2020年考研数学三真题

答案：B。 极限为 $b\cos a$。

解题思路： 已知的是 $f(x)$ 趋于 $a$ 的速度，并没有要求 $f(a)=a$。应先从有限极限推出 $f(x)\to a$，再利用正弦函数在 $a$ 处的一阶变化率。用中值定理可以避免在 $f(x)-a=0$ 时出现额外除法。

详细步骤： 记 $R(x)=[f(x)-a]/(x-a)$，则 $R(x)\to b$，所以 $f(x)-a=(x-a)R(x)\to0$，即 $f(x)\to a$。对任意附近的 $x$，由正弦的拉格朗日中值定理，存在介于 $a$ 与 $f(x)$ 之间的 $c_x$，使

$$\sin f(x)-\sin a=\cos c_x\,[f(x)-a].$$

若 $f(x)=a$，取 $c_x=a$ 也满足等式。因为两端都趋于 $a$，$c_x\to a$，于是

$$\frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=\cos c_x\,R(x)\longrightarrow b\cos a.$$

这个推导只使用去心邻域中的函数值，不依赖 $f(a)$。因此含 $f(a)$ 的选项不能由已知条件保证。

易错点： 条件不能推出 $f(a)=a$，也不能直接认定 $f'(a)=b$；利用的是正弦在极限值 $a$ 处的导数。

答案：C。 第二类间断点共 $3$ 个：$-1,1,2$。

解题思路： 先找表达式无定义的位置，再逐一检查单侧极限。两个单侧极限都为有限值时属于第一类；至少一侧无穷或不存在有限极限时属于第二类。分母为零并不必然是第二类，还可能与分子相消成为可去间断点。

详细步骤： 候选点为 $x=-1,0,1,2$，其余点函数连续。

在 $x=0$，$\ln(1+x)\sim x$、$e^x-1\sim x$，且 $e^{1/(x-1)}\to e^{-1}$、$x-2\to-2$，所以函数极限为 $-1/(2e)$，是可去间断点，不计入第二类。

在 $x=-1$，$\ln|1+x|\to-\infty$，其他因子趋于有限非零值，所以函数无界，是第二类。

在 $x=1$，右侧 $e^{1/(x-1)}\to+\infty$，而 $\ln|1+x|\to\ln2\ne0$，分母趋于 $-(e-1)\ne0$，函数趋于负无穷；左侧指数趋于零。至少右极限不是有限值，故也是第二类。

在 $x=2$，除 $(x-2)$ 外所有因子都趋于有限非零值，表现为非零常数除以 $x-2$，单侧极限无穷，是第二类。合计 $3$ 个。

易错点： 零点处必须比较分子、分母消失的速度；左右单侧极限一侧有限、一侧无穷，仍是第二类间断点。

答案：A。

解题思路： 先判断被积函数的奇偶性，再使用“偶函数从零积分得到奇函数”的性质。奇函数的导数是偶函数，而余弦是偶函数，因此 $\cos f(t)$ 也是偶函数。

详细步骤： 由 $f(-t)=-f(t)$，对 $t$ 求导得 $-f'(-t)=-f'(t)$，所以 $f'(-t)=f'(t)$。又

$$\cos f(-t)=\cos[-f(t)]=\cos f(t).$$

因此 $h(t)=\cos f(t)+f'(t)$ 为偶函数。令 $H(x)=\int_0^xh(t)\,\mathrm dt$，对 $H(-x)$ 作换元 $t=-u$，得到

$$H(-x)=\int_0^{-x}h(t)\,\mathrm dt=-\int_0^xh(-u)\,\mathrm du=-H(x),$$

所以 A 中函数为奇函数。

另一组被积函数 $\cos f'(t)+f(t)$ 一般是一个偶函数与一个奇函数的和，不能保证为奇或偶。例如取 $f(t)=t$，其从零积分为 $x\cos1+x^2/2$，同时含非零奇、偶部分。因此 C、D 没有普遍保证；A 则对题设所有函数都成立。

易错点： 从零积分会交换纯奇、纯偶函数的奇偶性；奇函数的导数为偶函数，不是仍为奇函数。

答案：B。 收敛开区间为 $(-3,1)$；端点敛散性不能由题设唯一确定。

解题思路： 原级数中心为 $2$，半径为 $4$。系数多一个因子 $n$ 不影响收敛半径。新级数是以 $u=(x+1)^2$ 为变量的幂级数，把 $|u|<4$ 转回 $x$ 即可，最后把端点与开区间区分。

详细步骤： 原级数半径为 $R=4$，所以

$$\limsup_{n\to\infty}|na_n|^{1/n}=\frac14.$$

由于 $n^{1/n}\to1$，去掉 $n$ 不改变上极限，故 $\sum a_nu^n$ 的半径也为 $4$。新变量 $u=(x+1)^2\ge0$，内部收敛条件为 $(x+1)^2<4$，即 $|x+1|<2$，解得 $-3<x<1$。

当 $x=-3$ 或 $x=1$ 时，均对应 $u=4$，需要判断 $\sum a_n4^n$。原级数在半径端点不收敛，并不能推出去掉 $n$ 后仍不收敛。例如偶数 $n$ 时取 $a_n=4^{-n}/n^2$、奇数 $n$ 时取 $a_n=0$：原级数在正、负端点都变成偶数项调和级数，均发散；新端点级数却是偶数项平方倒数级数，收敛。因此 B 表示收敛开区间，完整收敛域是否包含端点仍须另检验。

易错点： 平方替换后应解 $|x+1|<2$；半径不变不意味着端点敛散性也不变。

答案：C。 $X=k_1\alpha_1+k_2\alpha_3+k_3\alpha_4$。

解题思路： 利用非零余子式确定矩阵秩，再由伴随矩阵性质确定齐次方程的解空间维数。最后找出 $A$ 中三个线性无关的列向量，它们通过 $A^*A=O$ 自动成为解空间的一组基。

详细步骤： $A$ 不可逆，故 $|A|=0$、$r(A)\le3$。$A_{12}\ne0$ 表示删除第 $1$ 行、第 $2$ 列后得到的三阶子式非零，所以 $r(A)\ge3$，最终 $r(A)=3$。该子式选用了第 $1,3,4$ 列，因此 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关。

伴随矩阵恒等式给出 $A^*A=|A|E=O$，所以 $A^*\alpha_i=0$，$A$ 的每一列都是方程 $A^*X=0$ 的解。因四阶矩阵 $r(A)=3$，伴随矩阵秩为 $1$，零空间维数为 $4-1=3$。已有三个无关的解 $\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$，它们必构成基础解系，任意解都是这三列的任意线性组合。

易错点： $A_{12}$ 删除的是第 $1$ 行、第 $2$ 列，所以保留的列是 $1,3,4$；伴随矩阵转置排列不会改变这个非零子式的含义。

答案：D。 $P=(\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3,\alpha_2)$。

解题思路： $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,-1,1)$ 等价于 $AP=P\operatorname{diag}(1,-1,1)$，说明 $P$ 三列必须依次对应特征值 $1,-1,1$。同一特征值的线性组合仍在其特征空间内，不同特征值的混合通常不是特征向量。

详细步骤： 题设有 $A\alpha_1=\alpha_1$、$A\alpha_2=\alpha_2$、$A\alpha_3=-\alpha_3$。因此

$$A(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2,\qquad A(-\alpha_3)=\alpha_3=-(-\alpha_3),\qquad A\alpha_2=\alpha_2.$$

D 的三列恰好符合要求。还要证明 $P$ 可逆：若 $c_1(\alpha_1+\alpha_2)+c_2(-\alpha_3)+c_3\alpha_2=0$，则 $c_1\alpha_1+(c_1+c_3)\alpha_2-c_2\alpha_3=0$。$\alpha_1,\alpha_2$ 在特征值 $1$ 的空间内无关，$\alpha_3$ 对应不同特征值，因此三者无关，推出 $c_1=c_2=c_3=0$。

其他选项中，$\alpha_1+\alpha_3$ 不满足特征值 $1$ 的条件，或第三列 $-\alpha_3$ 与要求的特征值 $1$ 不匹配，因此不能满足指定的对角顺序。

易错点： 只检验列向量是某个特征向量还不够，特征值顺序必须匹配；同一特征空间中的两列仍需线性无关。

答案：D。 恰有一个事件发生的概率为 $5/12$。

解题思路： 将恰有一个事件发生拆成三个互斥事件：只发生 $A$、只发生 $B$、只发生 $C$。各项用容斥公式计算。由于三事件交集包含在 $AB$ 中，其概率为零，可以简化结果。

详细步骤： 由 $ABC\subseteq AB$ 和 $P(AB)=0$，得 $P(ABC)=0$。只发生 $A$ 的概率为

$$P(A\bar B\bar C)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)=\frac14-\frac1{12}=\frac16.$$

只发生 $B$ 同样为 $1/6$。只发生 $C$ 的概率为

$$P(\bar A\bar BC)=P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =\frac14-\frac1{12}-\frac1{12}=\frac1{12}.$$

三个“只发生”事件互斥，相加得到 $1/6+1/6+1/12=5/12$。也可合并成通用公式

$$P(\text{恰一个})=P(A)+P(B)+P(C)-2[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+3P(ABC).$$

这里减去交集两次，是因为初始单事件和把恰好发生两个事件的情况计了两次，而目标要求它贡献零。

易错点： 恰有一个不是至少一个，普通三事件并集公式不能直接套用；概率为零不等于事件集合必为空，但足以完成概率计算。

答案：C。 $(X+Y)/\sqrt3$。

解题思路： 二维正态变量的线性组合仍为正态，而且线性组合与 $X$ 组成联合正态向量。不相关就能推出独立。先找协方差为零的和或差，再按其方差标准化。

详细步骤： 参数给出 $EX=EY=0$、$DX=1$、$DY=4$，相关系数为 $-1/2$，故

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{DX}\sqrt{DY}=-\frac12\cdot1\cdot2=-1.$$

因此 $\operatorname{Cov}(X,X+Y)=DX+\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，而 $\operatorname{Cov}(X,X-Y)=DX-\operatorname{Cov}(X,Y)=2\ne0$，所以应选和，排除 B、D。

$X+Y$ 正态，均值为零，方差为

$$D(X+Y)=DX+DY+2\operatorname{Cov}(X,Y)=1+4-2=3.$$

除以标准差 $\sqrt3$ 后为标准正态，排除除以 $\sqrt5$ 的 A。又 $(X,X+Y)$ 联合正态且协方差为零，所以独立，常数缩放后也仍与 $X$ 独立。

易错点： 参数中的 $4$ 是方差，标准差是 $2$；“不相关推出独立”在这里成立依赖联合正态条件。

答案：$(\pi-1)\,\mathrm dx-\mathrm dy$。

解题思路： 全微分由两个偏导构成。先把反正切内部记成 $u(x,y)$，求出 $u$ 在指定点的值及两个偏导，再使用 $\mathrm d(\arctan u)=\mathrm du/(1+u^2)$。这样可避免在展开的复杂式中直接代点。

详细步骤： 记 $u=xy+\sin(x+y)$，则

$$u_x=y+\cos(x+y),\qquad u_y=x+\cos(x+y).$$

在 $(0,\pi)$ 处，$u=\sin\pi=0$、$u_x=\pi+\cos\pi=\pi-1$、$u_y=\cos\pi=-1$。由链式法则，$z_x=u_x/(1+u^2)$、$z_y=u_y/(1+u^2)$，所以

$$\left.\mathrm dz\right|_{(0,\pi)} =\left.z_x\right|_{(0,\pi)}\mathrm dx+\left.z_y\right|_{(0,\pi)}\mathrm dy =(\pi-1)\mathrm dx-\mathrm dy.$$

这里是在指定点取偏导系数，而 $\mathrm dx,\mathrm dy$ 仍表示两个独立的小增量，不能代成坐标值 $0,\pi$。

易错点： $\cos(x+y)$ 在指定点为 $-1$；全微分求的是线性增量表达式，不能把 $\mathrm dx,\mathrm dy$ 当作 $x,y$ 本身。

答案：$y=x-1$。

解题思路： 曲线以隐式方程给出，先确认目标点在曲线上，再求隐函数导数得到切线斜率。若 $F_y\ne0$，可以在该点附近把 $y$ 看作 $x$ 的可微函数，斜率为 $-F_x/F_y$。

详细步骤： 记 $F(x,y)=x+y+e^{2xy}$。在 $(0,-1)$ 处，$F=0-1+1=0$，所以点在曲线上。两个偏导为

$$F_x=1+2ye^{2xy},\qquad F_y=1+2xe^{2xy}.$$

代入指定点，$F_x=-1$、$F_y=1\ne0$，因此隐函数存在且可导，

$$y'(0)=-\frac{F_x(0,-1)}{F_y(0,-1)}=1.$$

切线经过 $(0,-1)$，点斜式为 $y-(-1)=1(x-0)$，整理得到 $y=x-1$。也可将隐式全微分写成 $F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy=0$，在该点得到 $-\mathrm dx+\mathrm dy=0$，同样说明斜率为 $1$。

易错点： 对 $e^{2xy(x)}$ 求导时指数导数为 $2y+2xy'$，不能漏掉 $y$ 随 $x$ 变化的部分；切线常数项由给定点决定。

答案：产量 $Q=8$。

解题思路： 利润等于收入减成本。需求式给的是价格与产量的关系，先反解价格 $p(Q)$，再把收入写成 $p(Q)Q$。最后在可行产量范围内求最大值，并检查驻点确实给出全局最大利润。

详细步骤： 从 $Q+2=800/(p+3)$，解得 $p=800/(Q+2)-3$。利润为

$$\Pi(Q)=pQ-C(Q)=\frac{800Q}{Q+2}-16Q-100.$$

对 $Q$ 求导，用 $Q/(Q+2)=1-2/(Q+2)$，得到

$$\Pi'(Q)=\frac{1600}{(Q+2)^2}-16.$$

令导数为零得 $(Q+2)^2=100$。产量 $Q\ge0$，因此 $Q+2>0$，应取 $Q+2=10$，即 $Q=8$，不能取负根。二阶导数 $\Pi''(Q)=-3200/(Q+2)^3<0$，说明利润严格凹；也可看出 $Q<8$ 时递增、$Q>8$ 时递减，所以驻点为最大值点。若另要求价格非负，$Q\le800/3-2$，$Q=8$ 仍处于可行区间，其单价为 $77$。

易错点： 单价随产量变化，收入不是常数 $p$ 乘 $Q$ 后只对 $Q$ 求简单导数；必须舍去负产量根。

答案：$2\pi(5/6-\ln2)$。

解题思路： 区域用 $x$ 范围和上下曲线给出，绕 $y$ 轴旋转适合柱壳法：半径为 $x$，壳高为上曲线减下曲线，体积微元为 $2\pi x\times\text{高度}\times\mathrm dx$。这样无需反解两条曲线并分段。

详细步骤： 对 $0\le x\le1$，高度为 $1/(1+x)-x/2$。它非负，因为差的分子为 $2-x-x^2=(1-x)(x+2)\ge0$，所以区域描述合法。绕轴后薄竖条形成柱壳，得到

$$V=2\pi\int_0^1x\left(\frac1{1+x}-\frac x2\right)\mathrm dx.$$

分开计算。由 $x/(1+x)=1-1/(1+x)$，

$$\int_0^1\frac x{1+x}\,\mathrm dx=[x-\ln(1+x)]_0^1=1-\ln2,$$

$$\int_0^1\frac{x^2}2\,\mathrm dx=\frac16.$$

因此 $V=2\pi[(1-\ln2)-1/6]=2\pi(5/6-\ln2)$。由于 $\ln2<5/6$，体积为正，与几何意义一致。

易错点： 绕 $y$ 轴使用柱壳时必须乘半径 $x$；不能直接把上、下曲线平方当作圆盘半径，因为它们是高度而非横向距离。

答案：$a^2(a^2-4)$。

解题思路： 矩阵是 $aE+C$，其中常矩阵 $C$ 有明显的对称结构。找四个线性无关的简单特征向量，得到特征值，再把 $a$ 加到每个特征值上。行列式是四个特征值的乘积，不需要繁琐展开四阶行列式。

详细步骤： 取

$$C=\begin{pmatrix}0&0&-1&1\\0&0&1&-1\\-1&1&0&0\\1&-1&0&0\end{pmatrix}.$$

对 $v_1=(1,1,0,0)^{\mathsf T}$、$v_2=(0,0,1,1)^{\mathsf T}$，直接相乘有 $Cv_1=Cv_2=0$。对 $v_3=(1,-1,1,-1)^{\mathsf T}$，相乘得 $(-2,2,-2,2)^{\mathsf T}=-2v_3$；对 $v_4=(1,-1,-1,1)^{\mathsf T}$，相乘得 $(2,-2,-2,2)^{\mathsf T}=2v_4$。

这四个非零向量两两正交，故线性无关，构成整个四维空间的基。因此 $C$ 的特征值为 $0,0,-2,2$，$aE+C$ 的特征值为 $a,a,a-2,a+2$，行列式为 $a\cdot a\cdot(a-2)(a+2)=a^2(a^2-4)$。推导没有除以 $a$，所以 $a=0$ 时也适用。

易错点： 给出少于四个独立方向不能确认四阶矩阵的完整特征值；对角加 $aE$ 是所有特征值加 $a$。

答案：$8/7$。

解题思路： 余数只可能为 $0,1,2$，分别把原分布中同一余数类的概率相加。每类相隔三个整数，因此形成公比为 $1/8$ 的等比级数。求出余数分布后按 $EY=\sum yP(Y=y)$ 计算。

详细步骤： 余数为 $1$ 对应 $X=1,4,7,\ldots$，所以

$$P(Y=1)=\sum_{j=0}^\infty2^{-(3j+1)}=\frac{1/2}{1-1/8}=\frac47.$$

余数为 $2$ 对应 $X=2,5,8,\ldots$，故 $P(Y=2)=(1/4)/(1-1/8)=2/7$。余数为 $0$ 对应 $X=3,6,9,\ldots$，注意 $X$ 不取零，故 $P(Y=0)=(1/8)/(1-1/8)=1/7$。三项相加为 $1$，分布归一化正确。

因此

$$EY=0\cdot\frac17+1\cdot\frac47+2\cdot\frac27=\frac87.$$

结果位于余数取值范围 $[0,2]$ 中。它与 $EX$ 的关系不能通过“对期望取余数”得到，必须先确定 $Y$ 的概率分布。

易错点： 余数为零的首项是 $X=3$，不是 $X=0$；期望计算中 $Y=2$ 的概率要乘 $2$。

答案：$a=1,b=-e/2$。

解题思路： 幂与指数同时出现时先取对数，找出 $n\ln(1+1/n)$ 与 $1$ 的差，再指数还原。目标是等价无穷小，不仅要知道趋于零，还要保留第一个非零主项及其符号。

详细步骤： 用 $\ln(1+u)=u-u^2/2+u^3/3+O(u^4)$，取 $u=1/n$，得

$$n\ln(1+1/n)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}+O(n^{-3}).$$

令 $\delta_n=-1/(2n)+O(n^{-2})$，则

$$(1+1/n)^n=e^{1+\delta_n}=e\,e^{\delta_n}.$$

由于 $e^u-1=u+O(u^2)$，

$$(1+1/n)^n-e=e(e^{\delta_n}-1)=-\frac e{2n}+O(n^{-2}).$$

因此该差的等价无穷小为 $-e/(2n)$。若它与 $b/n^a$ 等价，且 $b\ne0$，两者比值为 $[-e/(2b)]n^{a-1}(1+O(1/n))$，要趋于 $1$，先必须 $a-1=0$，再必须 $-e/(2b)=1$，所以 $a=1,b=-e/2$。

易错点： 不能只用 $(1+1/n)^n\to e$，它不能给出差的阶；该序列从下方趋于 $e$，主项应为负。

答案： 在 $(1/6,1/12)$ 取得局部极小值 $-1/216$，无局部极大值；原点为鞍点。

解题思路： 函数是整个平面上的多项式，先解驻点方程，再用二阶偏导判别。非线性方程组可先由一个方程表示 $y$，代入另一个，分离出零解与非零解。

详细步骤： 一阶偏导为 $f_x=3x^2-y$、$f_y=24y^2-x$。驻点满足 $y=3x^2$、$x=24y^2$，代入得到 $x=216x^4$，即 $x(216x^3-1)=0$。所以 $x=0$ 或 $x=1/6$，分别给出驻点 $(0,0)$、$(1/6,1/12)$。

二阶偏导为 $f_{xx}=6x$、$f_{xy}=-1$、$f_{yy}=48y$，判别式为

$$\Delta=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=288xy-1.$$

在原点，$\Delta=-1<0$，所以为鞍点。在 $(1/6,1/12)$，$f_{xx}=1$、$f_{yy}=4$，故 $\Delta=4-1=3>0$ 且 $f_{xx}>0$，是严格局部极小值点。其值为

$$f(1/6,1/12)=\frac1{216}+\frac8{1728}-\frac1{72} =\frac1{216}+\frac1{216}-\frac3{216}=-\frac1{216}.$$

所有驻点已检查，没有局部极大值点。沿 $y=0$，$f(x,0)=x^3$ 在两端分别趋于正、负无穷，所以该局部极小值也不是全局最小值。

易错点： $f_{xx}f_{yy}$ 的系数为 $6\cdot48=288$；函数值代入时应逐项通分，避免分母误算。

答案： $f(x)=e^{-x}\cos2x$；$\sum_{n=1}^\infty a_n=1/[5(e^\pi-1)]$。

解题思路： 先由常系数方程和初值求出函数，再求其反常积分。下限为 $n\pi$ 使三角函数值简化，所得 $a_n$ 形成等比数列，最后直接求和。

详细步骤：

（1）特征方程 $r^2+2r+5=0$ 的根为 $-1\pm2i$，所以 $f=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。由 $f(0)=1$ 得 $C_1=1$；求导后 $f'(0)=-C_1+2C_2=-1$，得 $C_2=0$。

（2）先求原函数。记 $I=\int e^{-x}\cos2x\,\mathrm dx$、$J=\int e^{-x}\sin2x\,\mathrm dx$，分部积分得 $I=-e^{-x}\cos2x-2J$、$J=-e^{-x}\sin2x+2I$。代入并解出 $5I=-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x$，故

$$\int e^{-x}\cos2x\,\mathrm dx=\frac{e^{-x}}5(-\cos2x+2\sin2x)+C.$$

指数衰减且三角函数有界，原函数在无穷远趋于零。于是

$$a_n=\left[\frac{e^{-x}}5(-\cos2x+2\sin2x)\right]_{n\pi}^{\infty} =\frac{e^{-n\pi}}5,$$

因为 $\cos2n\pi=1$、$\sin2n\pi=0$。公比 $e^{-\pi}<1$，所以

$$\sum_{n=1}^\infty a_n=\frac15\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}=\frac1{5(e^\pi-1)}.$$

易错点： 定积分为上端零减下端负值，所以 $a_n>0$；级数从 $n=1$ 开始，首项为 $e^{-\pi}/5$。