2015年考研数学三真题

答案：D，是不正确的命题。

解题思路

收敛数列的任意子列都收敛于同一个极限，但反过来，需要被考查的子列覆盖全部足够大的下标。奇数、偶数两类覆盖全部下标，所以同极限能推出原数列收敛；按除以 $3$ 的余数分类时有三类，D 只控制其中两类，漏掉了 $3n+2$。

详细步骤

1. 若 $x_n\to a$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使所有 $n>N$ 都满足 $|x_n-a|<\varepsilon$。子列的下标也趋于无穷，因此偶数、奇数子列以及 $3n,3n+1$ 子列最终都满足同一不等式，A、C 成立。
2. 对 B，若偶数子列与奇数子列都趋于 $a$，各自都有一个保证误差小于 $\varepsilon$ 的指标阈值。取二者较大值 $N$，当原下标足够大时，不论它为偶数 $2m$ 还是奇数 $2m+1$，都有 $m>N$，因而误差都小于 $\varepsilon$。所以原数列趋于 $a$。
3. 对 D，构造数列：下标余数为 $0$ 或 $1$ 时取 $0$，余数为 $2$ 时取 $1$。这样 $x_{3n}=x_{3n+1}=0$，两个子列均趋于零，但 $x_{3n+2}=1$，另一个子列趋于 $1$。原数列不可能收敛，因为收敛数列不可能具有不同极限的子列。故 D 错误。

易错点

• 逆向判断的关键是子列是否覆盖全部下标，不是子列数量本身。
• 任意有限个开头的项不影响极限，但漏掉无限多个 $3n+2$ 项会影响收敛。

答案：C，拐点共有 $2$ 个。

解题思路

拐点是曲线凹凸性改变的点。二阶导数图像位于横轴上方表示 $f''>0$，位于下方表示 $f''<0$；只有正负号发生改变才产生拐点。二阶导数为零并不是充分条件，而二阶导数在某点不存在，也不一定排除该点成为拐点，只要原函数在那里连续且两侧凹凸性改变。

详细步骤

1. 看图左侧与横轴相切的位置。$f''$ 在这个零点左侧为正，右侧也为正，图像只接触横轴后返回上方，没有发生正负号变化。所以这里不产生拐点。
2. 在 $x=0$ 左侧，$f''$ 图像位于横轴上方；在 $x=0$ 右侧，图像位于横轴下方。虽然图中二阶导数在零点附近出现不连续或无定义情形，但原题保证 $f$ 在整个实轴连续，且此处两侧凹凸性改变，因此 $x=0$ 是一个拐点的横坐标。
3. 再看右侧穿过横轴的位置，$f''$ 从负变为正，凹凸性又改变一次，产生第二个拐点。其余位置二阶导数符号没有改变，不再产生拐点。
4. 综合计数：左侧相切处不计，零点处计一个，右侧穿越处计一个，总数为 $2$，选 C。这个判断只用二阶导数的符号变化，无须反积分恢复 $f$ 的具体表达式。

易错点

• 横轴相切与穿越不同，相切零点两侧不变号时不是拐点。
• 不能只数 $f''=0$ 的点，图中 $x=0$ 的凹凸性变化也必须计入。

答案：B。

解题思路

区域是两个圆盘的交集，两个圆都经过原点，极坐标能把圆的约束转化成径向上界。交集要求两个不等式同时成立，因此半径上限是两者中的较小值。两条上界在 $\theta=\pi/4$ 相等，必须在这里分段。区域对称并不表示任意连续被积函数也对称，所以不能直接取半个区域的积分再乘二。

详细步骤

1. 原条件 $x^2+y^2\le2x$、$x^2+y^2\le2y$ 强制 $x,y\ge0$，所以区域在第一象限，角度范围为 $0\le\theta\le\pi/2$。

2. 令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$。对 $r>0$，两个条件分别变为 $r\le2\cos\theta$、$r\le2\sin\theta$。原点 $r=0$ 也包含在区域中，所以

   $$0\le r\le\min\{2\sin\theta,2\cos\theta\}.$$

3. 在 $[0,\pi/4]$ 上，$\sin\theta\le\cos\theta$，取 $2\sin\theta$；在 $[\pi/4,\pi/2]$ 上，取 $2\cos\theta$。乘上极坐标面积元中的 $r$，得到

   $$\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^{2\sin\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r +\int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{2\cos\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r.$$

   这就是 B。A 使用较大半径，会积分到区域以外；C、D 的倍乘也缺少被积函数对称性的条件。

若真的想利用区域关于直线 $y=x$ 的对称性来乘二，还需要被积函数满足 $f(x,y)=f(y,x)$，题设仅给连续并未给这一性质。极坐标方式则对所有连续函数都有效，因为它完整描述两个半区域，且每个点都保留原函数值。检查转换后的积分式时，可以取小角度作为样例：靠近横轴时，第二个圆的允许半径趋零，所以上界必须由正弦决定。

易错点

• 两个约束取交集时，径向上界取最小值，不是最大值。
• 极坐标的面积元是 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，不能漏掉 $r$。

答案：C，所给级数发散。

解题思路

分别识别各级数的主要衰减速度。A、D 含指数或阶乘，适合比值判别；B 用 $\ln(1+u)\sim u$ 与收敛的 $p$ 级数比较；C 表面上有 $(-1)^n$，但奇数项为零、偶数项为正，并不是正负抵消的交错级数。

详细步骤

1. A 的通项 $u_n=n/3^n$，相邻项之比为 $(n+1)/(3n)\to1/3<1$，所以收敛。

2. B 的通项满足

   $$\frac{\ln(1+1/n)/\sqrt n}{n^{-3/2}}=n\ln(1+1/n)\to1.$$

   与 $p=3/2>1$ 的正项级数同敛散，因此收敛。

3. C 中，奇数 $n$ 时 $(-1)^n+1=0$；偶数 $n=2k$ 时为 $2$。所以级数等于 $\sum_{k=1}^{\infty}2/\ln(2k)$。因为 $\ln(2k)\le2k$，

   $$\frac2{\ln(2k)}\ge\frac1k.$$

   调和级数发散，比较判别得 C 发散。

4. D 的通项 $v_n=n!/n^n$，相邻项之比为

   $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\frac{n^n}{n!} =\left(\frac n{n+1}\right)^n\to e^{-1}<1.$$

   因而 D 收敛，唯一发散项为 C。

正项级数的比较需要考查每一项的衰减速度，而不仅仅看通项是否趋零。C 的通项确实趋零，但其累积速度仍足以超过调和级数，所以通项趋零不能推出收敛。B 与收敛的 p 级数比值趋一，给出两者同敛散；A、D 比值极限小于一，则意味着后续项至少具有几何式衰减，这就是比值法能判收敛的原因。

易错点

• 不能看到 $(-1)^n$ 就套莱布尼茨判别，本题 C 的所有非零项都为正。
• 比值判别应计算相邻通项的完整比值，D 中阶乘与幂要同时约去。

答案：D，$a\in\{1,2\}$ 且 $d\in\{1,2\}$。

解题思路

三元线性方程组有无穷多解，需要系数矩阵奇异但方程组仍相容，即 $r(A)=r(A,b)<3$。先求行列式找到奇异参数；再检查增广列是否位于已有两列张成的平面内。这个相容条件会给出 $d$ 的限制。

详细步骤

1. 记 $v(t)=(1,t,t^2)^{\mathsf T}$，则 $A=(v(1),v(2),v(a))$、$b=v(d)$。行列式是范德蒙德型：

   $$|A|=(2-1)(a-1)(a-2)=(a-1)(a-2).$$

   若 $a\notin\{1,2\}$，矩阵可逆，方程组只有唯一解。因此无穷多解必须有 $a=1$ 或 $2$。

2. 当 $a=1$ 或 $2$，第三列重复前两列之一；前两列线性无关，所以 $r(A)=2$。向量 $v(1),v(2)$ 都满足关系“第三分量等于第二分量的三倍减第一分量”，即 $z=3y-2x$。它们张成的二维平面正由这个关系描述。

3. 因此 $b=v(d)$ 属于该列空间当且仅当

   $$d^2=3d-2,\qquad (d-1)(d-2)=0.$$

   所以 $d\in\{1,2\}$。若此条件满足，增广矩阵秩仍为 $2<3$，有一个自由变量、无穷多解；否则增广秩为 $3$，方程组无解。故必要且充分条件正是 D。

相容条件也可以通过行变换理解：在 a 取一或二时，系数矩阵第三行等于第二行三倍减第一行，所以增广列必须满足同一关系，否则会出现零左端等于非零右端的矛盾。一旦这个关系满足，独立方程只有两条、未知量有三个，剩余一个自由变量使解无限多。这个解释把行列式判奇异、增广秩判相容、自由变量判解数三步连在一起。

易错点

• $|A|=0$ 只排除唯一解，还可能无解，必须继续检查增广列。
• 有无穷多解同时要求奇异和相容，两个参数的条件都不能漏掉。

答案：A，新标准形为 $2y_1^2-y_2^2+y_3^2$。

解题思路

正交对角化矩阵的列是对应各对角系数的单位特征向量。新矩阵 $Q$ 调换了第二、第三个基向量，并对其中一个基向量取反。调换会调换对应平方项的系数，取反只改变坐标符号，平方以后不改变该系数。

详细步骤

1. 记原坐标为 $u$，避免和新坐标混淆。原变换 $x=Pu$ 下，二次型为 $2u_1^2+u_2^2-u_3^2$，说明 $e_1,e_2,e_3$ 分别对应特征值 $2,1,-1$。

2. 新变换写成

   $$x=Qy=e_1y_1-e_3y_2+e_2y_3.$$

   与 $x=e_1u_1+e_2u_2+e_3u_3$ 比较，同一组基下坐标唯一，得到 $u_1=y_1$、$u_2=y_3$、$u_3=-y_2$。

3. 将这些坐标代入原标准形：

   $$f=2y_1^2+y_3^2-(-y_2)^2=2y_1^2-y_2^2+y_3^2.$$

   也可以从特征值顺序看出：$-e_3$ 仍是特征值 $-1$ 的向量，而 $e_2$ 对应特征值 $1$。新顺序为 $2,-1,1$，选 A。

4. 调换和取反不破坏单位正交性，所以 $Q$ 仍是正交矩阵，这个替换确实保持标准形中没有交叉项。

在原正交基下，二次型已经没有交叉项，因此坐标替换只要跟踪每一个原坐标被哪个新坐标替代即可。向量取反影响的是坐标的正负号，平方后完全消失；列交换影响的却是对应哪个变量，系数顺序会真实变化。把旧坐标另记为 u 是为了清楚区分这两套坐标，否则在同一个 y 记号上直接交换，很容易把基向量顺序与变量顺序错配。

易错点

• 将特征向量乘 $-1$ 不会改变特征值，不能把第二个系数从 $-1$ 改成 $1$。
• 二次型坐标顺序要跟随 $Q$ 的列顺序一起改变。

答案：C。

解题思路

两个任意事件未必独立，所以交事件概率与概率乘积之间没有固定方向。最稳妥的普遍关系来自事件包含：$A\cap B$ 同时包含于 $A$ 和 $B$，故其概率不超过两者的较小者，也不超过它们的算术平均。

详细步骤

1. 由 $A\cap B\subseteq A$、$A\cap B\subseteq B$，概率单调性给出

   $$P(AB)\le\min\{P(A),P(B)\}\le\frac{P(A)+P(B)}2.$$

   因此 C 对所有事件都成立。

2. 反驳 A：取 $A=B$、$P(A)=1/2$，则 $P(AB)=1/2$，而 $P(A)P(B)=1/4$，并不满足“小于等于乘积”。

3. 反驳 B、D：取 $A,B$ 为互斥的等概率事件，$P(A)=P(B)=1/2$。此时 $P(AB)=0$，小于概率乘积 $1/4$，也小于平均值 $1/2$，两个“大于等于”都不成立。

4. 这些反例满足随机事件的基本要求，说明概率乘积比较需要独立或相关性等额外条件。C 仅使用包含关系，没有附加假设，所以是唯一正确答案。

概率的单调性来自集合包含，是不依赖独立性的基本性质；而乘积公式是额外结构，不能在“任意”两个事件上套用。交集越大，两事件一起发生的机会越高，相同事件的交集达到自身概率；互斥时交集为空，概率为零。两个极端例子同时说明概率乘积可以位于交集概率的两侧，只有由包含导出的平均值上界始终可靠。

易错点

• 对“任意事件”不能无条件使用 $P(AB)=P(A)P(B)$。
• 要否定普遍命题，一个合法反例就够；不必证明它在所有情形都错误。

答案：B，期望为 $m(n-1)\theta(1-\theta)$。

解题思路

样本离差平方和的期望通常是 $(n-1)$ 倍总体方差。为看清这个自由度损失，可先把平方和展开成 $\sum X_i^2-n\overline X^2$，再分别求期望。总体是二项分布，其方差为 $m\theta(1-\theta)$，这里的 $m$ 是每个总体变量包含的试验次数，$n$ 是样本数量。

详细步骤

1. 记总体均值为 $\mu=m\theta$，方差为 $v=m\theta(1-\theta)$。独立同分布样本满足 $EX_i^2=v+\mu^2$，样本均值满足 $E\overline X=\mu$、$D\overline X=v/n$，所以 $E\overline X^2=v/n+\mu^2$。

2. 展开离差平方和，利用 $\sum X_i=n\overline X$：

   $$\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2 =\sum X_i^2-2\overline X\sum X_i+n\overline X^2 =\sum X_i^2-n\overline X^2.$$

3. 两边取期望：

   $$E\sum(X_i-\overline X)^2 =n(v+\mu^2)-n(v/n+\mu^2)=(n-1)v.$$

   代入二项总体方差，得到 $m(n-1)\theta(1-\theta)$，选 B。均值的平方项完全抵消，最后只保留总体方差。

减去样本均值相当于用样本本身估计中心，这会把全部离差约束为和为零，因此只有 n 减一个独立的波动方向。上面的代数计算给出了这个自由度损失的准确数值，也解释样本方差为什么通常除以 n 减一才能无偏。计算中不要求总体正态，只需要独立同分布和有限方差；二项总体在这里主要用来提供总体方差的具体表达式，而不是提供正态抽样公式。

易错点

• $E\overline X^2$ 不是 $(E\overline X)^2$，还应加 $D\overline X$。
• $m$ 与 $n$ 的含义不同，减一的是样本数对应的 $n$。

答案：$-\dfrac12$。

解题思路

零点附近 $\cos x$ 为正，对数有定义。表达式为 $0/0$ 型，可把 $\cos x$ 写成 $1+u$，使用 $\ln(1+u)\sim u$；而 $\cos x-1$ 的主项为 $-x^2/2$。两个常用极限相乘就能得到答案，也可以用洛必达法则交叉验证。

详细步骤

1. 当 $x\to0$ 时，$u=\cos x-1\to0$。对于非零且充分小的 $x$，写成

   $$\frac{\ln\cos x}{x^2} =\frac{\ln(1+u)}u\cdot\frac{\cos x-1}{x^2}.$$

2. 第一因子趋于 $1$。第二因子利用 $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$：

   $$\frac{\cos x-1}{x^2} =-\frac12\left[\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right]^2\longrightarrow-\frac12.$$

   所以原极限为 $-1/2$。

3. 作为核验，直接使用一次洛必达法则：

   $$\lim_{x\to0}\frac{\ln\cos x}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{-\tan x}{2x}=-\frac12,$$

   其中 $\tan x/x\to1$。函数在零点两侧同样满足这些局部条件，所以双侧极限一致。结果为负也符合 $\cos x<1$ 时 $\ln\cos x<0$ 的符号。

分母是二次量，所以分子的一次近似不够用；余弦在零点的一阶导数为零，真正决定比例的是二次项。这也是为什么直接把余弦近似为一会得到错误的零结果。先识别对数函数在输入一附近的变化，再识别余弦相对一的二次偏差，逐层处理复合函数能把两个常用极限准确连接起来。对数在零点附近合法，但不需要也不允许在整个实轴上假定余弦总为正。

易错点

• $\cos x-1$ 的主项为负，不能误写成正的 $x^2/2$。
• 对数等价替换应用于 $\ln(1+u)$，这里 $u=\cos x-1$，不是 $u=\cos x$。

答案：$f(1)=2$。

解题思路

积分中的 $x$ 是外部参数，与积分变量 $t$ 无关，应该先提出积分号。随后 $\varphi$ 是 $x$ 与变上限积分的乘积，求导必须同时使用乘积法则、积分上限求导公式和 $x^2$ 的链式导数。

详细步骤

1. 写成 $\varphi(x)=xF(x)$，其中 $F(x)=\int_0^{x^2}f(t)\mathrm{d}t$。由 $\varphi(1)=1$，得到

   $$F(1)=\int_0^1f(t)\,\mathrm{d}t=1.$$

2. 由于 $f$ 连续，积分上限求导公式适用；上限又为 $x^2$，所以

   $$F'(x)=f(x^2)\cdot2x.$$

   再对乘积求导：

   $$\varphi'(x)=F(x)+xF'(x) =\int_0^{x^2}f(t)\,\mathrm{d}t+2x^2f(x^2).$$

3. 代入 $x=1$ 及给定 $\varphi'(1)=5$：

   $$5=F(1)+2f(1)=1+2f(1).$$

   移项除以 $2$，得到 $f(1)=2$。题目不要求求出整个 $f$，两个已知量足以确定这个点值。

变上限积分求导的含义是，上限移动时新增的一小段积分近似等于边界处函数值乘上限的增量，因此边界函数必须是 $f(x^2)$，再乘上限移动速度二倍的 x。外部因子 x 本身也在变化，于是乘积法则带来另一个积分项。已知的函数值恰好提供这项在一点的数值，与给定导数联合求解就能确定边界点值，不需知道区间内函数的完整形状。

易错点

• 积分内的 $x$ 不能当作积分变量 $t$，它可以提出积分号。
• 求导有两项，不能只对积分上限求导而漏掉外部因子 $x$ 的导数。

答案：$\mathrm{d}z|_{(0,0)}=-\dfrac13\mathrm{d}x-\dfrac23\mathrm{d}y$。

解题思路

隐函数的全微分先要确定该点对应的 $z$ 值，再对方程两边微分。这里指数项会产生 $\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z$，而乘积 $xyz$ 的微分在原点全部消失。检查对 $z$ 的偏导非零，可确认该点确实存在可微隐函数。

详细步骤

1. 在 $x=y=0$ 时，原方程化成 $e^{3z}=1$，实数范围内唯一解为 $z=0$。令 $F=e^{x+2y+3z}+xyz-1$，则

   $$F_z=3e^{x+2y+3z}+xy,\qquad F_z(0,0,0)=3\ne0.$$

   隐函数定理条件满足。

2. 对原等式全微分，右侧常数的微分为零：

   $$e^{x+2y+3z}(\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z) +yz\,\mathrm{d}x+xz\,\mathrm{d}y+xy\,\mathrm{d}z=0.$$

3. 代入 $(x,y,z)=(0,0,0)$，指数因子为 $1$，后三项系数均为零，因此

   $$\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z=0.$$

   解出 $\mathrm{d}z$，即答案。相应偏导数为 $z_x(0,0)=-1/3$、$z_y(0,0)=-2/3$，与全微分系数一致。

全微分给出隐函数在该点的一阶线性变化：当 x 有小增量、y 有小增量时，z 为维持原方程成立而产生相应变化。这里指数内部的三个系数决定线性关系，而乘积 xyz 是更高阶变化，在原点的一阶系数全部为零。需要注意“在原点不贡献一阶项”不等于这个乘积在其他点也无作用，所以必须在完整微分之后再代入具体点。

易错点

• 原点的 $z$ 值需由方程求出，不能在一般隐函数题中自动设为零。
• 应先完整写出 $xyz$ 的微分再代入，不能在求导前随意删去依赖于变量的项。

答案：$y(x)=2e^x+e^{-2x}$。

解题思路

二阶常系数齐次微分方程用特征方程求通解。“在 $x=0$ 处取得极值 $3$”给出两个初始条件：函数值为 $3$，且可导函数的内点极值使一阶导数为零。确定常数后，还可以检查二阶导数，确认零点确实为极值点。

详细步骤

1. 特征方程为 $r^2+r-2=0$，因式分解成 $(r-1)(r+2)=0$，两个不同实根为 $1,-2$。因此通解为

   $$y=C_1e^x+C_2e^{-2x},\qquad y'=C_1e^x-2C_2e^{-2x}.$$

2. 极值条件给出 $y(0)=3$、$y'(0)=0$。代入得

   $$C_1+C_2=3,\qquad C_1-2C_2=0.$$

   第二式得 $C_1=2C_2$，回代第一式得 $3C_2=3$，所以 $C_2=1$、$C_1=2$。

3. 得到 $y=2e^x+e^{-2x}$。检查：$y(0)=3$，$y'(0)=2-2=0$，而 $y''=2e^x+4e^{-2x}$，所以 $y''(0)=6>0$。零点是严格极小值点，确实符合题设“取得极值”要求。

4. 代入微分方程，两种指数分别对应两个特征根，其贡献各自为零，所以整式满足方程。

二阶微分方程的一般解含两个常数，通常需要两个独立条件才能选出唯一解。题目一句“极值为三”同时给出函数值和驻点条件，恰好补足这两个信息。解出常数后，二阶导数正值还确认了驻点属于极小而不是极大；原题未指定哪一种极值，因此两者中满足条件的一种即可。若仅用函数值，不使用导数条件，就会留下无穷多条不符合极值要求的解。

易错点

• 极值为 $3$ 不仅给出函数值，还给出导数为零的条件。
• 特征根为 $1$ 与 $-2$，负根的指数和求导系数要带负号。

答案：$|B|=21$。

解题思路

矩阵多项式作用于特征向量时，原来的特征值也代入同一多项式。这里 $B=A^2-A+E$，故若 $A$ 的特征值为 $\lambda$，$B$ 的相应特征值为 $\lambda^2-\lambda+1$。三阶矩阵的行列式等于三个特征值的乘积。

详细步骤

1. 若 $A\alpha=\lambda\alpha$，其中 $\alpha\ne0$，则 $A^2\alpha=\lambda^2\alpha$。因此

   $$B\alpha=(A^2-A+E)\alpha=(\lambda^2-\lambda+1)\alpha.$$

2. 题给 $A$ 的三个特征值为 $2,-2,1$，互不相同，对应特征向量线性无关，足以构成三维空间的一组基。所以 $B$ 的全部特征值由这三个代入结果组成：

   $$2^2-2+1=3,\qquad (-2)^2-(-2)+1=7,\qquad1^2-1+1=1.$$

3. 行列式取特征值乘积，得到 $|B|=3\cdot7\cdot1=21$。也可将 $A$ 相似对角化，$B$ 在同一基下也成为对角矩阵 $\operatorname{diag}(3,7,1)$，直接读取行列式。

4. 这里不能把 $|A^2-A+E|$ 拆成三个行列式相加减；行列式对矩阵加法没有这种线性性质。

矩阵多项式不会把原特征向量的方向改变：一次作用 A 乘上特征值，二次作用乘上特征值平方，单位矩阵保持向量不变，组合之后仍是原方向的一个倍数。由于本题三个原特征值互异，这些方向已覆盖整个空间，所以算出的三个新特征值包含全部信息。最后行列式取乘积而迹取求和，所问不同，汇总方式也不能混淆。

易错点

• 代入 $\lambda=-2$ 时，$-\lambda=+2$，所以结果是 $7$。
• 矩阵多项式的特征值可以逐个代入，但行列式不能按加法拆开计算。

答案：$\dfrac12$。

解题思路

先把事件因式分解为 $(X-1)Y<0$，表示两个变量异号。二维正态分布的相关系数为零时，两个分量独立；中心化后的 $X-1$ 与 $Y$ 都是标准正态变量，因此正负两侧各有一半概率。把两种互斥的异号情况相加即可。

详细步骤

1. 分布参数给出 $EX=1$、$EY=0$，两方差均为 $1$，相关系数为 $0$。由于它们联合服从正态分布，零相关推出独立。令 $U=X-1$，则 $U,Y$ 仍独立，且均服从 $N(0,1)$。

2. 事件写成

   $$\{XY-Y<0\}=\{UY<0\} =\{U>0,Y<0\}\cup\{U<0,Y>0\}.$$

   两部分互不相交。正态变量为连续型，等于零的概率为零，不影响严格不等号事件。

3. 标准正态对称性给出 $P(U>0)=P(U<0)=P(Y>0)=P(Y<0)=1/2$。独立性允许交事件概率相乘，所以

   $$P(UY<0)=\frac12\frac12+\frac12\frac12=\frac12.$$

   这个结果基于中心化之后的对称性，并不是直接认为原变量 $X$ 在零点两侧各占一半。

把变量中心化是利用对称性的前提。原来的 X 均值为一，所以其正负概率并不相等；而 X 减一正好以零为中心，正负概率各半。异号事件有两种方向，不能只计算其中一个。联合正态且零相关保证四个符号组合的概率都可分解成两个边缘概率乘积，两个异号象限合起来就是整个概率的一半。

易错点

• 对一般分布，零相关不一定独立；这里依赖“二维正态”条件。
• 要比较的是 $X-1$ 的符号，不能误算成 $X$ 与 $Y$ 异号。

答案：$a=-1$，$b=-\dfrac12$，$k=-\dfrac13$。

解题思路

与 $kx^3$ 等价意味着 $f(x)/(kx^3)\to1$，其中 $k\ne0$。因此 $f$ 的一次、二次项必须同时消失，而三次项的系数必须等于 $k$。将对数展开到三次，$x\sin x$ 展开到三次所需精度，再逐级比较系数。

详细步骤

1. 在零点附近 $1+x>0$，对数可展开为

   $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$

   同时 $\sin x=x-x^3/6+o(x^3)$，乘上 $x$ 后 $x\sin x=x^2+o(x^3)$，没有三次项。

2. 代入原函数并合并同次项：

   $$f(x)=(1+a)x+\left(b-\frac a2\right)x^2+\frac a3x^3+o(x^3).$$

3. 若一次系数非零，除以 $x^3$ 会出现 $1/x^2$ 发散；若二次系数非零，则会出现 $1/x$，也不能取得有限等价比。因此必须

   $$1+a=0,\qquad b-a/2=0.$$

   得到 $a=-1$、$b=-1/2$。三次系数随后为 $a/3=-1/3$，故 $k=-1/3$。

4. 回代后 $f(x)=-x^3/3+o(x^3)$，所以 $f(x)/(-x^3/3)\to1$，确实等价。负的系数完全合法，等价无穷小并不要求系数为正。

按幂次逐级消去相当于让曲线在零点前两阶变化都被参数抵消，最终只留下三次主导行为。参数 k 并不是另一个用来消去低阶项的自由度，它只是指定参照无穷小的大小，所以应在 a、b 确定后由主项系数决定。余项除以三次幂后趋零，保证剩余比例不会再影响等价关系；这也是展开必须保留到三次精度的理由。

易错点

• $bx\sin x$ 的主要贡献是二次项，不能把 $\sin x$ 的三次项直接算成整个乘积的三次项。
• 等价要求比例常数为 $1$，所以 $k$ 必须等于主项系数，而不仅是非零。

答案：$\dfrac\pi4-\dfrac25$。

解题思路

区域由圆内部分与抛物线上方的交集组成，关于 $y$ 轴对称。被积函数为 $x^2+xy$，其中 $xy$ 对 $x$ 是奇函数，积分抵消，只剩 $x^2$。先求交点确定竖直截线的上下边界，再计算带根式的一元积分。

详细步骤

1. 边界交点满足 $y=x^2$、$x^2+y^2=2$。令 $s=x^2\ge0$，得到 $s+s^2=2$，解为 $s=1$，所以交点为 $(\pm1,1)$。区域是

   $$-1\le x\le1,\qquad x^2\le y\le\sqrt{2-x^2}.$$

2. 关于 $y$ 轴反射 $x\mapsto-x$ 后区域不变，而 $xy$ 变号，因此 $\iint_Dxy\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$。剩下的 $x^2$ 为偶函数，得到

   $$I=2\int_0^1x^2[\sqrt{2-x^2}-x^2]\,\mathrm{d}x.$$

3. 记 $J=\int_0^1x^2\sqrt{2-x^2}\mathrm{d}x$。令 $x=\sqrt2\sin\theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/4$。根式为 $\sqrt2\cos\theta$，微分为 $\sqrt2\cos\theta\mathrm{d}\theta$，因此

   $$J=4\int_0^{\pi/4}\sin^2\theta\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta =\frac12\int_0^{\pi/4}(1-\cos4\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac\pi8.$$

4. 另一项为 $\int_0^1x^4\mathrm{d}x=1/5$，所以

   $$I=2(J-1/5)=\frac\pi4-\frac25.$$

描述区域时，抛物线条件保证 y 非负，因此圆的有效上边界只有上半圆，不涉及负的平方根。左右交点给出 x 的投影，竖直截线从抛物线到圆弧之间的距离就是内层积分区间长度。先用对称性减少被积函数，再用偶性把区间缩到正半轴，两个步骤分别解决不同问题，不能在原积分含奇偶混合部分时直接乘二。最后积分应为正，因为抵消后保留下来的平方项非负。

易错点

• 对称性只消去奇函数部分 $xy$，不会消去偶函数部分 $x^2$。
• 根式、微分和 $x^2$ 的缩放因子相乘为 $4$，不能遗漏 $\sqrt2$。