2017年河南专升本高等数学真题

答案：B

定义域为全体实数，且 $f(-x)=-\sin x-3x=-f(x)$，符合奇函数定义，选 B。

答案：C

分母不能为0，所以只排除 $x=5$，其余实数都允许，选 C。

答案：A

对复合三角函数求导时，须乘内层导数5或3，故 $y'=-5\sin5x-3\cos3x$，选 A。

答案：B

求 $y$ 的偏导时把 $x$ 当常量，$\partial(y^2)/\partial y=2y$，所以 $z_y=12x^3y$，选 B。

答案：A

连续被积函数的变上限积分求导，等于被积函数在上限处的值，因此为 $\sqrt x\ln(1+x)$，选 A（实数范围取 $x\ge0$，内点 $x>0$）。

答案：B

由 $b_n>0$，绝对值项不超过 $\lvert a_n\rvert/n$。柯西不等式给出部分和 $\sum\lvert a_n\rvert/n\le(\sum a_n^2)^{1/2}(\sum1/n^2)^{1/2}$，右端有界，因此绝对收敛，选 B。

答案：A

A 的被积函数在闭区间连续，可直接使用原函数求端点差。其余选项在区间内部或端点有奇点，是广义积分，不能忽略极限直接代入，选 A。

答案：A

由 $\sin(bx)\sim bx$，极限为 $b/5$，所以 $b=5$，选 A。

答案：B

积分为 $[x^2+kx]_0^1=1+k$，由 $1+k=2$ 得 $k=1$，选 B。

答案：C

先对 $x$ 求偏导得 $4x+y^3$，再对 $y$ 求导得 $3y^2$，选 C。

答案：A

分子分母同除以 $x^3$，得到 $4+5/x^2$，故极限为4，选 A。

答案：D

A、B 分别为二阶或与 $x^2/2$ 等价，C 与 $-x/2$ 等价，为一阶。D 写成 $\sin x(\cos x-1)/\cos x\sim-x^3/2$，为三阶，故选 D。

答案：A

$y'=12x^2(x-1)$，在 $x<1$ 时非正，除孤立点0外为负，因此函数在 $(-\infty,1)$ 严格递减；过1后递增，故选 A。

答案：A

$y'=-\sin x$，开区间内只有 $x=0$ 使导数为0。端点函数值同为0，罗尔定理条件满足，选 A。

答案：B

积分公式 $\int\cos(kx)dx=\sin(kx)/k+C$，取 $k=\pi/2$ 得 $2\sin(\pi x/2)/\pi$，选 B。

答案：D

分子与 $x^2$ 等价，分母与 $-x^2/2$ 等价，相除得-2，选 D。

答案：C

第一项绝对值不超过 $\lvert x\rvert$，由夹逼定理趋于0；第二项为 $3\sin3x/(3x)$，趋于3，故总极限为3，选 C。

答案：D

在1附近底数为正，取对数后 $\ln f(x)=\ln x/(x-1)\to1$，所以函数极限为 $e$。但原式在1无定义，补定义 $f(1)=e$ 即连续，故为可去间断点，选 D。

答案：D

D 有理化为 $2x/(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$，与 $x$ 的比值趋于1。A、C 为二阶，B 与 $2x$ 等价，故选 D。

答案：C

把两垂直条件展开，得到 $a^2-2\vec a\cdot\vec b-8b^2=0$ 与 $a^2+2\vec a\cdot\vec b-8b^2=0$。相减得 $\vec a\cdot\vec b=0$，因此夹角为 $\pi/2$，选 C。

答案：B

一阶导数为负意味着沿 $x$ 轴正方向下降；二阶导数为负意味着按本卷约定为凸。因此选 B。

答案：B

连续要求极限存在且等于 $f(a)$，所以极限存在是必要条件。若极限与点值不同或点值缺失，仍不连续，故不充分，选 B。

答案：D

交点为 $(-1,1)$；导数 $y'=-2xe^{1-x^2}$，在-1处为2。点斜式 $y-1=2(x+1)$，整理得 $2x-y+3=0$，选 D。

答案：B

公式 $(\ln\lvert u\rvert)'=u'/u$ 适用于 $u\ne0$。取 $u=x-1$，得 $f'(x)=1/(x-1)$，定义域为 $x\ne1$，选 B。

答案：C

若 C 的正项级数收敛，则由比较判别法 $\sum\lvert a_n\rvert$ 和 $\sum\lvert b_n\rvert$ 都收敛，进而两原级数都收敛，与题设矛盾。因此 C 必发散。A 可相消，B 可取常数项反驳，D 可取 $a_n=b_n=1/n$ 反驳。

答案：D

$\lvert f(x)\rvert\le x^2$，故函数趋于0且连续。差商 $[f(x)-f(0)]/x=x\sin(1/x)\to0$，所以导数存在且为0，选 D。

答案：C

由乘积法则，$f'(x)=\cos x-x\sin x$。在 $\pi/2$ 处余弦为0、正弦为1，结果为 $-\pi/2$，选 C。

答案：B

在 $x\ne0$ 的区间，$y'-y/x=x^2$。两边除以 $x$ 后左边为 $(y/x)'$，故 $y/x=x^2/2+C$，得 $y=x^3/2+Cx$，选 B。

答案：B

两平面法向量点积应为0：$(m,1,-3)\cdot(7,-2,-1)=7m+1=0$，所以 $m=-1/7$，选 B。

答案：C

内点极值处若导数存在，费马定理保证其为0；但极值也可出现在尖点，例如绝对值函数在0处不可导。因此必须包含两种情形，选 C。

令 $t=x+1$，得 $f(t)=(t-1)^2+2=t^2-2t+3$。把 $t$ 替换为 $\cos x$ 即得所求。

每个分母介于 $\sqrt{n^2+1}$ 与 $\sqrt{n^2+n}$ 之间，所以和介于 $n/\sqrt{n^2+n}$ 与 $n/\sqrt{n^2+1}$ 之间。这两端都趋于1，由夹逼定理得极限1。

先求 $y'=\arctan x+x/(1+x^2)$。再求导并通分：$y''=1/(1+x^2)+(1-x^2)/(1+x^2)^2=2/(1+x^2)^2$。

依次对立方、正弦和线性内层求导，得到 $3\sin^2(2x+1)\cos(2x+1)\cdot2$，合并即为所列结果。

设原函数为 $e^{2x}(A\cos3x+B\sin3x)$，求导后余弦系数为 $2A+3B$，正弦系数为 $2B-3A$。令二者分别等于1和0，解得 $A=2/13,B=3/13$，得到所列原函数。

$x^{-2}$ 的原函数是 $-1/x$，因此积分为 $-1/3+1/2=1/6$。

直线方向向量为 $(1,-2,p)$，平面法向量为 $(2,-1,-1)$。平行要求二者点积为0，故 $2+2-p=0$，得到 $p=4$。直线上点 $(1,3,-4)$ 不在平面，确为平行而非包含。

对指数复合函数用链式法则，指数 $x\cos x$ 的导数为 $\cos x-x\sin x$。再乘 $dx$ 得全微分表达式。

向量模长为 $\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$。平行包含同向与反向，故两个单位向量分别为原向量除以模长及其相反数。

因 $b_n\ne0$，新级数的系数有定义。由题设，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n^2/b_n^2|}=\frac{(3/\sqrt5)^2}{3^2}=\frac15$。根据幂级数根值判别公式，收敛半径 $R=1/(1/5)=5$。

$z_x=2xy^2+ye^{xy}$，$z_y=2x^2y+xe^{xy}$；在 $(1,1)$ 两者均为 $2+e$。代入 $dz=z_xdx+z_ydy$ 即得结果。

令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2,dx=2t\,dt$，上下限仍为0和1。积分为 $2\int_0^1te^tdt=2[(t-1)e^t]_0^1=2$。

取对数后为 $3x\ln(1+2/x)$。由 $\ln(1+u)\sim u$，对数趋于6，所以原极限为 $e^6$。

用半角公式 $\cos^2(x/2)=(1+\cos x)/2$，逐项积分得 $x/2+\sin x/2+C$。

当 $y\ne0$ 且可局部以 $y$ 为自变量时，$dx/dy=2x(y+1)/y$，即 $dx/x=(2+2/y)dy$。积分得 $\ln\lvert x\rvert=2y+2\ln\lvert y\rvert+C_1$，所以 $x=Cy^2e^{2y}$。分离中除去了 $y$，应另补零解 $y=0$；隐式解取能成为可导函数的局部分支。

系数的 $n$ 次根趋于1，故半径为1。$x=1$ 时各项 $\ln(n+1)/n$ 最终大于 $1/n$，发散；$x=-1$ 时绝对值项趋于0且最终递减，由交错级数判别法收敛。因此收敛域为 $[-1,1)$。

令 $x=0$ 得 $\ln y=0$，所以 $y(0)=1$。两边求导得 $(2x+y')/(x^2+y)=3x^2y+x^3y'+\cos x$，在 $(0,1)$ 代入得到 $y'=1$；隐函数条件 $1/(x^2+y)-x^3\ne0$ 在该点满足。

该点为 $(0,e^{\pi/2})$。参数导数分别为 $e^t(\cos t-\sin t)$ 与 $e^t(\sin t+\cos t)$，该处切线斜率为-1，故法线斜率为1。点斜式给出 $y-e^{\pi/2}=x$。

正底数允许对数求导：$\ln y=\sin x\ln x$。两边求导后 $y'/y=\cos x\ln x+\sin x/x$，乘回 $y$ 即得结果。

两曲线在第一象限交于 $(0,0),(1,1)$，区域可写 $0\le x\le1,x^2\le y\le\sqrt x$。故积分为 $\int_0^1[x(\sqrt x-x^2)+(x-x^4)/2]dx=2/5-1/4+1/4-1/10=3/10$。

设正面长 $x>0$、侧边长 $y>0$、墙高 $h$，有 $xy=150$。费用 $K=h(6x+3x+6y)=h(9x+900/x)$，导数为 $h(9-900/x^2)$，在 $x=10$ 变号由负到正，故费用最小。此时 $y=150/10=15$，相同墙高只形成正比例系数，不影响最优尺寸。

联立得 $2y^2=2y+4$，所以交点纵坐标为-1与2。对每个 $y\in[-1,2]$，右界是直线 $x=2y+4$，左界是抛物线 $x=2y^2$。面积 $\int_{-1}^2(2y+4-2y^2)dy=[y^2+4y-2y^3/3]_{-1}^2=9$。

（1）设 $F(x)=f(x)+x-1$，则 $F(0)=-1,F(1)=1$，由连续函数零点定理，存在 $\varepsilon\in(0,1)$ 使 $F(\varepsilon)=0$。（2）分别在 $[0,\varepsilon]$ 与 $[\varepsilon,1]$ 对 $f$ 使用拉格朗日中值定理，得到 $\eta\in(0,\varepsilon)$、$\mu\in(\varepsilon,1)$，且 $f'(\eta)=(1-\varepsilon)/\varepsilon$，$f'(\mu)=\varepsilon/(1-\varepsilon)$。相乘为1，且两点处在不相交开区间，因此不同。