2019年考研数学三真题

答案：C，即 $k=3$。

解题思路

同阶无穷小要求比值趋于一个非零有限常数。$x$ 与 $\tan x$ 的一次项相同，相减后这一主导项抵消，需要保留三次项。不能只使用 $\tan x\sim x$，因为等价替换在两个主导项相减时可能丢掉真正决定结果的高阶项。

详细步骤

在零点使用三阶展开，

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

利用 $1/(1-u)=1+u+o(u)$，得到

$$\begin{aligned} \tan x&=\frac{\sin x}{\cos x}\\ &=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right) \left(1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)\\ &=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3). \end{aligned}$$

因此 $x-\tan x=-x^3/3+o(x^3)$。除以 $x^3$ 得比值趋于 $-1/3$，它非零且有限，所以与 $x^3$ 同阶。当 $k=1,2$ 时，比值趋于零；当 $k=4$ 时，比值无界，均不符合定义。

这里负常数完全符合“同阶”的要求；如果题目问“与 $x^k$ 等价”，才需要比值趋于正的 $1$。展开过程中保留到三次项，是由一次项会抵消决定的，而不是所有极限都必须展开到三阶。

泰勒展开的适用条件在本题满足，因为正弦和余弦在零点附近光滑，且余弦不为零。三次项前的系数来自分子中的负六分之一与倒数中的正二分之一相加，合为正三分之一，最后再由外面的减法变成负号。

易错点

不能在减法中直接把 $\tan x$ 换成 $x$；同阶与等价的比值条件不同。

答案：D，即 $-4<k<4$。

解题思路

五次方程通常不需要求出所有根。把左边视为连续函数，通过导数划分单调区间，再检查极大值与极小值是否分别在横轴上下，即可确定根的数量。端点参数会产生重根，需要按“不同实根”另作检查。

详细步骤

令 $h(x)=x^5-5x+k$，则

$$h'(x)=5(x^4-1).$$

当 $|x|>1$ 时导数为正，当 $|x|<1$ 时导数为负。因此函数在 $(-\infty,-1)$ 递增，在 $(-1,1)$ 递减，在 $(1,\infty)$ 递增。两个极值为

$$h(-1)=k+4,\qquad h(1)=k-4.$$

又有 $h(x)\to-\infty$ 当 $x\to-\infty$，$h(x)\to+\infty$ 当 $x\to+\infty$。若极大值为正、极小值为负，即 $k+4>0$ 且 $k-4<0$，连续性使三个单调区间各有一个根，严格单调又保证每段最多一个，故恰好三个不同根。

若 $k=4$，极小点 $x=1$ 本身为根，另有左段一个根，总共两个不同实根；$k=-4$ 同理。若 $k>4$，极大极小值都为正，只有左段穿过横轴；若 $k<-4$，都为负，只有右段穿过横轴。因此严格范围为 $(-4,4)$。

严格单调意味着一个区间里无法出现两个不同的横轴交点，因此每段找到一个根后，就已经数清全部不同根。

易错点

相切于横轴的重根只算一个不同根；仅说极值异号还应结合三段单调性与两端极限说明根数。

答案：D，$a=2,b=1,c=4$。

解题思路

通解中含任意常数的部分是齐次解，它决定特征方程；不含任意常数的部分是一个非齐次特解，代回原方程确定右端系数。$e^{-x}$ 前出现一次多项式，说明特征根 $-1$ 是二重根。

详细步骤

二阶常系数齐次方程 $y''+ay'+by=0$ 的特征方程是

$$r^2+ar+b=0.$$

题给齐次解为 $(C_1+C_2x)e^{-x}$。二重实根 $r_0$ 对应的解形正是 $(C_1+C_2x)e^{r_0x}$，因此 $r_0=-1$，特征多项式为

$$(r+1)^2=r^2+2r+1.$$

比较系数得 $a=2,b=1$。再取特解 $y_p=e^x$，其一、二阶导数均为 $e^x$。代入非齐次方程，

$$y_p''+2y_p'+y_p=e^x+2e^x+e^x=4e^x.$$

与 $ce^x$ 比较得 $c=4$，选 D。

此处任意常数对应两个独立齐次解 $e^{-x}$ 和 $xe^{-x}$；右端的 $e^x$ 不含这些任意常数，不能当成第三个特征根。二阶方程的齐次解空间只需要两个独立解，特解是在此基础上平移整个解集，二者的角色必须区分。

把特解代入时必须包括二阶导数、一阶导数与函数本身三部分；只看右端函数形状不能确定倍数。任意常数的齐次部分代回左端为零，不会贡献额外的右端系数。

易错点

不要把非齐次特解 $e^x$ 误当成特征根 $1$；重根导致 $xe^{-x}$，特征多项式应含平方因子。

答案：B。

解题思路

把乘积通项写成 $(nu_n)(v_n/n)$，一部分有绝对可求和性，另一部分因级数收敛而趋于零、从而有界。绝对可求和序列乘以有界序列仍绝对可求和，利用比较判别法可证明。

详细步骤

因为 $\sum v_n/n$ 条件收敛，它首先是收敛级数，所以必要条件给出

$$\frac{v_n}{n}\longrightarrow0.$$

任何收敛数列都有界，故存在 $M>0$，对所有 $n$ 有 $|v_n/n|\le M$。于是

$$|u_nv_n|=|nu_n|\left|\frac{v_n}{n}\right|\le M|nu_n|.$$

题设 $\sum nu_n$ 绝对收敛，即 $\sum|nu_n|<\infty$，比较判别法说明 $\sum|u_nv_n|<\infty$。因此乘积级数绝对收敛，选 B。

C、D 不能作为确定结论：例如取 $u_n=0$。若 $v_n=(-1)^n$，则 $\sum v_n/n$ 条件收敛，但 $\sum(u_n+v_n)$ 的通项不趋于零，发散；若 $v_n=(-1)^n/\ln(n+1)$，则 $\sum v_n/n$ 条件收敛，而 $\sum v_n$ 由莱布尼茨判别法收敛。因此“和级数”可能收敛也可能发散。

这里条件收敛的绝对值发散性没有阻碍乘积的绝对收敛，因为真正使用的是通项 $v_n/n$ 有界，而不是其绝对值级数可求和。

所给修正序列的绝对值级数按对数调和级数发散，但交错项单调减到零，所以满足条件收敛。

易错点

两个收敛级数不能一般按通项相乘推出同类收敛结论；本题可比较的关键是补入和消去因子 $n$。

答案：A，即 $r(A^*)=0$。

解题思路

基础解系的向量个数是齐次方程解空间维数，先由秩与零空间维数之和等于未知量个数，求 $r(A)$。伴随矩阵元素来自三阶代数余子式，若这些子式都为零，则伴随矩阵本身为零。

详细步骤

$A$ 是四阶矩阵，未知量共有四个。齐次方程 $Ax=0$ 的基础解系恰有两个向量，所以

$$4-r(A)=2,\qquad r(A)=2.$$

矩阵秩为 $2$ 的含义是：至少有一个二阶非零子式，而所有三阶及更高阶子式均为零。

四阶矩阵的伴随矩阵 $A^*$ 由代数余子式转置构成，每个代数余子式是删去一行一列后所得三阶行列式乘上符号 $(-1)^{i+j}$。这些三阶行列式全为零，所以所有代数余子式均为零，最终

$$A^*=0_{4\times4},\qquad r(A^*)=0.$$

这不是说 $A$ 本身为零；它仍可以秩为 $2$，只是秩不足以产生非零三阶子式。一般 $n$ 阶矩阵秩不超过 $n-2$ 时，伴随矩阵都为零。本题 $n=4,r=2$ 正属于这一情形。基础解系个数与矩阵的列数关联，不能把“两个解向量”误解为只存在两个解。

易错点

伴随矩阵元素是三阶子式，不是二阶子式；不能对奇异矩阵使用 $A^*=|A|A^{-1}$。

答案：C，即 $y_1^2-y_2^2-y_3^2$。

解题思路

实对称矩阵可正交对角化，其特征值决定二次型正负惯性指数。矩阵多项式关系限制每个特征值只能取两个值，再用行列式等于特征值乘积确定各自的重数。规范形只保留符号，将非零系数缩放成 $\pm1$。

详细步骤

若 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne0$，把 $v$ 代入 $A^2+A=2E$，得到

$$(\lambda^2+\lambda)v=2v, \qquad \lambda^2+\lambda-2=0.$$

因式分解为 $(\lambda-1)(\lambda+2)=0$，所以每个特征值都是 $1$ 或 $-2$。

设 $-2$ 出现 $j$ 次，$j=0,1,2,3$。行列式为三个特征值乘积，故

$$|A|=(-2)^j=4.$$

只有 $j=2$ 满足，特征值组成 $1,-2,-2$。因此经正交变换可得到标准形 $z_1^2-2z_2^2-2z_3^2$。再令 $y_1=z_1,y_2=\sqrt2z_2,y_3=\sqrt2z_3$，就是规范形

$$y_1^2-y_2^2-y_3^2.$$

正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $2$，没有零平方项，所以选 C。实对称条件保证有完整的正交特征向量基，因而可直接把特征值的正负数目转换成惯性指数。

正交对角化先确定正负方向的数量；随后可逆的变量缩放只改变系数大小，不改变符号。这是规范形保留惯性指数、舍去特征值绝对大小的原因。

易错点

规范形与标准形不同，系数必须归一化为 $\pm1$；行列式为正也可能有两个负特征值，并不保证正定。

答案：C。

解题思路

比较两个事件的概率时，它们共有的交事件对二者贡献相同，会在相减时抵消。把每个事件分成公共部分与自身独有部分，就能看出等概率的准确条件，而不是猜测独立或互斥。

详细步骤

事件 $A$ 可以写成两个互斥部分：$A=(A\cap B)\cup(A\cap\overline B)$；同样 $B=(A\cap B)\cup(B\cap\overline A)$。因此

$$P(A)=P(AB)+P(A\overline B),\qquad P(B)=P(AB)+P(B\overline A).$$

两式相减得

$$P(A)-P(B)=P(A\overline B)-P(B\overline A).$$

左边为零当且仅当右边为零，故 $P(A)=P(B)$ 与 C 所列条件互为充分必要。

A 是交事件概率为零的条件，两事件互斥仍可有不同概率，不能保证等概率。B 是独立条件，独立也不要求两个概率相同。D 利用 $P(\overline A\,\overline B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，实际等价于 $P(A)+P(B)=1$，同样不能推出二者相等。

等概率的直观是：把两事件重叠部分扣除后，各自剩余部分的概率相同；它不限制重叠部分的大小。通过写出共同部分抵消，两个方向都同时得到了证明。

共同部分大小不影响最后的等概率判别，因为它在相减中恰好抵消。

易错点

概率相等不表示事件相同；把等概率与独立、互斥混为一谈都不能给出充分必要条件。

答案：A。

解题思路

独立正态变量的线性组合仍服从正态分布。差中相同的均值抵消，方差则因独立相加。先求差的分布，再标准化，可以直接看出概率由哪一个参数控制。

详细步骤

设 $W=X-Y$。由相同均值和独立性，

$$EW=\mu-\mu=0,\qquad DW=\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2.$$

所以 $W\sim N(0,2\sigma^2)$。对正常的非退化正态分布有 $\sigma>0$，令 $U=W/(\sqrt2\sigma)$，则 $U\sim N(0,1)$。题求概率转为

$$P(|W|<1)=P\left(-\frac1{\sqrt2\sigma}<U<\frac1{\sqrt2\sigma}\right) =2\Phi\left(\frac1{\sqrt2\sigma}\right)-1.$$

最后一步使用标准正态分布的对称性 $\Phi(-t)=1-\Phi(t)$。表达式不含 $\mu$，但含 $\sigma$，并随 $\sigma$ 改变而改变，因此选 A。

共同平移 $X,Y$ 的均值不会改变差，解释了均值为何消失；增大方差会让差更分散，落在固定区间 $(-1,1)$ 的概率降低。不能认为差的均值为零就使它恒为零，均值只表示分布中心，仍保留正的波动方差。

正常正态分布中方差为正，因此标准化合法。两个变量的均值可以任意共同改变，差仍以零为中心；但两个独立波动叠加会使差的标准差达到各自标准差的根号二倍。

易错点

相减时方差仍相加，而非相减；标准化分母是标准差 $\sqrt2\sigma$，不是方差 $2\sigma^2$。

答案：$e^{-1}$。

解题思路

先将内部求和裂项，让相邻项抵消；得到一个趋于 $1$ 的底数后，再用幂指极限或取对数。内部和本身趋于 $1$，不表示其随 $n$ 增大的幂也趋于 $1$，二者的速度需要一起处理。

详细步骤

利用

$$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1},$$

有限和为

$$\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)} =1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}.$$

因此原式变为 $L_n=(n/(n+1))^n$。取对数，

$$\ln L_n=-n\ln\left(1+\frac1n\right).$$

因 $\ln(1+u)/u\to1$ 当 $u\to0$，有

$$n\ln\left(1+\frac1n\right) =\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}\longrightarrow1.$$

故 $\ln L_n\to-1$，指数函数连续，得到 $L_n\to e^{-1}$。

有限和先计算、再求极限的顺序很重要；裂项留下的是起点的 $1$ 和最后的 $-1/(n+1)$，中间所有项都消去。底数每次比 $1$ 小约 $1/n$，连续乘 $n$ 次累积出一个非零有限衰减因子，因此最终在 $0$ 与 $1$ 之间，符合 $e^{-1}$ 的数值范围。

对数极限中的负号来自分子分母交换后的倒数：原底数是小于一的，而通常记忆的基本极限底数大于一。先改写成倒数再取对数，可以避免误写成正的指数极限。用对数处理时底数为正，所有步骤在每个正整数处都有定义。

最终极限存在。

易错点

不要把末项写成 $1/n$ 而不是 $1/(n+1)$；不能将 $1^\infty$ 当作可直接代入的确定值。

答案：$(\pi,-2)$。

解题思路

曲线光滑，拐点需要二阶导数在点的左右变号。先求二阶导数的零点，再逐个检查凹凸性是否改变，最后代回原函数求纵坐标。二阶导数为零只是候选条件，不是充分条件。

详细步骤

对 $y=x\sin x+2\cos x$，乘积求导得

$$y'=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x,$$

再次求导得到

$$y''=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x.$$

在题设开区间 $(-\pi/2,3\pi/2)$，零点为 $x=0,\pi$。分区间判断：在 $(-\pi/2,0)$，$x<0,\sin x<0$，故 $y''<0$；在 $(0,\pi)$，二者均为正，仍 $y''<0$；在 $(\pi,3\pi/2)$，$x>0,\sin x<0$，所以 $y''>0$。

因此零点 $0$ 的两侧没有变号，不是拐点；$\pi$ 处由负变正，是唯一拐点。纵坐标为

$$y(\pi)=\pi\sin\pi+2\cos\pi=0-2=-2.$$

端点不属于定义区间，不能列为候选拐点。零点附近 $x$ 与 $\sin x$ 同号，使乘积 $x\sin x$ 在两侧都为正，这解释了为什么 $y''(0)=0$ 却没有凹凸改变。

在横轴左侧，两个负数相乘仍为正，再乘外面的负号才得负值；这一步能避免把零点误判成变号位置。拐点的两侧凹凸性应在足够邻近的位置比较，而不是只比较相距很远的某两个点。

两侧符号已完整列明。

易错点

不能只解 $y''=0$ 就给出两个拐点；题目问坐标，必须同时给出对应函数值。

答案：$\displaystyle \frac{1-2\sqrt2}{18}$。

解题思路

被积函数中 $f$ 本身是变上限积分，直接代入形成二重积分较繁琐。分部积分使 $f$ 被求导，按微积分基本定理恢复成已知的根式；同时 $f(1)=0$ 和 $x^3$ 在零点为零，边界项都消失。

详细步骤

令 $u=f(x)$、$\mathrm dv=x^2\mathrm dx$，则

$$\mathrm du=\sqrt{1+x^4}\,\mathrm dx,\qquad v=x^3/3.$$

因此

$$\int_0^1x^2f(x)\,\mathrm dx =\left[\frac{x^3f(x)}3\right]_0^1 -\frac13\int_0^1x^3\sqrt{1+x^4}\,\mathrm dx.$$

上限 $f(1)=\int_1^1\sqrt{1+t^4}\,\mathrm dt=0$；下限 $f(0)$ 有限且 $x^3=0$，故边界项为零。剩余积分令 $w=1+x^4$，有 $\mathrm dw=4x^3\mathrm dx$，上下限分别为 $1,2$，得到

$$-\frac1{12}\int_1^2w^{1/2}\,\mathrm dw =-\frac1{18}[w^{3/2}]_1^2 =\frac{1-2\sqrt2}{18}.$$

在 $0<x<1$ 时，$f(x)$ 是从 $1$ 积到更小的 $x$ 的有向积分，值为负，因此原积分也应为负，答案的符号与此一致。换元中的因子 $1/4$ 与分部积分中的 $1/3$ 相乘，决定最后系数。

变上限积分求导需要被积函数连续，这里的根式处处连续，条件满足。分部积分让积分嵌套降为一个普通积分，而换元利用了根式内部四次幂的导数恰含三次幂。这两步分别解决了未知积分函数和根式的计算难点，原积分不需要先求出根式积分的显式原函数。

分母系数来自换元。

易错点

$f(x)$ 的积分下限是 $1$，并非 $0$；分部积分边界项应逐个检查，而非默认消失。

答案：$0.4$。

解题思路

自身价格弹性衡量自身价格变化百分之一时需求量变化的百分比。题目规定弹性为正，需求随价格下降时使用带负号的定义。求自身价格的偏导时，应把另一商品价格 $P_B$ 固定。

详细步骤

需求函数为 $Q_A=500-P_A^2-P_AP_B+2P_B^2$，在指定点代入，

$$Q_A(10,20)=500-100-200+800=1000.$$

固定 $P_B$，对 $P_A$ 求偏导：

$$\frac{\partial Q_A}{\partial P_A}=-2P_A-P_B, \qquad \left.\frac{\partial Q_A}{\partial P_A}\right|_{(10,20)}=-40.$$

按正的自身价格弹性定义，

$$\eta_{AA}=-\frac{P_A}{Q_A}\frac{\partial Q_A}{\partial P_A} =-\frac{10}{1000}(-40)=\frac{400}{1000}=0.4.$$

系数 $P_A/Q_A$ 将“单位价格变化对应的需求量变化”转化为“相对价格变化对应的相对需求变化”，因此弹性是无量纲量，不等于偏导数本身。正号说明这里报告的是需求下降的幅度；若采用不带负号的有符号弹性，值会是 $-0.4$，但题目已经明确要求正值，故填写 $0.4$。另一商品价格影响自身需求，却在计算该偏导时保持不变。

价格弹性不是边际需求，二者通过当前价格与需求量的比值相联系。

易错点

不能对两个价格同时求导；分母应使用指定点的实际需求量 $1000$，并遵循题目规定的弹性符号。

答案：$a=1$。

解题思路

要有无穷多解，方程组既要相容，又要留有自由变量。直接按三行方程逐步消元，可以把条件集中到一个带参数的一元方程，比只检查行列式为零更充分。

详细步骤

方程组逐行为

$$x_1-x_3=0,\qquad x_1+x_2-x_3=1,\qquad x_2+(a^2-1)x_3=a.$$

第一行给出 $x_1=x_3$；代入第二行得到 $x_2=1$。第三行随后化为

$$(a^2-1)x_3=a-1.$$

若 $a^2-1\ne0$，$x_3$ 被唯一确定，前两变量也随之确定，只能有唯一解。若 $a^2-1=0$，则 $a=1$ 或 $a=-1$，还需检查右端。

$a=1$ 时第三行变为 $0=0$，$x_3=t$ 可以任意，通解为 $x=(t,1,t)^{\mathrm T}$，确有无穷多解。$a=-1$ 时第三行变为 $0=-2$，矛盾，故无解。因此只有 $a=1$ 符合。

无穷多解产生于某个方程在消元后成为恒等式，而不是矛盾式；只有在相容前提下，消失的主元才会释放自由变量。这里两条固定约束始终保留，所以自由变量恰为一个，参数 $t$ 不受其他条件限制。

给自由变量任意取不同实数就得到不同解，确切体现无穷多解的含义。

并满足全部方程。

易错点

奇异矩阵可能无解也可能无穷多解；不能只由 $a^2-1=0$ 将 $\pm1$ 都填写进去。

答案：$2/3$。

解题思路

先计算期望，再写出分布函数在实际支撑区间上的表达式，把关于 $F(X)$ 的事件转成关于 $X$ 的区间事件。这样不需要预先记住分布函数变换后的均匀分布结论，也能完整算出概率。

详细步骤

由给定密度，

$$EX=\int_0^2x\frac x2\,\mathrm dx =\frac12\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\frac43.$$

因此阈值 $EX-1=1/3$。分布函数为

$$F(x)=\begin{cases}0,&x\le0,\\x^2/4,&0<x<2,\\1,&x\ge2.\end{cases}$$

随机变量 $X$ 几乎必然处于 $(0,2)$，在此区间 $F(X)=X^2/4$，所以

$$F(X)>\frac13 \quad\Longleftrightarrow\quad X^2>\frac43 \quad\Longleftrightarrow\quad X>\frac2{\sqrt3}.$$

最后一步使用 $X>0$，不需加入负根分支。于是

$$P\left(F(X)>\frac13\right) =1-F\left(\frac2{\sqrt3}\right) =1-\frac{(2/\sqrt3)^2}4=1-\frac13=\frac23.$$

由于连续分布单点概率为零，严格大于与大于等于给出同样概率。这里 $F(X)$ 是将随机变量代入确定函数后的新随机变量，不是固定的分布函数值，因而仍需要求事件概率。

阈值落在分布函数的内部范围内，因此对应的损失取值也落在支撑内部。若阈值在零或一之外，则概率会直接为一或零；本题在中间区间，必须反解具体取值条件。期望用于确定阈值，分布函数用于把随机函数事件反解，两者在计算中承担不同作用。

易错点

不能把 $F(EX)$ 与 $F(X)$ 混同；平方不等式应结合 $X$ 的正支撑决定取哪一个根。

答案：

$$f'(x)=\begin{cases} 2x^{2x}(\ln x+1),&x>0,\\ (x+1)e^x,&x<0. \end{cases}$$

$f'(0)$ 不存在。极小值为 $f(-1)=1-e^{-1}$、$f(e^{-1})=e^{-2/e}$；极大值为 $f(0)=1$。

解题思路

分别求两段导数，再单独用定义检查连接点。极值可以发生在导数不存在的连接点，不能只找驻点。正半轴的幂指函数先改写为指数形式；零点右差商中含对数，会趋于负无穷。

详细步骤

当 $x>0$，$x^{2x}=e^{2x\ln x}$，链式求导为 $2x^{2x}(\ln x+1)$。当 $x<0$，$(xe^x+1)'=(x+1)e^x$。函数零点值为 $1$；由 $x\ln x\to0$，左右极限均为 $1$，所以零点连续。

左差商为 $(xe^x+1-1)/x=e^x\to1$。右侧令 $u=2x\ln x\to0$，有

$$\frac{x^{2x}-1}{x} =\frac{e^u-1}{u}\,2\ln x\longrightarrow-\infty,$$

因为第一因子趋于 $1$，第二因子趋于负无穷。故不存在有限的右导数，零点不可导。

导数符号依次为：在 $(-\infty,-1)$ 为负，$(-1,0)$ 为正，$(0,e^{-1})$ 为负，$(e^{-1},\infty)$ 为正。于是 $-1,e^{-1}$ 均为极小值点，零点由增转减，是极大值点。代入得

$$f(-1)=1-e^{-1},\qquad f(e^{-1})=(e^{-1})^{2/e}=e^{-2/e},\qquad f(0)=1.$$

所有变化点已经检查，没有其他局部极值。这里“极大值”是局部概念，函数在正半轴远处仍会增大，不代表 $1$ 是全局最大值。

局部极值的判定来自左右函数增减变化，连接点即使不可导也符合定义。

易错点

零点连续不代表可导；极值点不一定满足导数为零，导数不存在的连接点也必须检查。

答案：$1-3f_{uu}(x+y,x-y)-f_{vv}(x+y,x-y)$。

解题思路

把内变量记为 $u=x+y,v=x-y$，逐次使用链式法则。内变量为线性函数，其二阶导数为零，二阶项只来自 $f$ 本身的二阶偏导。连续二阶偏导保证混合偏导相等，可以合并。

详细步骤

设 $F(x,y)=f(u,v)$，所有下标 $u,v$ 的偏导均在 $(u,v)=(x+y,x-y)$ 取值。因为 $u_x=v_x=u_y=1,v_y=-1$，

$$F_x=f_u+f_v,\qquad F_y=f_u-f_v.$$

再次求导：

$$F_{xx}=f_{uu}+2f_{uv}+f_{vv}, \qquad F_{yy}=f_{uu}-2f_{uv}+f_{vv},$$

以及

$$F_{xy}=(f_u+f_v)_y =f_{uu}-f_{uv}+f_{vu}-f_{vv}=f_{uu}-f_{vv}.$$

这里使用 $f_{uv}=f_{vu}$。对 $xy$ 而言，两个纯二阶导为零，混合二阶导为 $1$。因此由 $g=xy-F$，

$$\begin{aligned} g_{xx}+g_{xy}+g_{yy} &=1-(F_{xx}+F_{xy}+F_{yy})\\ &=1-[3f_{uu}+f_{vv}]. \end{aligned}$$

混合项 $2f_{uv}$ 与 $-2f_{uv}$ 抵消，$f_{vv}$ 的三个贡献为 $1,-1,1$，合为 $1$。最后把取值位置明确写出，就得到答案。每次求外变量偏导，都要继续乘上对应内变量导数，不能把 $f_u,f_v$ 当成常数。

内变量变换没有乘积系数随位置变化，因此求二阶偏导时只需展开一阶偏导的链式求导，不会有内变量二阶导项。若内变量是非线性函数，还必须另加这些项。明确这个线性结构能解释本题为何混合项整齐消去，但不能直接推广到任意复合函数。

易错点

$g$ 中 $f$ 前有整体负号；所有 $f$ 的偏导应在复合后的点取值，而不是在 $(x,y)$ 直接取值。

答案：（1）$y(x)=\sqrt{x}\,e^{x^2/2}$；（2）$\displaystyle V=\frac\pi2(e^4-e)$。

解题思路

第一问按一阶线性方程使用积分因子，让左边化为乘积导数。第二问绕 $x$ 轴旋转，每个截面的圆半径是 $y(x)$，面积为 $\pi y(x)^2$，沿 $x$ 累积。需要先求初值解，再正确平方作为体积的被积函数。

详细步骤

（1）在 $x>0$ 上，方程为

$$y'-xy=\frac{e^{x^2/2}}{2\sqrt x}.$$

积分因子为 $e^{\int(-x)\mathrm dx}=e^{-x^2/2}$。两边同乘它，得

$$(ye^{-x^2/2})'=\frac1{2\sqrt x}.$$

积分得到 $ye^{-x^2/2}=\sqrt x+C$，所以 $y=e^{x^2/2}(\sqrt x+C)$。初值 $y(1)=\sqrt e$ 给出 $\sqrt e=\sqrt e(1+C)$，故 $C=0$，得到指定解。

（2）在 $[1,2]$ 上 $y(x)>0$，区域从横轴到曲线形成实心圆盘截面，故

$$V=\pi\int_1^2y(x)^2\,\mathrm dx =\pi\int_1^2xe^{x^2}\,\mathrm dx.$$

令 $u=x^2$，$\mathrm du=2x\mathrm dx$，上下限由 $1,2$ 变为 $1,4$，从而

$$V=\frac\pi2\int_1^4e^u\,\mathrm du =\frac\pi2[e^u]_1^4=\frac\pi2(e^4-e).$$

此处只讨论题设区间，不需要延伸到负半轴；指数在平方后由 $e^{x^2/2}$ 变成 $e^{x^2}$，而 $\sqrt x$ 平方为 $x$，正好便于最后的换元。

积分因子的作用是让乘积求导中产生原方程的一阶系数，正好抵消原来左边的负项。旋转体没有内孔，因为题设区域的下边界就是横轴，所以只需一个圆盘面积，不需减去内半径平方。体积必须是正数，本题上下限指数差为正，也可作符号核对。

易错点

积分因子的指数符号为负；体积公式使用半径平方，换元后必须同时改变积分上下限。