2025年河南专升本高等数学真题

答案：D

奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$，且定义域关于原点对称。A 是两个奇函数的乘积，为偶函数；B 中余弦消去正负号，为偶函数；C 的底数在 $x$ 与 $-x$ 处相同，为偶函数。D 中将分子分母同乘 $3^x$，得到 $f(-x)=(1-3^x)/(1+3^x)=-f(x)$，故选 D。

答案：A

利用基本等价无穷小 $\arcsin u\sim u$（$u\to0$）。令 $u=2x$，则原式为 $\frac23\lim_{x\to0}\arcsin(2x)/(2x)=\frac23$，选 A。

答案：C

高阶无穷小的含义是 $(f(x)-1)/\sin x\to0$。因此 $f(x)\to1$，且 $f'(0)=\lim(f(x)-f(0))/x=\lim[(f(x)-1)/\sin x]\cdot(\sin x/x)=0$。D 的极限为 $\sin1$，不是零，故选 C。

答案：C

对 $x\ne2$，约去因子 $x-2$ 得 $f(x)=x-1$，所以左右极限都为 $1$。极限存在且有限，但与函数值 $f(2)=0$ 不同，这是可去间断点。将该点函数值改成 $1$ 才会连续，故选 C。

答案：D

这是 $1^\infty$ 型极限。对表达式取对数，用 $\ln(1+u)\sim u$，得 $(2-x)\ln(1-2/x)\to(2-x)(-2/x)\to2$。再取指数，原极限为 $e^2$，选 D。

答案：D

由 $\frac{f(x)}x=\frac{f(x)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}$，且 $\sin x/x\to1$，得 D 成立。A 不必为零：取 $f(x)=x|x|$，则 $f(x)/\sin x\to0$，而 $f(x)/x^2=\operatorname{sgn}(x)$，没有趋于 $0$ 的双侧极限。对同一例子，B 的商在两侧趋于相反数，C 的商发散，故只有 D 必然成立。

答案：C

先由复合函数求导得到 $y'=f'(e^x)e^x$。再对两个因子的乘积求导：$y''=f''(e^x)e^x e^x+f'(e^x)e^x$，即 C。第二次求导仍须乘内函数的导数 $e^x$。

答案：A

$x^2-x+2=(x-\frac12)^2+\frac74>0$，本身处处光滑。只有绝对值内的零点 $x=3$ 可能产生尖点。该点左右导数为 $-8$、$8$，确实不相等；其余点可导。因此只有一个不可导点，对应本题选项 A。

答案：D

每求导一次，频率 $2$ 贡献一个因子 $2$，且三角函数每四次求导恢复原形。因为 $2025\equiv1\pmod4$，所以 $y^{(2025)}=-2^{2025}\sin(2x)$，与修订后的 D 项相同，选 D。

答案：B

$f''<0$ 说明 $f'$ 严格递减。在 $[1,2]$ 用拉格朗日中值定理，有 $\xi\in(1,2)$ 使 $f(2)-f(1)=f'(\xi)$。由 $0<\xi<2$，得到 $f'(0)>f'(\xi)>f'(2)$，选 B。

答案：D

内点取得极大值时，若导数存在，费马定理给出 $f'(x_0)=0$；函数也可能在尖点取最大值而不可导，例如 $-|x|$ 在原点。题目没有事先保证可导，故必须包含导数不存在的情形，选 D。

答案：A

代入 $f(\tan x)=-2\tan x$，分母为 $-\cos^2x$，故被积函数为 $2\tan x\sec^2x$。令 $u=\tan x$，$du=\sec^2x\,dx$，积分等于 $u^2+C=\tan^2x+C$，选 A。

答案：A

在 $(0,\pi/2)$ 有 $0<\sin x<x<\tan x$。对正数取严格递增的对数，仍有 $\ln\sin x<\ln x<\ln\tan x$。在同一正长度区间积分，严格不等号保留，故 $I<J<K$，选 A。

答案：C

积分中值定理给出某个 $\xi\in[a,b]$，满足 $\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a)$。因为 $b-a>0$、左边为零，所以 $f(\xi)=0$。零点未必唯一，也不保证有两个。按单选题的保证性结论，选 C。

答案：B

第二项分子奇、分母偶，因此是奇函数，在对称区间上的积分为零。对第一项分部积分，$\int xe^x dx=(x-1)e^x$。代入上下限，得到 $0-(-2/e)=2/e$，选 B。

答案：D

令 $u=\sqrt{k}x$，则原积分为 $\frac4{\sqrt{k}}\int_0^\infty du/(1+u^2)=2\pi/\sqrt{k}$。令其等于 $2$，得到 $\sqrt{k}=\pi$，即 $k=\pi^2$，选 D。

答案：C

用 $x=t$ 参数化，得 $(x,y,z)=(t,2t,0)$，方向向量为 $(1,2,0)$，与 $z$ 轴方向 $(0,0,1)$ 垂直，且两直线在原点相交。取 $t=1$ 也知经过 $(1,2,0)$，故选 C。

答案：B

最高阶导数为 $y''$，因此是二阶。$y,y',y''$ 都是一次，且未相乘，故是线性方程。右端不为零，是非齐次；系数 $x^2,-3x$ 随 $x$ 变化，非恒定系数。只有②④正确，选 B。

答案：C

齐次特征方程 $r^2-3r-4=(r-4)(r+1)=0$。右端的指数 $-1$ 是一重特征根，故常规试探式 $(ax+b)e^{-x}$ 还须乘一次 $x$，避免与齐次解重复。应设 $y^*=x(ax+b)e^{-x}$，选 C。

答案：A

沿 $z$ 轴正方向的单位向量为 $(0,0,1)$，方向导数就是偏导数 $f_z=2yz$。代入 $(2,-1,1)$，得 $-2$，故选 A。

答案：A

该点对应 $t=\pi/2$。切向量为 $(-4\sin t,\cos t,1)$，代入为 $(-4,0,1)$。法平面的法向量等于曲线切向量，故 $-4x+(z-\pi/2)=0$，等价于 A。

答案：D

把 $y$ 视为常数，对 $z$ 求导：$2zx_z+2x-2yx_z=0$，所以 $x_z=-2x/[2(z-y)]=x/(y-z)$。隐函数求导要求 $y>0$ 且 $z-y\ne0$，选 D。

答案：A

区域满足 $0\le y\le1$、$-\sqrt{1-y}\le x\le0$，等价于 $-1\le x\le0$、$0\le y\le1-x^2$。先固定 $x$，$y$ 从横轴走到抛物线，故得到 A。特别注意 $x$ 为负，不能误移到右半平面。

答案：B

比值判别给出 $|x-2|<1$，即 $1<x<3$。在 $x=1$ 为交错级数 $\sum(-1)^n/(2n-1)$，单调趋零而收敛；在 $x=3$ 为正项奇数调和级数，发散。因此收敛域为 $[1,3)$，选 B。

答案：C

原级数收敛，移除有限首项后仍收敛。三部分的和分别为 $S$、$S-u_1$、$S-u_1-u_2$。按系数组合，得 $S-(S-u_1)+2(S-u_1-u_2)=2S-u_1-2u_2$，选 C。

将复合函数关系展开为 $\ln(g(x))=2x$。两边取指数，得 $g(x)=e^{2x}$，且结果始终为正，满足对数函数定义域。

拆为 $\ln n/n^2+(-1)^n/n^2$。前者对连续变量用洛必达法则，极限为 $\lim 1/(2n^2)=0$；后者绝对值不超过 $1/n^2\to0$。两项都趋零，故结果为 $0$。

乘积求导得 $y'=e^{-2x}(-2\cos3x-3\sin3x)$。代入 $x=0$，切线斜率为 $-2$。由点斜式 $y-1=-2(x-0)$，得 $y=1-2x$。

令 $u=1+x^2$，则 $du=2x\,dx$。原式为 $\frac12\int\ln u\,du=\frac12(u\ln u-u)+C$。代回并将常数 $-1/2$ 合并到 $C$，得到答案。直接求导可恢复 $x\ln(1+x^2)$。

$f'(x)=6x^2-12x$，$f''(x)=12x-12$。二阶导数在 $x=1$ 左侧负、右侧正，凹凸性确实改变。代入 $f(1)=1$，故拐点为 $(1,1)$。

对原函数求导即可：$(x^2)'=2x$，$(\ln(2x))'=2/(2x)=1/x$。原式中实对数要求 $x>0$，因此 $f(x)=2x+1/x$。

分母为 $(x-2)(x+1)$，在 $x=2,-1$ 处均不能与分子约去，因此有两条竖直渐近线。分子分母同阶，无穷远比值为 $2$，故还有水平渐近线 $y=2$，总共三条。

令 $t=\sqrt{1-x}$，则 $x=1-t^2$，$dx=-2t\,dt$；上下限由 $1$ 变到 $0$。积分化为 $2\int_0^1dt/(1+t^2)=2[\arctan t]_0^1=\pi/2$。换元也说明端点奇性可积。

改写为 $y'-y=e^x$。乘积分因子 $e^{-x}$ 后，左边成为 $(e^{-x}y)'=1$。积分得 $e^{-x}y=x+C$，所以 $y=e^x(x+C)$。

区域关于 $y$ 轴对称，被积函数 $x$ 关于 $x$ 为奇函数。每个点 $(x,y)$ 与 $(-x,y)$ 的贡献相互抵消，故二重积分为零。

偏导数 $f_x(1,0)$ 要固定 $y=0$。在 $(1,0)$ 邻域，$f(x,0)=x^2+\tan0=x^2$，所以 $f_x(1,0)=2$。此方法避免对复杂商式做不必要运算。

在原点外 $x^2+4y^2>0$，趋于原点时其倒数趋于 $+\infty$，故反正切趋于 $\pi/2$；同时 $x+1\to1$。乘积极限为 $\pi/2$。

取 $P=y+e^x$，$Q=2x+\cos y+2y$。由格林公式，$Q_x-P_y=2-1=1$，原积分等于椭圆内部面积。半轴长为 $4$ 和 $2$，面积为 $8\pi$。逆时针方向对应正号。

叉积 $\mathbf a\times\mathbf b$ 同时垂直于 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$，因此也垂直于其差。用点积线性性写成 $\mathbf a\cdot(\mathbf a\times\mathbf b)-\mathbf b\cdot(\mathbf a\times\mathbf b)=0$。

改写为 $1/(1-x^2/4)$。由几何级数公式 $1/(1-u)=\sum_{n=0}^\infty u^n$（$|u|<1$），得到所求展开式。条件 $x^2/4<1$ 等价于 $|x|<2$；端点通项不趋零，均发散。

当 $x\to0$，$\sin2x=2x-\frac{(2x)^3}6+o(x^3)$，所以分子为 $\frac43x^2+o(x^2)$。分母中 $e^x-1\sim x$，$\arcsin x\sim x$，故分母等价于 $x^2$。比值得 $4/3$；必须保留正弦的三阶项，首阶项会相消。

$\tan x\sim x$，所以第一项除以 $x$ 等价于 $x^{b-1}$，趋零要求 $b>1$。又 $1-\cos2x\sim2x^2$，第二项除以 $x$ 等价于 $2^{1/b}x^{2/b-1}$；在 $b>1$ 下，趋零要求 $2/b-1>0$，即 $b<2$。交集为 $(1,2)$。