2014年河南专升本高等数学真题

答案：A

根式要求 $9-x^2\ge0$，即 $-3\le x\le3$；对数要求 $x-1>0$，即 $x>1$。两条件同时成立的交集为 $(1,3]$，选 A。

答案：C

令 $u=2x$，即 $x=u/2$。代回等式右侧得到 $f(u)=u^2/4-u$。将自变量符号 $u$ 换回 $x$，故为 C。

答案：B

直接代入：$g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)$。定义域关于原点对称，所以一定是奇函数。特殊情形 $g\equiv0$ 确实兼具奇偶性，但一般 $f$ 不保证该情形，故普遍成立的选项是 B。

答案：A

分母趋零而极限有限，分子必须也趋零，故 $4a+4=0$，得 $a=-1$。检验此时分式为 $-(x-2)(x+2)/(x-2)=-(x+2)$，极限确为 $-4$，选 A。

答案：B

分子为 $(x-1)(x+1)$，分母为 $(x-2)(x+1)$，约去公因子后在 $x\ne-1,2$ 为 $(x-1)/(x-2)$。趋于 $-1$ 时极限为 $2/3$，有限但原函数该点无定义，所以为可去间断点，选 B。

答案：D

$1-\cos x\sim x^2/2$。A 约为 $x^2/2$，B 约为 $x^2$，都是同阶；C 约为 $x$，为低阶；D 约为 $x^3$，除以 $x^2/2$ 后趋零，因此选 D。

答案：B

把分子看成函数 $F(x)=(\ln x)^2$ 的增量。极限为 $F'(x)/2$，而 $F'(x)=2\ln x/x$，所以结果为 $\ln x/x$，选 B；定义域为 $x>0$。

答案：B

对应点为 $(0,1)$。参数导数 $dx/dt=-2\sin t$，$dy/dt=\cos t$，代入给定参数得斜率 $0/(-2)=0$。水平切线经过 $(0,1)$，故为 $y=1$，选 B。

答案：C

$f$ 有五个不同实根 $0,1,2,3,4$。在相邻根的四个区间分别用罗尔定理，得到四个不同的导数零点。$f'$ 只有四次，至多四个不同实根，所以恰有四个，选 C。

答案：B

隐式求导得到 $y'=y+xy'+e^x$，故 $(1-x)y'=y+e^x$。再用原等式 $e^x=(1-x)y$，右边为 $(2-x)y$，因此 $y'=(2y-xy)/(1-x)$，选 B。原等式本身也排除 $x=1$。

答案：C

正导数说明 $f$ 严格递增，因此在 $0<x<a$ 上 $f(x)>f(0)$。在正长度区间积分，得到 $S_1>\int_0^af(0)dx=af(0)=S_2$，选 C。

答案：B

$y''=6x$，只在零点变号，故只有一个拐点 $(0,1)$，选 B。拐点对应凹凸改变，不是要求一阶导数变号。

答案：D

$x\to2$ 时函数无界，故竖直渐近线为 $x=2$；$x\to\pm\infty$ 时函数趋零，水平渐近线为 $y=0$，选 D。

答案：B

令 $u=e^{-x}$，有 $du=-e^{-x}dx$。原积分为 $-\int f(u)du=-F(u)+C$，代回得 B。负号来自内函数导数。

答案：C

面积的竖条高度为曲线与横轴的距离 $|f(x)|$。函数可能在区间内变号，不能先让正负部分抵消后才取绝对值。因此面积为 $\int_a^b|f(x)|dx$，选 C。

答案：B

记 $I=\int_{-1}^1f(t)dt$，对已知等式在 $[-1,1]$ 积分，得 $I=\pi/2-2I$；其中含正弦的奇函数项积分为零。因此 $I=\pi/6$。无穷远第一项趋零，故 $f(x)\to-I=-\pi/6$，选 B。

答案：D

被积函数连续，直接用微积分基本定理，把积分变量 $t$ 换成上限 $x$ 即得 $f'(x)=(x-1)\sin x$，选 D；不必再对被积函数求导。

答案：C

C 的原函数为 $2\sqrt{x-1}$，在下端点取极限有限，积分为 $2$。A 的原函数为 $\frac12\ln^2x$，无穷远无界；B 是指数 $1/2\le1$ 的幂积分，发散；D 的部分积分为 $\sin R-\sin1$，无极限。故选 C。

答案：C

原式在 $xy\ne0$ 的区间成立。乘以 $xy$ 得 $x\,dx+y\,dy=0$，积分得 $(x^2+y^2)/2=C_0$，将常数改名得到 $x^2+y^2=C$，选 C。

答案：D

特征方程 $(r-1)^2=0$，右端指数 $1$ 是二重特征根。正常的一次多项式乘 $e^x$ 的试探式，要额外乘 $x^2$ 避免与齐次解重复。因此为 $x^2(Ax+B)e^x$，选 D。

答案：B

非零向量点积为零表示垂直；叉积为零表示平行。所以 $\mathbf a\perp\mathbf b$、$\mathbf b\parallel\mathbf c$，恰为 B。由此还能推出 $\mathbf a\perp\mathbf c$，但不能推出 D 中的第二个条件。

答案：D

直线方向向量为 $(3,-2,5)$，平面法向量为 $(6,-4,10)=2(3,-2,5)$。两向量平行，说明直线垂直于平面，选 D。

答案：D

方程不含 $z$，所以平面双曲线 $2x^2-y^2=1$ 沿 $z$ 轴方向平移形成柱面，称双曲柱面，选 D。没有 $z$ 不表示它只是空间中的一条曲线。

答案：B

在原式有定义的点，分子分母乘 $\sqrt{1+xy}+1$，约去 $xy$，化为 $2(\sqrt{1+xy}+1)$。趋于原点时得到 $4$，选 B。

答案：A

偏导数为 $z_x=y,z_y=x$，在原点都为零，因此是驻点。沿 $y=x$ 函数非负，沿 $y=-x$ 非正，原点附近同时有比零大和比零小的值，实际为鞍点而非极值点。选 A。

答案：A

被积函数为 $y(x+1)$，对固定 $x$ 关于 $y$ 是奇函数，且 $y$ 的上下限为 $-1,1$，积分抵消为零，因此选 A。

答案：C

两个区域合成顶点 $(0,0),(1,1),(2,0)$ 的三角形。以水平线切片，$0\le y\le1$，左边界为 $x=y$，右边界为 $x=2-y$，因此合成 C。

答案：A

沿两段路径分别计算。第一段$y=0$且$dy=0$，积分为0；第二段$x=1$且$dx=0$，积分为$\int_0^1 1^2\,dy=1$。总积分为1，选A。原题只给端点；本稿补明经过$(1,0)$的折线路径。

答案：D

D 满足交错级数判别而收敛，其绝对值级数 $\sum1/\sqrt n$ 发散，故条件收敛。A 与调和级数同阶而发散；B 是绝对收敛的几何级数；C 的通项趋于 $1$，发散。选 D。

答案：C

裂项为 $1/(4n^2-1)=\frac12[1/(2n-1)-1/(2n+1)]$。前 $N$ 项相加后中间抵消，得 $\frac12[1-1/(2N+1)]$。令 $N\to\infty$ 得 $1/2$，选 C。

令 $u=(x-1)/x$，则右侧 $x/(x-1)=1/u$，所以 $f(u)=1/u$。原自变量 $x\ne0,1$ 对应 $u\ne0,1$，故在该范围可确定 $f(x)=1/x$；没有据此给未覆盖点另定函数值。

记 $I=\int_0^2f(t)dt$。对等式在 $[0,2]$ 积分得到 $I=8/3-2I$。因此 $3I=8/3$，解得 $I=8/9$。

左极限为 $1-a$，函数值及右极限为 $\ln1=0$。连续要求 $1-a=0$，所以 $a=1$。

令 $u=x^3+1$，它取遍实数，则 $1+2x^3=2u-1$，所以 $f'(u)=2u-1$。积分得到 $f(x)=x^2-x+C$，由 $f(0)=-1$ 得 $C=-1$。

因为 $(\sin2x)'=2\cos2x$，原函数需补因子 $1/2$。直接求导可验证。

按叉积公式，$\mathbf a\times\mathbf b=(1,1,-1)$。再与 $\mathbf c$ 点乘得到 $1+1+0=2$。这是混合积，叉积次序交换会变号。

特征方程为 $(r-2)^2=0$，有二重根 $2$。对应两个线性无关解 $e^{2x}$、$xe^{2x}$，故通解为 $(C_1+C_2x)e^{2x}$。

计算关于 $x$ 的偏导时固定 $y=0$，邻域内有 $f(x,0)=\ln x^2$。其导数为 $2/x$，在 $x=1$ 得 $2$。这一固定变量法同时避开冗长的三因子乘积求导。

沿单位向量 $\mathbf u$ 的方向导数为 $\nabla f\cdot\mathbf u$，由柯西不等式，最大为梯度模。该点梯度为 $(2,2,2)$，模长 $\sqrt{12}=2\sqrt3$，在梯度方向取得。

由几何级数 $1/(1-u)=\sum_{n=0}^\infty u^n$，取 $u=2x$ 即得结果。收敛条件 $|2x|<1$，两个端点的通项均不趋零。

分母有理化后，原式变为 $x^2(e^x-1)[\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+x}]/(\tan x-x)$。其中 $e^x-1\sim x$，根式之和趋于 $2$，$\tan x-x\sim x^3/3$，故极限为 $2/(1/3)=6$。必须保留正切与一次项相消后的三阶项。

在 $0<x<1$ 有 $x^n>x^{n+1}$，因此 $a_n=\int_0^1(x^n-x^{n+1})dx=1/[(n+1)(n+2)]$。于是 $\sqrt n\,a_n$ 与 $n^{-3/2}$ 的比值趋于 $1$，而 $p=3/2>1$ 的正项级数收敛。由极限比较判别，所给级数收敛。

令 $u=x^2-1$，$du=2x\,dx$。原式为 $\frac12\int u^{-1/2}du=\sqrt u+C$，代回即结果；实数积分在 $|x|>1$ 的区间成立。

绝对值在 $x=2$ 处分段。积分为 $\int_0^2(2-x)dx+\int_2^4(x-2)dx=2+2=4$，也等于底和高均为 $2$ 的两个三角形面积之和。

在 $x\ne0$ 的区间，两边除以 $x^2$ 得 $(y/x)'=x$。积分得 $y/x=x^2/2+C$，即 $y=x^3/2+Cx$。代入原方程，左边恰为 $x^3$。

令$F(x,y,z)=e^{-xy}-2z+e^z-2$。有$F(0,0,0)=0$且$F_z(0,0,0)=-2+1=-1\ne0$，故隐函数定理保证原点附近存在唯一局部函数分支$z=f(x,y)$。微分得$-e^{-xy}(y\,dx+x\,dy)+(e^z-2)\,dz=0$，因此$dz=\dfrac{e^{-xy}(y\,dx+x\,dy)}{e^z-2}$。

取 $\overrightarrow{BA}=(3,-3,4)$、$\overrightarrow{BC}=(1,-2,3)$，叉积为 $(-1,-5,-3)$，其模为 $\sqrt{35}$，是对应平行四边形面积。三角形面积取一半，得到 $\sqrt{35}/2$。