2000年考研数学三真题

答案： $yf_1'(xy,x/y)+\dfrac1y f_2'(xy,x/y)-\dfrac{y}{x^2}g'(y/x)$。

解题思路

这是多元复合函数的偏导数问题。求关于 $x$ 的偏导时，把 $y$ 当作常数，但每一个含 $x$ 的内层变量都需要求导。用 $f_1'$、$f_2'$ 分别表示 $f$ 对第一、第二个自变量的偏导数。

详细步骤

1. 设 $u=xy$、$v=x/y$、$w=y/x$。在题目表达式有定义的地方，$x\ne0$、$y\ne0$，并且

   $$\frac{\partial u}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=\frac1y,\qquad \frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}.$$

2. 对二元复合函数 $f(u,v)$ 使用链式法则：沿两个内层变量分别求导，再相加。

   $$\frac{\partial f(u,v)}{\partial x} =f_1'(u,v)\frac{\partial u}{\partial x} +f_2'(u,v)\frac{\partial v}{\partial x}.$$

3. 对一元复合函数 $g(w)$ 求导：

   $$\frac{\partial g(w)}{\partial x} =g'(w)\frac{\partial w}{\partial x}.$$

4. 把三个内层导数及 $u,v,w$ 代回，得到所求结果。

易错点

最后一项的内层是 $y/x$，而不是 $x/y$；因此它的导数带负号，分母为 $x^2$。不要只对 $f$ 的一个自变量求导。

答案： $\dfrac{\pi}{4e}$。

解题思路

分母中 $e^x$ 与 $e^{2-x}$ 的指数方向相反。先提取 $e$，再令 $t=e^{x-1}$，可以把它们化成 $t$ 与 $1/t$，从而得到反正切的基本积分。

详细步骤

1. 把分母写成

   $$e^x+e^{2-x}=e\left(e^{x-1}+e^{-(x-1)}\right).$$

2. 令 $t=e^{x-1}$，则 $\mathrm{d}t=t\,\mathrm{d}x$，即 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t/t$。当 $x=1$ 时 $t=1$；当 $x\to+\infty$ 时 $t\to+\infty$。
3. 在有限上限下完成换元后，再取极限：

   $$I=\frac1e\int_1^{+\infty}\frac{1}{t+1/t}\frac{\mathrm{d}t}{t} =\frac1e\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}.$$

4. 使用 $\int(1+t^2)^{-1}\,\mathrm{d}t=\arctan t+C$，得到

   $$I=\frac1e\lim_{R\to+\infty}\left(\arctan R-\arctan1\right) =\frac1e\left(\frac\pi2-\frac\pi4\right) =\frac{\pi}{4e}.$$

易错点

换元时既要改变积分上下限，也要改变 $\mathrm{d}x$。因子 $1/e$ 来自提取分母的 $e$，不能漏掉。

答案： $24$。

解题思路

相似矩阵具有相同的特征值。可逆矩阵的逆矩阵把特征值变成倒数，减去单位矩阵则把特征值减去 $1$。行列式等于所有特征值的乘积，因此无需求出矩阵的具体元素。

详细步骤

1. $A$ 与 $B$ 相似，所以 $B$ 的特征值仍为

   $$\frac12,\quad\frac13,\quad\frac14,\quad\frac15.$$

   它们都不为零，因此 $B$ 可逆。
2. 如果 $B\alpha=\lambda\alpha$、$\alpha\ne0$，两边左乘 $B^{-1}$ 得

   $$B^{-1}\alpha=\frac1\lambda\alpha.$$

   所以 $B^{-1}$ 的特征值为 $2,3,4,5$。
3. 单位矩阵满足 $E\alpha=\alpha$，故

   $$(B^{-1}-E)\alpha=\left(\frac1\lambda-1\right)\alpha.$$

   因而 $B^{-1}-E$ 的四个特征值为 $1,2,3,4$。
4. 四阶矩阵的行列式等于四个特征值的乘积：

   $$|B^{-1}-E|=1\cdot2\cdot3\cdot4=24.$$

易错点

一般没有 $|B^{-1}-E|=|B^{-1}|-|E|$ 这样的公式。这里处理的是特征值，再对特征值作乘积。

答案： $1\le k\le3$。

解题思路

连续型随机变量的概率是密度曲线下的面积。本题在 $[1,3]$ 之间没有概率质量，因此阈值在这段空隙中移动时，右侧尾概率不会改变。仍需检查空隙两侧，才能确定完整的取值范围。

详细步骤

1. 两个有概率质量的区间分别贡献

   $$P(0\le X\le1)=\int_0^1\frac13\,\mathrm{d}x=\frac13, \qquad P(3\le X\le6)=\int_3^6\frac29\,\mathrm{d}x=\frac23.$$

2. 当 $1\le k\le3$ 时，事件 $\{X\ge k\}$ 包含全部 $[3,6]$ 上的概率质量，而不包含 $[0,1]$ 内的正长度区间。因此尾概率恰为 $2/3$。
3. 若 $0<k<1$，尾概率还多出

   $$\int_k^1\frac13\,\mathrm{d}x=\frac{1-k}{3}>0,$$

   所以大于 $2/3$。若 $k\le0$，尾概率为 $1$。
4. 若 $3<k<6$，则

   $$P(X\ge k)=\int_k^6\frac29\,\mathrm{d}x=\frac{2(6-k)}9<\frac23.$$

   若 $k\ge6$，尾概率为零。

综上，符合条件的阈值恰好组成闭区间 $[1,3]$。

易错点

连续型变量在单个点上的概率为零，因此 $k=1$ 和 $k=3$ 都应包含，不能误写成开区间。

答案： $D(Y)=\dfrac89$。

解题思路

$Y$ 只取 $-1,0,1$ 三个值。先根据 $X$ 的均匀分布求出它们的概率，再用离散型变量的方差公式 $D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。

详细步骤

1. $X$ 在长度为 $3$ 的区间 $[-1,2]$ 上均匀分布，因此

   $$P(X>0)=\frac23,\qquad P(X<0)=\frac13.$$

   $X$ 是连续型变量，故 $P(X=0)=0$。
2. 由 $Y$ 的定义，得到分布：

   $$P(Y=1)=\frac23,\qquad P(Y=-1)=\frac13,\qquad P(Y=0)=0.$$

3. 计算数学期望：

   $$E(Y)=1\cdot\frac23+(-1)\cdot\frac13+0\cdot0=\frac13.$$

4. 计算平方的期望：

   $$E(Y^2)=1^2\cdot\frac23+(-1)^2\cdot\frac13=1.$$

   因而

   $$D(Y)=1-\left(\frac13\right)^2=\frac89.$$

易错点

虽然 $Y$ 的取值定义中有 $0$，它对应的概率却为零。计算 $E(Y^2)$ 时，$(-1)^2=1$，不能沿用 $E(Y)$ 中的负号。

答案：D。

解题思路

夹逼定理不仅要求上下界相差趋于零，还要求上下界趋向同一个确定的极限。本题只知道两者之间的距离越来越小，不知道上下界自身是否有极限。因此可以构造两个都满足条件、但结论不同的例子。

详细步骤

1. 取

   $$\varphi(x)=f(x)=g(x)=\sin x.$$

   此时 $\varphi\le f\le g$ 成立，而且 $g-\varphi\equiv0$，完全满足题设。
2. 然而 $\sin x$ 在 $x\to+\infty$ 时没有极限。例如沿 $x=2n\pi+\pi/2$ 的函数值为 $1$，沿 $x=2n\pi+3\pi/2$ 的函数值为 $-1$。这排除了“一定存在”的 A、B。
3. 再取 $\varphi(x)=f(x)=g(x)=1$，同样满足全部条件，而 $f(x)$ 的极限为 $1$。这排除了“一定不存在”的 C。
4. 条件既允许有极限，也允许无极限，因此应选 D，即“不一定存在”。

易错点

“上下界之差趋于零”与“上下界趋于同一个常数”是不同的条件。不能把前者直接代入夹逼定理。

答案：B。

解题思路

若 $f(a)\ne0$，连续性保证 $f$ 在 $a$ 附近保持同一符号，绝对值只会把 $f$ 变成 $f$ 或 $-f$，不会破坏可导性。真正需要检查的是 $f(a)=0$ 时左右差商是否相同。

详细步骤

1. 在选项 B 的条件下，记 $c=f'(a)\ne0$。由可导性，

   $$f(a+h)=ch+o(h)\qquad(h\to0).$$

2. 因为 $f(a)=0$，$|f|$ 在 $a$ 处的右导数为

   $$\lim_{h\to0^+}\frac{|f(a+h)|}{h} =\lim_{h\to0^+}|c+o(1)|=|c|.$$

3. 当 $h<0$ 时，$|h|=-h$，所以左导数为

   $$\lim_{h\to0^-}\frac{|f(a+h)|}{h} =-\lim_{h\to0^-}|c+o(1)|=-|c|.$$

   $c\ne0$ 使两侧导数不相等，故不可导。
4. 若选项 A 成立，则 $f(a+h)=o(h)$，绝对值的左右差商均趋于零，反而可导。C、D 中 $f(a)\ne0$，也不导致不可导。

易错点

判断尖点应计算左右导数。左侧差商的分母为负数，不能把左导数也写成 $|c|$。

答案：C。

解题思路

非齐次方程组的通解等于“一个特解加上对应齐次方程组的通解”。已知三个向量都是非齐次解，可用系数和为零的线性组合构造齐次解，再结合秩确定齐次解空间只有一个自由参数。

详细步骤

1. 由 $A\alpha_1=A\alpha_2=A\alpha_3=b$，有

   $$A(2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)=2b-b-b=0.$$

   因此 $\eta=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3$ 是齐次方程 $AX=0$ 的解。
2. 用题中给出的向量计算：

   $$\eta=2(1,2,3,4)^T-(0,1,2,3)^T=(2,3,4,5)^T\ne0.$$

3. 方程有四个未知数，而 $r(A)=3$，所以齐次解空间的维数为 $4-3=1$。任意一个非零齐次解都可作为基础解系，全部齐次解为 $c\eta$。
4. $\alpha_1$ 本身是非齐次方程的一个特解，故通解为

   $$X=(1,2,3,4)^T+c(2,3,4,5)^T,\qquad c\in\mathbb R.$$

   对应选项 C。

易错点

两个非齐次解相加一般不是齐次解；构造齐次解时，线性组合系数之和必须为零。

答案：A。

解题思路

要证明两个方程组同解，需要分别证明两个方向。关键在于 $A$ 是实矩阵，$X^TA^TAX=(AX)^T(AX)$ 是各分量平方之和，只有当 $AX=0$ 时才等于零。

详细步骤

1. 若 $AX=0$，在等式左侧乘 $A^T$，立即得到 $A^TAX=0$。所以方程组（Ⅰ）的每个解都是（Ⅱ）的解。
2. 反过来，设 $A^TAX=0$。在等式左侧乘 $X^T$：

   $$X^TA^TAX=0.$$

3. 记 $AX=(z_1,\ldots,z_n)^T$。因为各 $z_i$ 都是实数，

   $$X^TA^TAX=(AX)^T(AX)=z_1^2+\cdots+z_n^2=0.$$

   每一项均非负，因此所有 $z_i$ 都为零，即 $AX=0$。
4. 两个方向均成立，两个方程组的解集相同，故选择 A。

易错点

不能从 $A^TAX=0$ 中直接“约掉” $A^T$，因为 $A^T$ 未必可逆。本题的正确依据是平方和的非负性。

答案：C。

解题思路

先把温度由小到大排序，再判断“至少两个达到阈值”对应哪一个次序统计量。四个温度中第二大的量是 $T_{(3)}$，而不是下标为 $2$ 的 $T_{(2)}$。

详细步骤

1. 排序关系为

   $$T_{(1)}\le T_{(2)}\le T_{(3)}\le T_{(4)}.$$

2. 若 $T_{(3)}\ge t_0$，则 $T_{(4)}\ge T_{(3)}\ge t_0$。这保证至少两个温控器显示温度不低于阈值，电炉断电。
3. 若至少有两个温度不低于 $t_0$，它们必然占据排序后的最大两个位置。因此第二大的 $T_{(3)}$ 不可能低于 $t_0$。
4. 两个方向结合，得到

   $$E=\{T_{(3)}\ge t_0\},$$

   对应选项 C。$T_{(4)}\ge t_0$ 只能保证至少一个达标，条件过弱；$T_{(2)}\ge t_0$ 保证至少三个达标，条件过强。

易错点

下标是递增排序后的编号。允许恰好等于阈值，所以不能把 $\ge$ 改成 $>$。

答案： $y=\dfrac34+\left(\dfrac14+\dfrac{x}{2}\right)e^{2x}$。

解题思路

把方程写成 $y''-2y'=e^{2x}$。这是二阶常系数非齐次线性方程，先解齐次方程，再找一个特解，最后用两个初始条件确定常数。右端的指数 $e^{2x}$ 已属于齐次解，因此试探特解需要多乘一个 $x$。

详细步骤

1. 齐次方程的特征方程是

   $$r^2-2r=r(r-2)=0.$$

   两个根为 $0,2$，所以齐次通解为 $y_h=C_1+C_2e^{2x}$。
2. 因为 $2$ 是单重特征根，设特解 $y_p=axe^{2x}$。计算

   $$y_p'=a(1+2x)e^{2x},\qquad y_p''=a(4+4x)e^{2x}.$$

   于是 $y_p''-2y_p'=2ae^{2x}$。与右端比较得 $a=1/2$。
3. 全部解为

   $$y=C_1+C_2e^{2x}+\frac{x}{2}e^{2x}, \qquad y'=\left(2C_2+\frac12+x\right)e^{2x}.$$

4. 代入 $y'(0)=1$ 得 $2C_2+1/2=1$，所以 $C_2=1/4$；代入 $y(0)=1$ 得 $C_1+C_2=1$，所以 $C_1=3/4$。

代回原方程及两个初始条件，可检查所得函数满足全部要求。

易错点

直接设特解 $ae^{2x}$ 会使左端恒为零，无法得到右端；遇到与齐次解重复的试探项，要根据重复次数乘上相应的 $x$。

答案： $a^2\left(\dfrac{\pi^2}{16}-\dfrac12\right)$。

解题思路

被积函数只通过 $x^2+y^2$ 出现，圆弧边界也便于改写成极坐标。先确定区域的位置和边界，再记得乘上面积元中的 $r$。

详细步骤

1. 曲线满足

   $$x^2+(y+a)^2=a^2,\qquad y\ge-a.$$

   与 $y=-x$ 联立，交点为 $(0,0)$ 和 $(a,-a)$。所围区域位于第四象限、直线与圆弧之间。
2. 令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$。直线对应 $\theta=-\pi/4$，从原点向右的切线方向为 $\theta=0$。圆的方程成为

   $$r^2+2ar\sin\theta=0.$$

   除原点外，圆弧对应 $r=-2a\sin\theta$。因此

   $$-\frac\pi4\le\theta\le0,\qquad 0\le r\le-2a\sin\theta.$$

3. 由于 $\mathrm{d}\sigma=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$，

   $$I=\int_{-\pi/4}^{0}\int_0^{-2a\sin\theta} \frac{r^2}{\sqrt{4a^2-r^2}}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.$$

4. 内积分令 $r=2a\sin t$。在本区域 $0\le t\le-\theta\le\pi/4$，所以 $\cos t>0$，平方根等于 $2a\cos t$。内积分化为

   $$4a^2\int_0^{-\theta}\sin^2t\,\mathrm{d}t =\left[2a^2t-a^2\sin2t\right]_0^{-\theta} =-2a^2\theta+a^2\sin2\theta.$$

5. 最后计算

   $$I=\left[-a^2\theta^2-\frac{a^2}{2}\cos2\theta\right]_{-\pi/4}^{0} =a^2\left(\frac{\pi^2}{16}-\frac12\right).$$

易错点

极坐标面积元带有额外的 $r$，因此分子变成 $r^2$。圆心不在原点，径向上限随 $\theta$ 变化，不能把区域写成固定半径的扇形。

答案： 差别定价时 $Q_1=4,Q_2=5,P_1=10,P_2=7$，最大利润 $52$ 万元；统一定价时 $P=8,Q_1=5,Q_2=4$，最大利润 $49$ 万元。

解题思路

利润等于两个市场的总收入减去总成本。差别定价允许分别调整两个销量；统一定价则用同一个价格 $P$ 表示两个销量。统一价格较高时第二市场不再购买，所以还必须检查只有第一市场销售的情形。

详细步骤

1. 差别定价下，利润为

   $$L=(18-2Q_1)Q_1+(12-Q_2)Q_2-[2(Q_1+Q_2)+5] =-2Q_1^2-Q_2^2+16Q_1+10Q_2-5.$$

   配方可直接看出全局最大值：

   $$L=52-2(Q_1-4)^2-(Q_2-5)^2.$$

   两个销量均非负，故最大值在 $Q_1=4,Q_2=5$ 取得。价格分别为 $18-2\cdot4=10$、$12-5=7$。
2. 当统一价格满足 $0\le P\le12$ 时，两市场均有非负需求：

   $$Q_1=\frac{18-P}{2},\qquad Q_2=12-P,\qquad Q=21-\frac32P.$$

   利润为

   $$L(P)=(P-2)\left(21-\frac32P\right)-5 =49-\frac32(P-8)^2.$$

   所以这段价格范围内最大利润为 $49$，在 $P=8$ 取得，销量为 $Q_1=5,Q_2=4$。
3. 若 $12<P\le18$，第二市场的实际销量为零，不能沿用负数需求。此时

   $$L(P)=(P-2)\frac{18-P}{2}-5 =-\frac12P^2+10P-23.$$

   其导数 $10-P<0$，在该段递减，利润不超过边界 $P=12$ 时的 $25$。$P>18$ 时无销量，也不可能超过 $49$。
4. 因而统一价格的全局最大利润确为 $49$，差别定价比统一定价多获利 $52-49=3$ 万元。

易错点

成本中的销量是 $Q_1+Q_2$，固定成本 $5$ 只扣一次。统一定价时不能允许某市场出现负销量。

答案： 在 $(-\infty,-1)$、$(0,+\infty)$ 递增，在 $(-1,0)$ 递减；极大值为 $-2e^{\pi/4}$，极小值为 $-e^{\pi/2}$。两条斜渐近线分别为 $y=e^\pi(x-2)$（$x\to+\infty$）和 $y=x-2$（$x\to-\infty$）。

解题思路

单调性由导数的符号判断。判断斜渐近线 $y=kx+b$ 时，应分别求两个方向上的 $k=\lim y/x$ 和 $b=\lim(y-kx)$；两端的反正切极限不同，不能只计算一个方向。

详细步骤

1. 对 $y=(x-1)e^{\pi/2+\arctan x}$ 使用乘积求导：

   $$y'=e^{\pi/2+\arctan x}\left(1+\frac{x-1}{1+x^2}\right) =e^{\pi/2+\arctan x}\frac{x(x+1)}{1+x^2}.$$

   指数及分母恒正，导数符号只由 $x(x+1)$ 决定。
2. $x<-1$ 时导数为正，$-1<x<0$ 时为负，$x>0$ 时为正。因此 $x=-1$ 为极大值点，$x=0$ 为极小值点。代入原函数得

   $$y(-1)=-2e^{\pi/4},\qquad y(0)=-e^{\pi/2}.$$

3. 当 $x\to+\infty$，

   $$\arctan x=\frac\pi2-\frac1x+o(1/x).$$

   再用 $e^u=1+u+o(u)$，得到

   $$y=e^\pi(x-1)\left(1-\frac1x+o(1/x)\right) =e^\pi(x-2)+o(1).$$

   故右端斜渐近线为 $y=e^\pi(x-2)$。
4. 当 $x\to-\infty$，

   $$\arctan x=-\frac\pi2-\frac1x+o(1/x),$$

   同理得到 $y=(x-1)(1-1/x+o(1/x))=x-2+o(1)$，左端斜渐近线为 $y=x-2$。
5. 函数在整个实轴都有定义且连续，没有有限点处的铅直渐近线；两端函数值均无有限极限，因而也没有水平渐近线。

易错点

导数由正变负对应极大值，由负变正对应极小值。斜渐近线的截距不能只把 $(x-1)$ 中的 $-1$ 拿出来，还要计入指数因子的下一阶项。

答案： $\ln(2+\sqrt2)$。

解题思路

被积式含 $\sin^n x\cos x\,\mathrm{d}x$，正好可以令 $t=\sin x$。先求出每个 $I_n$，再识别为对数函数的幂级数。

详细步骤

1. 令 $t=\sin x$，则 $\mathrm{d}t=\cos x\,\mathrm{d}x$。上下限由 $0,\pi/4$ 变为 $0,1/\sqrt2$，于是

   $$I_n=\int_0^{1/\sqrt2}t^n\,\mathrm{d}t =\frac{(1/\sqrt2)^{n+1}}{n+1}.$$

2. 记 $q=1/\sqrt2$，把指标 $k=n+1$ 代入：

   $$\sum_{n=0}^{\infty}I_n=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{q^k}{k}.$$

3. 在 $|t|<1$ 内，几何级数给出 $(1-t)^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}t^j$。在 $[0,q]$ 上可逐项积分，故

   $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{q^k}{k} =\int_0^q\frac{\mathrm{d}t}{1-t} =-\ln(1-q).$$

4. 因为

   $$\frac1{1-1/\sqrt2}=2+\sqrt2,$$

   所以结果为 $\ln(2+\sqrt2)$。

易错点

求和指标从 $n=0$ 开始，换成 $k=n+1$ 后从 $k=1$ 开始。对数展开中的收敛条件 $|q|<1$ 在本题成立。

结论： $(0,\pi)$ 内至少有两个不同的零点。

解题思路

两个积分条件意味着 $f$ 同时与常数函数和 $\cos x$ 的加权积分为零。反证法假设只有一个零点，再利用 $\cos x$ 严格递减，构造一个始终同号的连续函数；它的积分不可能为零，从而得到矛盾。

详细步骤

1. 若 $f\equiv0$，区间内每一点都是零点，结论成立。若内点零点已经有两个或更多，也无需证明。只需排除内点至多一个零点的情形。
2. 由连续性及 $\int_0^\pi f(x)\,\mathrm{d}x=0$，非零的 $f$ 必须既取正值又取负值。否则若 $f\ge0$ 且某处非零，连续性保证一个小区间上 $f>0$，其积分就大于零；$f\le0$ 同理。
3. 因此至少有一个内点零点。若只有一个，记为 $c$。在 $(0,c)$ 与 $(c,\pi)$ 上，连续且无零点的 $f$ 各自保持固定符号，且两侧符号相反。
4. $\cos x$ 在 $[0,\pi]$ 上严格递减，所以 $\cos x-\cos c$ 在 $c$ 左侧为正，右侧为负。于是

   $$h(x)=(\cos x-\cos c)f(x)$$

   在两个开区间上都为正，或者都为负，且不恒为零。因此 $\int_0^\pi h(x)\,\mathrm{d}x\ne0$。
5. 另一方面，两个题设积分给出

   $$\int_0^\pi h(x)\,\mathrm{d}x =\int_0^\pi f(x)\cos x\,\mathrm{d}x -\cos c\int_0^\pi f(x)\,\mathrm{d}x=0,$$

   矛盾。故内点零点不可能只有一个。

易错点

题目只假设 $f$ 连续，不能随意对 $f$ 求导或使用需要可导性的中值定理。连续同号且不恒为零的函数，其积分有严格的正负号。