2019年河南专升本高等数学真题

答案：D

对所有实数有 $\sqrt{1+x^2}>\lvert x\rvert$，故对数有定义。又 $(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)=1$，所以 $f(-x)=-f(x)$，选 D。

答案：B

复合函数要求 $1\le e^x\le e$，对不等式取对数得 $0\le x\le1$，选 B。

答案：A

导数为 $x^2+x+6$，在0处斜率6。切线为 $y=6x+1$，令 $y=0$ 得 $x=-1/6$，选 A。

答案：C

利用 $(1+u)^{1/3}-1\sim u/3$，左式与 $ax^2/3$ 等价。要求系数等于-1/2，所以 $a=-3/2$，选 C。

答案：D

分子分母同除以 $n^2$，低次项趋于0，最高次项系数比为-4/3，选 D。

答案：C

写成 $(4/5)\sin4x/(4x)$，后一个比值趋于1，故极限为4/5，选 C。

答案：C

分子与 $2x^2$ 等价，分母与 $2x$ 等价，因此比值与 $x$ 等价并趋于0。故分子是分母的高阶无穷小，选 C。

答案：A

左极限为 $2a-1$，右极限和点值为 $a$。连续要求 $2a-1=a$，所以 $a=1$，选 A。

答案：C

左极限为2，右极限为 $\cos(-\pi/2)=0$。左右极限均有限但不相等，所以是跳跃间断点，选 C。

答案：A

拆成 $[f(a+x)-f(a)]/x+[f(a)-f(a-x)]/x$。两部分分别为正向和反向差商，都趋于 $f'(a)$，故极限为 $2f'(a)$，选 A。

答案：A

令 $x/(1+2x)=1$，解得 $x=-1$，且该点分母不为0。所以反函数在1的值为-1，选 A。

答案：C

乘积求导得 $y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x$，再乘 $dx$，故选 C。

答案：B

分母在 $x=-1$ 为0，而分子趋于1，函数绝对值无界，故垂直渐近线为 $x=-1$，选 B。

答案：B

设 $F(x)=3x-2\sin x$，则 $F'(x)=3-2\cos x\ge1>0$，所以严格递增，至多有一个实根。又 $F(0)=0$，故恰有一个实根，选 B。

答案：D

二阶导数为 $12x$，在0两侧异号，凹凸性改变。代回原函数得 $y(0)=1$，所以拐点为 $(0,1)$，选 D；拐点应给坐标而非仅横坐标。

答案：C

$[g(x)-f(x)]'=0$，故在该连通区间上两函数之差为常数。任意常数的正负可重新命名，所以 $g=f-C$，选 C；这个常数不一定为0。

答案：C

令 $u=1-2x$，则 $du=-2dx$，积分为 $-\tfrac12\ln\lvert u\rvert+C$。绝对值使公式同时适用于 $x<1/2$ 与 $x>1/2$ 的区间，故选最完整的 C。

答案：B

上下限与被积函数都不依赖 $x$，积分是常数 $\sin b-\sin a$，因此对 $x$ 求导为0，选 B。

答案：C

$x\to-\infty$ 时，要使指数衰减须 $k<0$。此时原函数为 $-e^{-kx}/k$，下端趋于0，积分为 $-1/k$。$k=0$ 被积函数恒为1，$k>0$ 则增长，均发散，选 C。

答案：C

由积分可加性，$\int_1^5f(x)dx=\int_{-1}^5f-\int_{-1}^1f=2-1=1$。交换上下限并提出常数3，得 $\int_5^1 3f(x)dx=-3\int_1^5f(x)dx=-3$，选 C。

答案：B

法向量分别为 $(1,-2,7)$ 与 $(5,-1,-1)$，点积为 $5+2-7=0$，因此平面垂直，选 B。

答案：B

第三分量给出比例 $\vec a=2\vec b$。比较第二分量得 $x=-4$，比较第一分量得 $y=3$，所以有序对为 $(-4,3)$，选 B。

答案：C

先求 $z_y=x/(x+y)$，再对 $x$ 求导，得到 $[(x+y)-x]/(x+y)^2=y/(x+y)^2$，选 C。原函数要求 $x+y>0$。

答案：A

可导必连续，连续必有极限，所以极限存在是必要条件。反过来极限存在未必连续，更未必可导，因此不充分，选 A。

答案：A

被积函数是半径3上半球的高度，积分等于半球体积 $\tfrac12\cdot\tfrac43\pi3^3=18\pi$。也可用极坐标得到同值，选 A。

答案：A

沿曲线 $y=-x$，所以 $\cos y=\cos x$，且 $x$ 从2减至-2。积分为 $\int_2^{-2}\cos xdx=\sin(-2)-\sin2=-2\sin2$，选 A。

答案：C

分组级数收敛只控制偶数部分和，未控制奇数部分和。例 $u_{2n-1}=1,u_{2n}=-1$ 时分组和为0而原级数发散；若所有项为0则原级数收敛。因此敛散不确定，选 C。

答案：A

代入有 $y''-y=0$，所以它是一个解族。二阶方程完整通解是 $C_1e^x+C_2e^{-x}$，给定式少一个独立任意常数，既非完整通解也非所有解；常数未确定也不称单个特解，选 A。

答案：B

多项式部分三次求导后即为0，指数函数每次求导仍为自身。因此520阶导数为 $2e^x$，选 B。

答案：C

方程不含 $z$，说明平面双曲线沿 $z$ 轴平移形成柱面，故为双曲柱面，选 C。

取对数为 $x\ln[1+3/(x+3)]\sim3x/(x+3)\to3$，所以原极限为 $e^3$。

特征方程 $r^2-10r+9=(r-1)(r-9)=0$，有不同实根1和9，通解为对应指数解的线性组合。

令 $t=x+1$，得 $f(t)=2t+1$。所以内层 $f(x)-3=2x-2$，再代入外层得到 $2(2x-2)+1=4x-3$。

由变上限积分求导，$y'=x-1$。当 $x>1$ 时导数为正，故在 $(1,+\infty)$ 递增；$x<1$ 时递减。

令 $u=1+x^2$，则 $du=2x\,dx$，积分为 $\tfrac12\int u^{-1/2}du=\sqrt u+C$，代回即得。

$x^6\sin x$ 为奇函数，对称区间积分为0。剩下 $2\int_0^\pi x^2dx=2\pi^3/3$。

区域为 $0\le x\le1,0\le y\le x^2$。固定 $y\in[0,1]$，由于 $x\ge0$，不等式 $y\le x^2$ 等价于 $x\ge\sqrt y$，故新内限为 $\sqrt y$ 至1。

两个偏导分别为 $z_x=2x,z_y=2y$，代入 $dz=z_xdx+z_ydy$ 即得。

写成 $1/(2-x)=\tfrac14/[1-(x+2)/4]$，应用几何级数公式。收敛条件为 $\lvert(x+2)/4\rvert<1$，即 $-6<x<2$，两个端点通项不趋于0，均发散。

参数导数为 $dx/dt=-\tfrac32\cos^2t\sin t$ 与 $dy/dt=\tfrac32\sin^2t\cos t$，相除并约去公共因子得 $-\tan t$。参数速度为0处需另用局部极限判断，不能直接除以0。

分部积分取 $u=x,dv=\cos xdx$，得到 $x\sin x-\int\sin xdx=x\sin x+\cos x+C$。

令 $t=1/x\to0$，原式成为 $[t-\ln(1+t)]/t^2$。由 $\ln(1+t)=t-t^2/2+o(t^2)$，分子为 $t^2/2+o(t^2)$，故极限为1/2。

由于 $xy\ne0$，可先显式解出 $z=2/y-4/x-1$。分别对 $x,y$ 求偏导，得到 $z_x=4/x^2,z_y=-2/y^2$；代入隐函数公式也可得到同一结果。

令 $t=x-2$，上下限变为-1和1。按分段点0拆分：$\int_{-1}^02t\,dt+\int_0^1\sqrt t\,dt=-1+2/3=-1/3$。

两平面法向量为 $(3,2,0)$ 与 $(0,2,1)$，交线方向取叉积为 $(2,-3,6)$。用已知点和此方向写点向式或对称式即得。

区域为 $1\le x\le2,1\le y\le x$。积分为 $\int_1^2x(x-1)dx=[x^3/3-x^2/2]_1^2=5/6$。

绝对值相邻通项比值趋于 $\lvert x\rvert/5$，小于1时收敛，所以收敛半径为5。题目明确不考察端点，因此给出开区间 $(-5,5)$ 即可。

左边为乘积导数 $(xy)'$，所以积分得 $xy=\sin x+C$。因 $x>0$ 可除以 $x$，得到通解。

导数为 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，在 $(-\infty,1)$ 正、$(1,2)$ 负、$(2,+\infty)$ 正。因此1是极大值点、2是极小值点，代回函数分别为1/2和1/3。

设 $F=x^2+2y^2+3z^2-9$，梯度在给定点为 $(4,4,6)$，是切平面的法向量。故 $4(x-2)+4(y-1)+6(z-1)=0$，约去2即得结果。

区域横向范围为 $0\le x\le2$，旋转截面为半径 $x^2$ 的圆盘。故 $V=\pi\int_0^2(x^2)^2dx=\pi[x^5/5]_0^2=32\pi/5$。

$C'(t)=0.30+0.08t-0.0012t^2$，其正根为 $t_*=(0.08+\sqrt{0.00784})/0.0024$。导数在0至此根为正、其后为负，故为最高浓度时刻。使用题目给的平方根近似得到 $70.2083\ldots$，四舍五入70.21秒；若保留真实根值到最后则为70.23秒，两者差异来自题给的中间近似，不是两个不同极值。

设 $F(x)=x/f(x)$，因 $f$ 连续且不为0，$F$ 在闭区间连续、开区间可导。端点满足 $F(a)=F(b)=1$，由罗尔定理存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$。计算 $F'=[f(x)-xf'(x)]/f(x)^2$，分母不为0，所以 $f(\xi)-\xi f'(\xi)=0$，即所求。