分为发散到正无穷的 $p=1/2$ 级数，减去它使部分和趋于负无穷，因此选 B。

答案：A

在 $x=-1$ 与中心1的距离为2且条件收敛，所以收敛半径恰为2：半径小于2会发散，大于2则该点必绝对收敛。在 $x=2$ 与中心距离为1，严格落在收敛圆内部，故绝对收敛，选 A。

答案：D

两个解的差满足对应齐次方程，且 $y_1-y_3,y_2-y_3$ 线性无关，否则会推出三个已知解线性相关。因此齐次通解为这两个差的线性组合，再加一个特解 $y_3$，得到 D。

答案：B

阶数由方程中出现的最高阶导数决定，与其幂次数无关。这里最高阶是 $y''$，所以是二阶，选 B。

答案：C

直线方向向量为 $(1,2,-3)$，恰好等于平面法向量，因此直线垂直于平面，选 C。

答案：A

特征方程为 $(r-1)(r-2)=0$，指数 $2$ 是单特征根。右端为一次多项式乘 $e^{2x}$，与该特征根共振，特解试探式需乘一个 $x$，为 $x(Ax+B)e^{2x}$，故选 A。

答案：D

全平面为单连通区域，光滑场路径无关当且仅当 $P_y=Q_x$。两边分别为 $3x^2+2axy$ 与 $3x^2+16xy$，比较得 $2a=16$，所以 $a=8$，选 D。

答案：A

对应特征根为2和3，特征多项式 $(r-2)(r-3)=r^2-5r+6$，故方程为 A。

答案：D

割线斜率为 $[f(4)-f(1)]/(4-1)=1/3$。由 $f'(\xi)=1/(2\sqrt\xi)=1/3$，得 $\sqrt\xi=3/2$，所以 $\xi=9/4$，选 D。

由复合函数关系，$e^{\varphi(x)}=1+2x$。右侧在 $x>0$ 时为正，可以取自然对数，得到 $\varphi(x)=\ln(1+2x)$。

底数写为 $1+1/(x+2)$。取对数得 $2x\ln[1+1/(x+2)]\sim2x/(x+2)\to2$，故极限为 $e^2$。

左极限为 $a+1$，右极限与点值均为2。由连续条件 $a+1=2$，得 $a=1$。

乘积求导得 $y'=\sin x+x\cos x$，微分为导数乘自变量增量 $dx$。

法平面垂直于曲线切向量。参数导数在1处为 $(1,2,3)$，点坐标为 $(1,1,1)$，所以法平面为 $(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$，整理即得。

$\ln(1+e^x)=x+\ln(1+e^{-x})$，后项趋于0。除以 $x$ 后极限为1。

用幂函数积分公式，$\int x^{-2}dx=x^{-1}/(-1)+C=-1/x+C$，在不经过0的区间成立。

$x\cos x$ 是奇函数，对称区间积分为0；$x^2$ 为偶函数，积分为 $2\int_0^1x^2dx=2/3$。

函数可写为 $\tfrac12\ln(x^2+y^2+z^2)$，偏导依次为 $x/r^2,y/r^2,z/r^2$。在 $(1,1,1)$ 有 $r^2=3$，故梯度为 $(1/3,1/3,1/3)$。

通项为 $3(2/3)^n$，是首项3、公比 $2/3$ 的收敛几何级数，和为 $3/(1-2/3)=9$。

分母与 $x^3$ 等价。对 $(\tan x-x)/x^3$ 用洛必达法则，得到 $\tan^2x/(3x^2)\to1/3$，因为 $\tan x/x\to1$。故原极限为1/3。

先得 $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=\sin t/(1-\cos t)$。再对 $t$ 求导，分子化简为 $\cos t-1$，故 $d(dy/dx)/dt=-1/(1-\cos t)$。最后再除以 $dx/dt=2(1-\cos t)$，得到所列结果；参数速度为0的点不能直接用该公式。

令 $u=x-1$，则 $x=u+1,dx=du$。积分成为 $\int(u^{3/2}+u^{1/2})du$，逐项用幂函数积分公式即得结果；实数范围 $x\ge1$。

令 $u=1+\ln x$，则 $du=dx/x$，上下限分别为1和3。积分为 $\int_1^3u^{-1/2}du=2(\sqrt3-1)$。

特征方程 $r^2-6r+9=(r-3)^2=0$，有二重实根3。对应两个线性无关解 $e^{3x},xe^{3x}$，其线性组合为所求通解。

配方得 $f=(x-1)^2+(y+1)^2-2$，平方和非负，因此全局最小值为-2，唯一在 $(1,-1)$ 达到。函数沿任意远离该点的直线趋于无穷，故无极大值。

写成 $\ln(x+2)=\ln3+\ln[1+(x-1)/3]$，再用 $\ln(1+u)=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}u^n/n$。内部收敛条件为 $\lvert x-1\rvert<3$，左端点是发散调和级数，右端点是收敛交错调和级数，故完整范围为 $(-2,4]$。

两斜线交于原点，所以区域为 $0\le x\le1,x\le y\le2x$。先对 $y$ 积分：$\int_0^1[y^2/2]_x^{2x}dx=\int_0^1(3x^2/2)dx=1/2$。

二阶导数 $y\prime\prime=36x^2-24x=12x(3x-2)$，零点为0和2/3。两根外二阶导数为正、根内为负，故两处均改变凹凸性。代回函数分别得纵坐标2和38/27。

先对 $x$ 求偏导，把 $y$ 当常数；再对 $y$ 求偏导，把 $x$ 当常数。得到 $z_x=ye^{xy}-\sin(x+y)$、$z_y=xe^{xy}-\sin(x+y)$，代入全微分公式。

两曲线在第一象限交于 $(1,1)$。在 $1\le x\le3$ 上旋转截面为外半径 $x$、内半径 $1/x$ 的圆环，因此 $V=\pi\int_1^3(x^2-x^{-2})dx=\pi[x^3/3+1/x]_1^3=8\pi$。

设垂直墙的边长为 $u$，则需新建的另一条平行边长为 $20-2u$，且 $0<u<10$。面积 $A=u(20-2u)=-2(u-5)^2+50$，故在 $u=5$ 时最大，平行边长为10，最大面积50平方米。

分别对区间 $[0,1/2]$、$[1/2,1]$ 用拉格朗日中值定理，得到 $\xi_1\in(0,1/2)$、$\xi_2\in(1/2,1)$，满足 $f'(\xi_1)=2[f(1/2)-f(0)]$、$f'(\xi_2)=2[f(1)-f(1/2)]$。相加得 $2[f(1)-f(0)]=1$，且两点位于不同开区间，因此不同。