2021年河南专升本高等数学真题

答案：C

利用 $f(-x)=-f(x)$、$g(-x)=g(x)$，有 $g(-x)f(-x)=-g(x)f(x)$，所以 C 为奇函数。A 代入 $-x$ 后不变，为偶函数；B 一般既非奇也非偶；D 为偶函数。

答案：A

将式子写为 $\frac32\frac{\tan3x}{3x}$。由基本极限 $\lim_{u\to0}\tan u/u=1$，结果为 $3/2$。

答案：D

A 与 $\sqrt{x/2}$ 等价，趋于正无穷；B、C 也趋于正无穷。反正切有界，且 $\arctan x\to\pi/2$，因此选 D。

答案：C

左极限为 $1$，右极限及函数值为 $0$。两个单侧极限存在但不相等，故是跳跃间断点。

答案：A

在 $x\ne2,-2$ 时通分，$\frac1{x-2}-\frac4{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac1{x+2}$。再令 $x\to2$，得到 $1/4$。

答案：D

一元函数在一点可导与可微等价，且均推出连续。反过来不成立，例如 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续，但左右导数分别为 $-1,1$，不可导。

答案：B

$x^n$ 连续求导 $n$ 次为 $n!$；其余各项次数均小于 $n$，求导 $n$ 次都为零。因此结果为 $n!$，与系数 $a_i$ 无关。

答案：D

先化为 $f(x)=\frac12\ln(1+x)$，定义域为 $x>-1$。故 $f'(x)=1/[2(1+x)]$，代入 $x=1$ 得 $1/4$。

答案：C

将导数定义中的差商写为 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{f(x)-f(1)}{x^2-1}(x+1)$。取极限得 $f'(1)=3\times2=6$。

答案：B

$y'=4x^2(x-3)<0$，所以递减；$y''=12x(x-2)>0$，曲线向上弯曲，按本卷使用的凹凸命名为凹函数。因此选 B。判断凹凸时以二阶导数符号为准。

答案：C

C 是单位圆上半圆的面积，为 $\pi/2$。A 实为 $4$；B 被积函数不小于 $1$，积分不小于 $2>\pi/2$；D 的正弦部分因奇性积分为零，余弦部分为 $2\sin1\ne0$。

答案：B

令 $u=\ln x$，则 $du=dx/x$，原积分为 $\int f(u)du=F(u)+C=F(\ln x)+C$。不定积分要保留积分常数，且实数范围要求 $x>0$。

答案：A

不定积分表示原函数族 $F(x)+C$，求导后为 $f(x)$，所以 A 正确。B 右侧应为 $f(x)dx$；C 左侧为 $f'(x)$；D 缺少任意积分常数。

答案：B

方程不含 $z$，沿 $z$ 方向平移仍在平面内，所以平面平行于 $z$ 轴。$z$ 轴上 $x=y=0$，代入方程得到 $-3\ne0$，故不通过 $z$ 轴。

答案：B

固定 $z=k\ne0$，截面为半轴随 $|k|$ 成比例的椭圆；$z=0$ 时截面退化为原点。上下两部分在原点相交，构成椭圆锥面。

答案：A

A 必须在奇点 $0$ 两侧分别积分，其中 $\int_0^2dx/x$ 发散，不能用奇函数对称性把广义积分算作零。B 为可积的 $1/\sqrt{1-x}$ 型奇点；C 为 $1$；D 令 $u=\ln x$ 得收敛的 $\int_{\ln2}^\infty du/u^2$。

答案：D

$x\sqrt{a^2-x^2}$ 是奇函数，在对称区间的积分为零。$x^2$ 是偶函数，故积分为 $2\int_0^a x^2dx=2a^3/3$。

答案：C

一阶线性方程只出现 $y,y'$ 的一次项，且系数仅依赖自变量。C 在 $x\ne0$ 的区间可写为 $y'+y/x^2=1/x$；A、B 有非线性乘积或平方，D 虽线性但为二阶。

答案：B

线性算子 $L[y]=y''+y$ 满足叠加原理，故 $2x+e^{-x}$ 是非齐次方程的一个特解。齐次方程 $y''+y=0$ 的通解为 $C_1\cos x+C_2\sin x$，两者相加得 B。

答案：A

在内点取得极值且一阶偏导存在时，沿每个坐标方向应用一元函数极值必要条件，得两个偏导均为零。极小值本身不必为零；二阶导数判别法的正定条件是充分条件，不是必要条件，例如 $x^4+y^4$ 在原点极小但二阶导均为零。 唯一局部极值点也不必是全域最小值点，因此 B 不是必要结论。

答案：C

先对 $y$ 求偏导，$z_y=-2x-2y$；再对 $x$ 求偏导，$z_{yx}=-2$，与点的坐标无关，故结果为 $-2$。

答案：A

梯度为 $\nabla f=(2y,2x)$，在给定点为 $(4,-2)$。方向必须先单位化为 $(2,-1)/\sqrt5$，方向导数是点积 $(4,-2)\cdot(2,-1)/\sqrt5=10/\sqrt5=2\sqrt5$。

答案：C

积分区域为 $x\ge0,y\ge0,x+y\le3$ 的三角形。固定 $x\in[0,3]$ 后，$y$ 从 $0$ 变化到 $3-x$，因此交换次序为 C。

答案：A

绝对收敛要求绝对值级数收敛。A 的绝对值为 $\sum n^{-3/2}$，是 $p>1$ 的收敛 $p$ 级数。B、D 的绝对值通项与 $1/n$ 等价，C 与 $1/\sqrt n$ 等价，均发散，因此只有 A 绝对收敛。

答案：D

有限项改变不影响敛散性，但通常改变和，所以 A、B 错。若收敛级数与发散级数之差收敛，则把两个收敛级数相减会推出原发散级数收敛，矛盾，故 D 正确；同理 C 错。

根号处于分母，要求 $9-x^2>0$，即 $-3<x<3$；对数要求 $x+1>0$，即 $x>-1$。交集为 $(-1,3)$，各基本函数在此均连续。

对奇性等式 $f(-x)=-f(x)$ 求导，左边使用链式法则得到 $-f'(-x)=-f'(x)$，因此导函数为偶函数。于是 $f'(2)=f'(-2)=3$。

两点弦斜率为 $(1-0)/(e-1)=1/(e-1)$。曲线在横坐标 $x$ 处的切线斜率为 $1/x$，令两者相等得 $x=e-1$。对应切点为 $(e-1,\ln(e-1))$。

对数为 $(x+2021)\ln(1-1/x)$。利用 $\ln(1+u)\sim u$，它趋于 $-1$，再取指数得到 $e^{-1}$。固定加数 $2021$ 不改变极限。

有理函数可能在分母零点出现垂直渐近线。$x=1$ 时分母为零，而分子为 $3\ne0$，故两侧函数无界，垂直渐近线为 $x=1$。

参数曲线求导为 $(dy/d\theta)/(dx/d\theta)$。两导数分别是 $2\cos\theta-2\sin2\theta$ 和 $-2\sin\theta+2\cos2\theta$，在 $\theta=0$ 均为 $2$，因此商为 $1$。

分部积分取 $u=x,dv=\sin xdx$，则 $du=dx,v=-\cos x$。所以原积分为 $-x\cos x+\int\cos xdx=\sin x-x\cos x+C$，求导可还原 $x\sin x$。

比较两项：$0\le x\le1$ 时较大的是 $2-x$，$1\le x\le2$ 时较大的是 $x$。积分为 $\int_0^1(2-x)dx+\int_1^2x dx=3/2+3/2=3$。

先用变上限积分求导，再乘上上限 $x^2$ 的导数，得到 $2x\cos\sqrt{x^2}$。因 $x>0$，$\sqrt{x^2}=x$，故为 $2x\cos x$。

$y'=4e^x-e^{-x}$。令其为零得 $e^{2x}=1/4$，即 $x=-\ln2$。$y''=4e^x+e^{-x}>0$，所以这是唯一极小值点；代入得 $4\times(1/2)+2=4$。

令 $F(x,y,z)=e^z-5z+xy-3$，该点代入为零，确实在曲面上。梯度 $\nabla F=(y,x,e^z-5)$ 在该点为 $(1,2,-4)$，它是切平面的法向量。由点法式 $1(x-2)+2(y-1)-4z=0$，整理得 $x+2y-4z-4=0$。

全微分为 $dz=z_xdx+z_ydy$。计算 $z_x=2y$、$z_y=2x+2y$，在 $(3,1)$ 分别为 $2,8$，故为 $2dx+8dy$。

区间内正弦为正，因此函数在闭区间连续、开区间可导；两端正弦相等，函数值也相等。$y'=\cot x$，在开区间令其为零，唯一解为 $\xi=\pi/2$。

圆周正向为逆时针。用格林公式，$P=2y+x^3,Q=x-y^3$，故 $Q_x-P_y=1-2=-1$。圆域面积为 $\pi\times2^2=4\pi$，曲线积分等于 $-4\pi$。

部分分式分解为 $1/(1-x)-1/(5-x)$。分别用几何级数展开，得到 $\sum_{n\ge0}(1-5^{-n-1})x^n$。共同收敛域为 $|x|<1$，两个端点通项均不趋零。

当 $x\to0$，$5x\sin x\sim5x^2$，且 $\ln(1+u)\sim u$，所以分子与 $5x^2$ 等价。分母 $1-\cos x\sim x^2/2$，两者相除得 $10$。

多项式除法得 $(x^2+3)/(x-1)=x+1+4/(x-1)$，故括号内为 $(1-a)x+1+b+4/(x-1)$。要趋于零，先令一次项系数 $1-a=0$，再令常数 $1+b=0$，得到 $a=1,b=-1$。

用复合函数链式法则，$\arctan u$ 对 $u$ 的导数是 $1/(1+u^2)$，$u=\sqrt x$ 的导数为 $1/(2\sqrt x)$。相乘得所示导数，代入 $1$ 得 $1/4$。$x=0$ 处不能套用此有限导数公式。

函数定义于全体实数。$y'=2x/(1+x^2)$，$y''=2(1-x^2)/(1+x^2)^2$。分母恒正，故 $|x|<1$ 时二阶导正，为凹；$|x|>1$ 时二阶导负，为凸。$x=\pm1$ 两侧二阶导变号，均为拐点，纵坐标为 $3+\ln2$。

令 $t=\sqrt[3]{x+1}$，则 $x=t^3-1,dx=3t^2dt$。用多项式除法 $t^2/(t+1)=t-1+1/(t+1)$，积分成为 $3\int(t-1+1/(t+1))dt=3t^2/2-3t+3\ln|t+1|+C$。代回即可，原被积函数在 $x=-2$ 无定义，原函数在其两侧分别理解。

令 $t=x-1$，上下限变为 $-2,1$。在 $t=0$ 分段，得到 $\int_{-2}^0(1+t^2)dt+\int_0^1\cos(\pi t/2)dt$。第一部分为 $[t+t^3/3]_{-2}^0=14/3$，第二部分为 $[2\sin(\pi t/2)/\pi]_0^1=2/\pi$。

设交点为 $B=(t,t+2,1-t)$，从给定点 $A$ 到它的向量为 $(t+3,t+4,1-t)$。与 $L$ 的方向 $(1,1,-1)$ 垂直要求点积 $3t+6=0$，得 $t=-2$。于是 $\overrightarrow{AB}=(1,2,3)$，用过点方向式得到答案。

分别求导得 $z_x=2x/(3y)+y/\sqrt{1-x^2y^2}$，$z_y=-x^2/(3y^2)+x/\sqrt{1-x^2y^2}$。乘以 $xy,-y^2$ 后相加，反正弦产生的两项抵消，余下 $2x^2/3+x^2/3=x^2$。注意反正弦边界一般不能直接用此偏导公式。

区域可写为 $0\le x\le3,0\le y\le x$。先对 $y$ 积分：对 $x>0$，$\int_0^x e^{y/x}dy=x[e^{y/x}]_0^x=x(e-1)$，再积分得 $(e-1)\int_0^3x dx=9(e-1)/2$。原点处表达式可任意赋有限值，不影响二重积分。