2018年考研数学三真题

答案：D。

解题思路

函数含绝对值并不一定不可导，应按零点导数定义检查。A、B 在零点函数值为零，比较它们与 $x$ 的比值即可；C 可利用余弦的偶性去掉绝对值；D 则需要比较左右差商，因为平方根与余弦复合后的主项含有 $|x|$。

详细步骤

1. 对 A，$f(0)=0$，且 $\left|f(x)/x\right|=|\sin|x||\to0$，所以 $f'(0)=0$。对 B，同样有 $f(0)=0$，且 $\left|f(x)/x\right|=|\sin\sqrt{|x|}|\to0$，所以零点导数也为零。虽然平方根单独在零点有问题，前面的 $|x|$ 足以使整个函数的差商趋零。

2. 对 C，因为余弦为偶函数，$\cos|x|=\cos x$，所以 $f'(0)=-\sin0=0$。

3. 对 D，$f(0)=1$。使用 $\cos u=1-u^2/2+O(u^4)$，取 $u=\sqrt{|x|}$，得到

   $$f(x)=1-\frac{|x|}{2}+O(x^2),\qquad \frac{f(x)-f(0)}x=-\frac{|x|}{2x}+O(x).$$

   当 $x\to0^+$ 时差商趋于 $-1/2$；当 $x\to0^-$ 时趋于 $1/2$。两侧导数不同，零点不可导，因此选 D。

零点导数是函数相对零点值的变化量与 $x$ 的比值，因此外层复合可能使内层不可导的影响减弱，也可能使它保留下来。A、B 的额外绝对值因子让变化量比一次量更小，差商趋零；D 中平方根经余弦展开后形成一次绝对值项，正负两侧的斜率就不同。这说明判断复合函数端点可导性，局部展开与定义差商往往比形式求导更可靠。

易错点

• “含 $|x|$”或“含平方根”不能直接作为不可导的依据，必须检查整个函数。
• D 的差商中要减去 $f(0)=1$，不能用 $f(x)/x$。

答案：D。

解题思路

单调性只说明左右函数值大小，不能决定中点与积分平均值的关系；二阶导数符号决定函数图像相对切线的位置。$f''>0$ 时，图像严格位于中点切线上方，把这个逐点不等式积分，切线的一次项恰好抵消，即可得到 $f(1/2)<0$。

详细步骤

1. 假设 $f''(x)>0$。取 $c=1/2$。由泰勒定理，对任意 $x\ne c$，存在介于 $x,c$ 之间的 $\xi$，使

   $$f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac12f''(\xi)(x-c)^2 >f(c)+f'(c)(x-c).$$

2. 对 $x\in[0,1]$ 积分，除中点外不等式都严格成立，因此

   $$0=\int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x >f(c)+f'(c)\int_0^1(x-1/2)\,\mathrm{d}x=f(c).$$

   所以 D 的结论正确。若 $f''<0$，上面的不等式反向，反而得到 $f(1/2)>0$，B 不成立。

3. A、C 可以用线性函数反驳。取 $f(x)=1/2-x$，积分为零且 $f'<0$，但中点值等于零，并不小于零；取 $f(x)=x-1/2$，积分同样为零且 $f'>0$，中点值也为零。所以单调递减或递增都不能推出题述严格负值。选 D。

积分为零只说明正、负部分的面积互相抵消，不代表中点值必为零。图像相对切线的位置提供了更强的信息：切线在整个区间下方，它的积分必须严格小于函数积分；而中点切线的一次项在对称区间上积分为零，切线平均高度就是中点函数值。这个解释把凸性、积分平均与中点三个量联系起来，也说明为何把切线选在中点最方便。

易错点

• 不能把单调性与凸性混为一谈，积分平均值和中点值的比较需要二阶信息。
• 本题要求严格小于零，线性函数的中点值为零足以否定 A、C。

答案：C，$K>M>N$。

解题思路

三个积分无需全部求出。对称区间上可先用奇偶性求出 $M$；$K$ 比同区间常数 $1$ 的积分明显大。剩下只需证明 $N<\pi$，把正、负半轴的被积函数配对，考察配对函数的单调性即可。

详细步骤

1. 设 $a=\pi/2$。将 $M$ 的被积函数拆开：

   $$\frac{(1+x)^2}{1+x^2}=1+\frac{2x}{1+x^2}.$$

   第二项是奇函数，在 $[-a,a]$ 上积分为零，所以 $M=2a=\pi$。

2. 对 $K$，$\cos x\ge0$，而在区间内部 $\sqrt{\cos x}>0$，因此

   $$K=\pi+\int_{-a}^a\sqrt{\cos x}\,\mathrm{d}x>\pi=M.$$

3. 对 $N$，把负半区间令 $x=-u$，与正半区间合并：

   $$N=\int_0^a[(1+x)e^{-x}+(1-x)e^x]\,\mathrm{d}x.$$

   记括号为 $h(x)$，则 $h(0)=2$，且

   $$h'(x)=-xe^{-x}-xe^x=-x(e^{-x}+e^x)<0\quad(x>0).$$

   所以 $h(x)<2$，积分得到 $N<\int_0^a2\mathrm{d}x=\pi$。结合前两步即 $K>M>N$，选 C。

对称积分比较中，正半轴的配对函数同时包含原函数在正、负位置的值。它虽然不一定每一项都小于一，但配对后的和严格小于二，就足以控制整个积分。这里负半轴的指数变成 $e^x$，一次因子变成一减去 $x$，二者必须一起改变。证明配对函数递减又使用指数始终为正，不必判断原被积函数在整个区间上是否非负。

易错点

• $(1+x)e^{-x}$ 本身既非奇函数也非偶函数，需配对后再比较。
• 比较积分可用逐点大小或对称性，不必强行求出含 $\sqrt{\cos x}$ 的原函数。

答案：D，$Q_0C'(Q_0)=C(Q_0)$。

解题思路

题目问平均成本的最小值条件，不是总成本的最小值条件。产量为 $Q>0$ 时平均成本是总成本除以产量。对于正产量的内点最小值，平均成本函数的导数为零，应用商法则即可得到总成本与边际成本的关系。

详细步骤

1. 定义平均成本函数 $\overline C(Q)=C(Q)/Q$，其定义域要求 $Q>0$。因为 $C$ 可导，在正产量范围内 $\overline C$ 也可导。

2. 使用商法则：

   $$\overline C'(Q)=\frac{Q\,C'(Q)-C(Q)}{Q^2}.$$

3. 在题意的正产量内点 $Q_0$ 达到平均成本最小值时，费马定理给出 $\overline C'(Q_0)=0$。由于 $Q_0^2>0$，分子必须为零：

   $$Q_0C'(Q_0)-C(Q_0)=0, \qquad Q_0C'(Q_0)=C(Q_0).$$

   这与 D 一致。再除以 $Q_0$，可写为 $C'(Q_0)=C(Q_0)/Q_0$，即最小平均成本处，边际成本等于平均成本。

4. A 的 $C'(Q_0)=0$ 是总成本内点极值的必要条件，不能用于平均成本；B、C 则遗漏或错误安排了产量因子。如果额外把产量限定为某个闭区间并在边界取最小值，导数为零不再是必需条件，本题采用正产量内点的通常含义。

易错点

• 先写出 $C(Q)/Q$ 再求导，不要直接对 $C(Q)$ 使用极值条件。
• 等式表达的是边际成本等于平均成本，不是等于总成本。

答案：A。

解题思路

相似矩阵有相同特征值，但本题四个选项的特征值都为 $1$，仅比较特征值不足。可比较减去单位矩阵后的平方：相似关系会保留平方是否为零。先排除不符合这个性质的选项，再为 A 构造一个可逆矩阵，实际验证相似关系。

详细步骤

1. 记原矩阵为 $J$，$N=J-E=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$，则

   $$N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\ne0.$$

   如果 $T$ 与 $J$ 相似，则 $T-E=P^{-1}NP$，进而 $(T-E)^2=P^{-1}N^2P\ne0$。B、C、D 各自减去单位阵后，直接相乘的平方均为零，所以它们都不可能与 $J$ 相似。

2. 记 A 选项的矩阵为 $T$。取

   $$P=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad |P|=1\ne0.$$

   两边相乘核验：

   $$TP=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=PJ.$$

3. 因为 $P$ 可逆，$TP=PJ$ 等价于 $P^{-1}TP=J$，因此 $T$ 确实与原矩阵相似，选 A。这里既有排除其余选项的相似不变量，也有可逆变换的直接构造，不需要仅凭外形猜测。

这个构造也可用基向量理解：对 A 的减单位矩阵，取第三个基向量为 $(0,0,1)$，作用一次得到 $(-1,1,0)$，再作用一次得到 $(1,0,0)$，再一次得到零。把这条链按相反顺序排成三列，就得到给出的 $P$，并使它与原矩阵的上移作用对应。其他选项作用两次已经全为零，无法具有这样长度为三的链，所以不可能相似。

易错点

• 特征值相同只是相似的必要条件，不是充分条件。
• 给出 $TP=PJ$ 后还需确认 $P$ 可逆，才能推出相似。

答案：A。

解题思路

水平分块矩阵 $(A,B)$ 的秩，是把两组列向量放在一起后所得向量组的秩。乘积 $AB$ 的每一列都是 $A$ 的列的线性组合，所以附加这些列不会扩张 $A$ 的列空间。其他选项可以用小阶矩阵反例检验，特别要区分 $AB$ 和 $BA$ 对列空间的不同作用。

详细步骤

1. 设 $A=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$，$B$ 的第 $j$ 列为 $(b_{1j},\ldots,b_{nj})^{\mathsf T}$。则 $AB$ 第 $j$ 列为 $b_{1j}\alpha_1+\cdots+b_{nj}\alpha_n$，完全包含在 $A$ 的列空间中。因此

   $$r(A,AB)=r(A),$$

   A 正确。

2. 反驳 B、D：取

   $$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}.$$

   此时 $BA=B$，$(A,BA)$ 同时包含 $(1,0)^{\mathsf T}$ 和 $(0,1)^{\mathsf T}$，秩为 $2$，大于 $r(A)=1$，所以 B 错误。另有 $r(A,B)=2$，但 $A^{\mathsf T},B^{\mathsf T}$ 的所有非零列都沿 $(1,0)^{\mathsf T}$，故 $r(A^{\mathsf T},B^{\mathsf T})=1$，D 错误。

3. 反驳 C：取 $A=\operatorname{diag}(1,0)$、$B=\operatorname{diag}(0,1)$，它们各自秩为 $1$，合并列后的秩却为 $2$，并不等于两秩的最大值。于是唯一正确选项是 A。

矩阵秩衡量的是列向量中独立方向的数量，追加一个已有方向的线性组合只增加列数，不增加独立方向。A 的结论正利用这一点。相比之下，左乘另一个矩阵会把这些方向整体映射到别处，所得方向未必仍在原来的列空间里，所以不能把乘法位置颠倒。在使用分块矩阵的秩性质时，先把每一块理解成一组列，比只记忆符号公式更容易判断。

易错点

• $AB$ 的列是 $A$ 列的线性组合，而 $BA$ 未必如此。
• 横向拼接后秩可能增加，不能把单个矩阵的“转置保持秩”直接用于两块同时转置。

答案：A，$P(X<0)=0.2$。

解题思路

条件 $f(1+x)=f(1-x)$ 表示密度关于直线 $x=1$ 对称。区间 $(0,2)$ 以 $1$ 为中点，它外侧的左尾 $(-\infty,0)$ 与右尾 $(2,+\infty)$ 互相对称，概率相等。总概率为 $1$，减掉中间的 $0.6$ 后，剩余概率由两尾平分。

详细步骤

1. 把对称条件中的变量换成 $x=t-1$，可写成 $f(t)=f(2-t)$。设左尾概率为

   $$L=P(X<0)=\int_{-\infty}^0 f(t)\,\mathrm{d}t.$$

2. 令 $u=2-t$，$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$。当 $t$ 从 $-\infty$ 走到 $0$，$u$ 从 $+\infty$ 走到 $2$，利用对称性得

   $$L=\int_2^{+\infty}f(2-u)\,\mathrm{d}u=\int_2^{+\infty}f(u)\,\mathrm{d}u=P(X>2).$$

3. 密度对应连续型分布，$P(X=0)=P(X=2)=0$，因此三段概率相加为 $1$：

   $$L+\int_0^2f(t)\,\mathrm{d}t+L=1.$$

   代入中间概率 $0.6$，得到 $2L=0.4$，故 $L=0.2$，选 A。

连续分布的概率是密度曲线下方的面积，关于竖直线一对称就意味着对应镜像区间的面积相同。这里从零到二的中间区间自身也关于一对称，余下两条无穷尾部因此必须等面积。中间概率给定为六成，剩余四成又没有其他单点概率需要扣除，平分后每尾二成。注意密度本身可以大于一或在一些位置为零，但整条实轴上的积分始终为一，计算用的是面积而不是某点密度值。

易错点

• 对称中心是 $1$，不是 $0$，不能直接断言 $P(X<0)=1/2$。
• 左尾与右尾平分的是中间区间以外的概率 $0.4$，不是中间的 $0.6$。

答案：B，$\dfrac{\sqrt n(\overline X-\mu)}S\sim t(n-1)$。

解题思路

$t$ 分布由独立的标准正态变量与卡方变量构造。本题中的 $S$ 以样本均值为中心、分母为 $n-1$，是通常样本标准差；正态总体保证它与样本均值独立。$S^*$ 以总体均值为中心，虽然其平方对应 $n$ 个标准正态平方之和，却与分子共享同一均值信息，不能直接套 $t$ 分布。

详细步骤

1. 正态样本均值满足 $\overline X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$，故

   $$U=\frac{\sqrt n(\overline X-\mu)}\sigma\sim N(0,1).$$

   又由正态总体的抽样分布定理，$V=(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$，且 $U,V$ 相互独立。

2. 按 $t$ 分布定义，$U/\sqrt{V/(n-1)}\sim t(n-1)$。代入 $U,V$，分母为 $S/\sigma$，所以比值恰是 $\sqrt n(\overline X-\mu)/S$，B 正确，A 的自由度错误。

3. 为理解 C、D 为什么不能成立，用平方和分解：

   $$n(S^*)^2=(n-1)S^2+n(\overline X-\mu)^2.$$

   于是

   $$\left|\frac{\sqrt n(\overline X-\mu)}{S^*}\right|^2 =\frac{n^2(\overline X-\mu)^2}{(n-1)S^2+n(\overline X-\mu)^2}\le n.$$

   这个比值有界，而任何正自由度的 $t$ 分布都在整个实轴上有可能取值，因此 C、D 不成立。

样本均值和样本离差分别刻画整体位置与内部波动，正态总体使这两种信息独立，才得到标准的统计量。若用总体均值计算平方和，均值自身的随机偏移也被放进分母，分子和分母就共享一项，不再独立。检验一个比例是否服从某种分布，不能只看分子正态、分母平方和，还要逐项核对自由度、缩放和独立性三个条件。

易错点

• 样本方差以 $\overline X$ 为中心，卡方自由度为 $n-1$。
• 构造 $t$ 分布除了分布类型，还必须满足分子与分母所用卡方变量独立。

答案：$y=4x-3$。

解题思路

拐点要求曲线在该点两侧的凹凸性发生变化。先求二阶导数的零点并检查符号变化，再用一阶导数求切线斜率。因为函数含 $\ln x$，全程必须限制在 $x>0$，不能把负的二阶导数零点纳入定义域。

详细步骤

1. 在定义域 $x>0$ 上，

   $$y'=2x+\frac2x,\qquad y''=2-\frac2{x^2}=\frac{2(x^2-1)}{x^2}.$$

   令 $y''=0$，在定义域内唯一候选点是 $x=1$。

2. 当 $0<x<1$ 时，$y''<0$；当 $x>1$ 时，$y''>0$。二阶导数在 $1$ 的两侧变号，因此这里确实是拐点，而不是仅满足 $y''=0$ 的普通点。

3. 计算坐标：$y(1)=1^2+2\ln1=1$，所以拐点是 $(1,1)$。切线斜率为 $y'(1)=2+2=4$。

4. 利用点斜式，

   $$y-1=4(x-1),$$

   化简得 $y=4x-3$。回代 $x=1$ 可确认直线经过拐点；其斜率 $4$ 与导数相符。

切线由一个点和一个斜率唯一确定，所以本题可以清楚分成找拐点、算坐标、算斜率三个阶段。拐点与极值点是不同概念：拐点考查二阶导数符号，极值点考查函数增减，拐点处斜率可以不为零。本题的切线斜率为四，说明曲线经过拐点时仍在上升，二阶导数变号仅表示上升速度由减小转向增大，不要求函数转而下降。

易错点

• $y''=0$ 只是候选条件，还要检查符号变化才能确认拐点。
• $x=-1$ 不属于 $\ln x$ 的实数定义域，不能列为候选点。

答案：$e^x\arcsin\sqrt{1-e^{2x}}-\sqrt{1-e^{2x}}+C$。

解题思路

实数范围要求 $e^{2x}\le1$，即 $x\le0$，原函数的计算在开区间 $x<0$ 进行。前面的 $e^x\mathrm{d}x$ 正好是 $e^x$ 的微分，因此先令 $u=e^x$。在 $0<u<1$ 内，$\arcsin\sqrt{1-u^2}=\arccos u$，积分变成反余弦的分部积分。

详细步骤

1. 令 $u=e^x$，则 $\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x$，原积分变为 $\int\arcsin\sqrt{1-u^2}\,\mathrm{d}u$。因为 $u>0$，可取 $\theta=\arccos u\in(0,\pi/2)$，则 $\sin\theta=\sqrt{1-u^2}$，所以反正弦确实等于 $\arccos u$，不存在象限歧义。

2. 分部积分取 $v=u$，利用 $(\arccos u)'=-1/\sqrt{1-u^2}$，得到

   $$\int\arccos u\,\mathrm{d}u =u\arccos u+\int\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u.$$

3. 后一积分令 $w=1-u^2$，$\mathrm{d}w=-2u\mathrm{d}u$，等于 $-\sqrt{1-u^2}$。因此

   $$\int\arccos u\,\mathrm{d}u=u\arccos u-\sqrt{1-u^2}+C.$$

4. 换回 $u=e^x$，并将反余弦写回原题的反正弦，得到答案。对 $u$ 求导时，乘积项中的 $-u/\sqrt{1-u^2}$ 与平方根项导数 $u/\sqrt{1-u^2}$ 抵消，也可以直接验证原函数。

先换元再分部积分，比直接对复杂的反正弦复合项求导更简洁：前面的指数因子恰好被微分吸收，反三角表达式也因实数取值范围而化简。不定积分表示一族原函数，所以必须保留任意常数。端点零处虽然原被积函数有有限值，反三角导数可能出现分母趋零；我们先在开区间得到原函数公式，再按需要取端点极限，不把端点当作一般可导点处理。

易错点

• 反三角恒等式依赖于这里 $u\in(0,1)$ 的范围，不能在任意实数上直接使用。
• 分部积分后的平方根项是负号，换元中的负号必须保留。

答案：常用考试答案为 $y_x=C2^x-5$，$C$ 为任意常数。原题未说明整数指标范围，若递推仅在单侧指标上成立，首项还可独立取值，完整通解需区分指标约定。

解题思路

先按前向差分定义展开方程。最低指标项会抵消，因此递推只连接后两项。减去常数特解后，受递推约束的部分是公比为 $2$ 的等比数列；起始项是否属于这一部分，取决于方程在哪些整数指标上成立。

详细步骤

1. 前向二阶差分为

   $$\Delta^2y_x=y_{x+2}-2y_{x+1}+y_x.$$

   代入原方程，$y_x$ 抵消，得到

   $$y_{x+2}-2y_{x+1}=5.$$

2. 常数序列 $y_x=-5$ 是一个特解。令 $u_x=y_x+5$，则 $u_{x+2}=2u_{x+1}$。若方程对所有整数 $x$ 成立，令 $k=x+1$，得到 $u_{k+1}=2u_k$ 对所有整数 $k$ 成立，故

   $$u_k=C2^k,\qquad y_k=C2^k-5\quad(k\in\mathbb Z).$$

   这也给出常用考试答案。回代时，$\Delta(2^x)=2^x$、$\Delta^2(2^x)=2^x$，常数差分为零，所以 $\Delta^2(C2^x-5)-(C2^x-5)=5$。

3. 若方程只对 $x=0,1,2,\ldots$ 成立，第一条递推是 $y_2=2y_1+5$，不含 $y_0$。全部解应写成

   $$y_0=A,\qquad y_k=(y_1+5)2^{k-1}-5\quad(k\ge1),$$

   其中 $A$ 与 $y_1$ 可独立给定。等价地，$y_0=A$，$y_k=C2^k-5$（$k\ge1$），$A,C$ 为任意常数。若方程只对 $x=1,2,\ldots$ 成立，则同理是 $y_1$ 独立任取，而 $k\ge2$ 的部分满足 $y_k=C2^k-5$。

4. 例如在 $x\ge0$ 的约定下，取 $y_0=0$，$y_k=-5$（$k\ge1$），每条递推均成立，但整个序列不能写为同一个 $C2^k-5$：后续项要求 $C=0$，此时该公式却给出 $y_0=-5$。因此原题缺少指标范围时，不能把常用公式无条件称为任何指标约定下的完整通解。

易错点

• 展开后 $y_x$ 被抵消，不能机械认为两个普通指数项都必须出现。
• 不能把特征根 $0$ 对应的首项自由度写成任意常数序列；给解整体加一个非零常数会改变原方程。
• 递推只从某一指标开始时，要逐项检查最早的一项是否实际出现在方程中。

答案：$f(1)=2e$。

解题思路

题目给出的是函数增量的一阶表达式。除以 $\Delta x$ 并取极限，就得到导数与函数本身的关系，转化成一个一阶微分方程。用积分因子求解可避免直接除以 $f(x)$ 时对零值的额外讨论，再利用初值确定常数。

详细步骤

1. 对每一个固定的 $x$，将增量关系除以非零的 $\Delta x$：

   $$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=2xf(x)+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}.$$

   小 $o$ 的定义保证最后一项趋于零，所以导数存在且 $f'(x)=2xf(x)$。

2. 将方程写成 $f'-2xf=0$，积分因子为 $e^{-x^2}$。对乘积求导：

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[e^{-x^2}f(x)] =e^{-x^2}[f'(x)-2xf(x)]=0.$$

   因此 $e^{-x^2}f(x)=C$，即 $f(x)=Ce^{x^2}$。

3. 代入 $f(0)=2$ 得 $C=2$，于是 $f(x)=2e^{x^2}$，所求 $f(1)=2e$。验算导数为 $4xe^{x^2}=2x f(x)$，与由增量得到的关系一致。

4. 原增量中的余项只负责保证导数极限，并不是一个待求的独立函数；不能把它当作固定误差代入微分方程。

增量式中一阶部分的系数就是导数，这也是可导函数局部线性近似的含义。右侧系数仍含函数自身，于是得到的不是普通代数等式，而是微分方程。积分因子把该方程左侧凑成一个完整的乘积导数，从而一次积分即可求解；这个方法同时包含零解，不会因除以函数而遗漏可能的情况。最后初始值选择了这族解中的唯一一条。

易错点

• $o(\Delta x)/\Delta x\to0$，不是保留一个非零常数项。
• 积分 $2x$ 得 $x^2$，因此解是 $e^{x^2}$，不是 $e^{2x}$。

答案：$|A|=2$。

解题思路

三个线性无关向量组成一组基，题目给出的 $A\alpha_i$ 描述了矩阵在该基中的作用。把三个像的坐标按列写出，就得到与 $A$ 相似的矩阵。相似不改变行列式，因此无需知道 $\alpha_i$ 的具体坐标，也无需反求 $A$ 的全部元素。

详细步骤

1. 设 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$。向量组线性无关，故 $P$ 可逆。由题目，三个像在这组基中的坐标分别为 $(1,1,0)^{\mathsf T}$、$(0,1,1)^{\mathsf T}$、$(1,0,1)^{\mathsf T}$。

2. 按像的顺序将坐标写成列，得到

   $$AP=P\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=PC.$$

   因而 $P^{-1}AP=C$，说明 $A$ 与 $C$ 相似。

3. 相似矩阵行列式相同，沿 $C$ 的第一行展开：

   $$|A|=|C|=1\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1+1=2.$$

   第一行第三列的代数余子式符号为 $(-1)^{1+3}=1$，所以第二项仍为正。

4. 也可对 $AP=PC$ 直接取行列式，得到 $|A||P|=|P||C|$；因为 $|P|\ne0$ 可约去，仍得 $|A|=2$。

换基只改变线性变换的坐标表达，不改变变换本身，所以行列式这一整体量保持不变。题给的三个像恰好足以写出新坐标矩阵，因为它们告诉我们每个基方向会被送到哪里。如果基向量不独立，这些像的关系就未必能组成可逆换基矩阵，此时也不能从该系数矩阵直接读取原矩阵行列式。独立条件在本题并非装饰，而是整个计算的桥梁。

易错点

• 每个 $A\alpha_i$ 的系数应放在第 $i$ 列，而不是第 $i$ 行。
• 线性无关条件保证 $P$ 可逆，是相似变换与约去行列式的必要依据。

答案：$\dfrac13$。

解题思路

记号 $AC$ 表示事件交集 $A\cap C$。条件概率分子应为 $(A\cap C)\cap(A\cup B)$ 的概率，因为 $A\cap C$ 已包含在 $A$ 内，额外的条件事件不改变它。分母用并事件公式，独立性用于计算交事件概率。

详细步骤

1. 根据条件概率定义，

   $$P(AC\mid A\cup B)=\frac{P((A\cap C)\cap(A\cup B))}{P(A\cup B)}.$$

   由于 $A\cap C\subseteq A\subseteq A\cup B$，分子就是 $P(A\cap C)$。

2. 相互独立蕴含 $A,C$ 独立和 $A,B$ 独立，所以

   $$P(A\cap C)=P(A)P(C)=\frac14,$$

   $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac12+\frac12-\frac14=\frac34.$$

3. 分母为正，条件概率合法，代入得

   $$P(AC\mid A\cup B)=\frac{1/4}{3/4}=\frac13.$$

   这里不需要把分子再乘 $P(A\cup B)$；虽然三个事件彼此独立，但复合事件 $AC$ 与 $A\cup B$ 共享事件 $A$，它们并不独立。

条件事件 $A\cup B$ 把总体样本空间缩小到并集，再问同时发生 A 和 C 的结果在其中占多少比例。因为该目标事件已落在并集内部，分子无需改变，只需重新归一化分母。得到三分之一大于原来的四分之一，原因是条件排除了全部不在 A 或 B 中的结果；这与事件空间缩小后的直观方向一致，也能帮助检查条件概率是否被反除。

易错点

• 并事件概率需要减去重叠部分 $P(A\cap B)$，不能直接相加为 $1$。
• 原事件相互独立不保证由它们构造的所有复合事件也独立。

答案：$a=1$，$b=1$。

解题思路

要使含一次增长项的表达式趋于有限数，首先必须消去一次增长的系数。可以先把整个表达式除以 $x$，利用有限极限除以趋于无穷的数后为零来确定 $a$；再把剩余式拆成两个标准极限求出 $b$。这样不需要展开过多项，也能说明参数为何唯一。

详细步骤

1. 设 $G(x)=(ax+b)e^{1/x}-x$，已知 $G(x)\to2$。因为 $x\to+\infty$，$G(x)/x\to0$。另一方面，

   $$\frac{G(x)}x=\left(a+\frac bx\right)e^{1/x}-1\longrightarrow a-1.$$

   因而 $a-1=0$，得到 $a=1$。

2. 代入后拆分：

   $$G(x)=(x+b)e^{1/x}-x=x(e^{1/x}-1)+be^{1/x}.$$

   令 $u=1/x\to0^+$，第一项变为 $(e^u-1)/u\to1$，第二项趋于 $b$，所以 $\lim G(x)=1+b$。

3. 根据给定极限 $2$，得到 $1+b=2$，即 $b=1$。回代原式后，上述两个极限确实相加为 $2$，因此 $(a,b)=(1,1)$ 既必要也充分。

这种处理体现了渐近匹配的两个层次：首先比较增长最快的项，保证发散部分互相抵消；然后比较剩余的有限常数，匹配指定极限。指数虽趋于一，但它相对一的一阶小偏差乘上很大的 $x$，恰好贡献常数一。判断极限时应看完整乘积的量级，而不是把所有趋于常数的因子过早替换掉。先定 a 再定 b，恰是按量级从大到小处理。

易错点

• $e^{1/x}\to1$ 不能直接把它替换成 $1$ 后与 $x$ 相乘；$x(e^{1/x}-1)$ 有非零极限。
• 必须先消去发散的一次项，再比较常数项，否则容易遗漏来自指数的一份常数 $1$。