2007年考研数学三真题

答案：B。

解题思路

两个无穷小等价，是指它们的比值趋于 $1$，不能只看它们是否同时趋于零，或者是否具有相同的数量级。四个选项都含有 $\sqrt x$，因此先令 $t=\sqrt x$，把问题化为 $t\to0^+$ 时各表达式与 $t$ 的比较。常用的基本极限可以直接判断指数、对数和余弦；根式则可以用有理化消去相减造成的不便。逐项求比值，既能选出正确答案，也能区分符号和常数因子。

详细步骤

题设 $x\to0^+$ 保证 $\sqrt x$ 为实数且 $t\to0^+$。对 A，由基本极限 $\lim_{t\to0}(e^t-1)/t=1$，有

$$\frac{1-e^{\sqrt x}}{\sqrt x}=\frac{1-e^t}{t}\longrightarrow-1.$$

对 B，利用对数的基本极限，得到

$$\frac{\ln(1+\sqrt x)}{\sqrt x}=\frac{\ln(1+t)}t\longrightarrow1.$$

对 C，将分子有理化后再约去 $t$：

$$\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}=\frac1{\sqrt{1+t}+1}\longrightarrow\frac12.$$

对 D，由 $1-\cos t=2\sin^2(t/2)$，有

$$\frac{1-\cos t}{t} =\frac t2\left(\frac{\sin(t/2)}{t/2}\right)^2\longrightarrow0.$$

只有 B 的比值趋于 $1$，故选 B。从计算中还可看出：指数差、对数和根式差都保留一次项，但前两种差与根式差的符号、系数不同；余弦差的一次项消失，最低阶是二次项，所以它与 $\sqrt x$ 相比更快趋于零。判断等价必须连同一次项系数一起检查，不能仅比较表达式外观。

易错点

1. $1-e^t\sim-t$，负号不可忽略；比值为 $-1$ 不属于等价无穷小。
2. C 与 $\sqrt x$ 同阶，但其比值是 $1/2$，同阶不等于等价。

答案：D。

解题思路

本题要判断“商的极限存在”能否推出零点可导。通常题目中的“极限存在”指有限的双侧极限。导数定义中的分子是 $f(x)-f(0)$，因此应先用连续性确定 $f(0)$，再与导数定义比较。D 的分子只保留函数关于原点的奇对称部分，偶对称部分会被抵消；如果不可导恰好由偶对称部分造成，D 就无法检测出来。用 $|x|$ 可以把这一问题展示得很清楚。

详细步骤

若 A 中的极限为有限数 $L$，则在 $x\ne0$ 时

$$f(x)=x\frac{f(x)}x\longrightarrow0.$$

又因 $f$ 在零点连续，$f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=0$，所以 A 正确。此时

$$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x =\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x=L,$$

因此 C 也正确。对 B，同样用有限极限乘以 $x$，得 $f(x)+f(-x)\to0$；连续性则给出该和趋于 $2f(0)$，故 $f(0)=0$，B 正确。

对 D，取 $f(x)=|x|$。该函数在零点连续，且对一切 $x\ne0$，

$$\frac{f(x)-f(-x)}x=\frac{|x|-|-x|}x=0.$$

然而右侧差商为 $1$，左侧差商为 $-1$，所以 $f'(0)$ 不存在。D 的前提成立、结论不成立，正是错误命题。

易错点

1. 对称差商有极限并不等同于普通导数存在，必须核对导数的定义。
2. 若把“存在”解释成无穷极限，A、C 的推理便不能照搬；这里使用的是有限极限。

答案：C。

解题思路

定积分计算的是带符号的面积：图形在横轴上方时贡献为正，在下方时贡献为负。这里不需要求出半圆的函数表达式，只需利用半径确定面积。另一个关键是 $F(x)$ 的积分下限固定为 $0$；当 $x<0$ 时，上限小于下限，必须先交换积分上下限并加负号。把四个相关的函数值分别算清楚，再代入选项，能避免仅凭图形位置猜测符号。

详细步骤

直径为 $1$ 的半圆半径为 $1/2$，其面积为

$$S_1=\frac12\pi\left(\frac12\right)^2=\frac\pi8.$$

直径为 $2$ 的半圆半径为 $1$，其面积为 $S_2=\pi/2$。在 $[0,2]$ 上是上半圆，在 $[2,3]$ 上是下半圆，因此

$$F(2)=\frac\pi2,\qquad F(3)=\frac\pi2-\frac\pi8=\frac{3\pi}8.$$

在 $[-2,0]$ 上是下半圆，而 $[-3,-2]$ 上是上半圆，故

$$F(-2)=-\int_{-2}^0f(t)\,\mathrm dt =-\left(-\frac\pi2\right)=\frac\pi2,$$

$$F(-3)=-\int_{-3}^0f(t)\,\mathrm dt =-\left(\frac\pi8-\frac\pi2\right)=\frac{3\pi}8.$$

于是 $F(-3)=\frac34F(2)$，C 正确。A、D 右端为负数，与左端不符；B 右端为 $5\pi/8$，也不等于 $F(3)$。注意四个函数值都为正，这与负半轴上存在下半圆并不矛盾：下半圆的负积分经过上下限交换后变成正值，而小半圆只减少其中一部分。

易错点

1. $F(-2)$ 并非下半圆的负面积，因为积分方向还会再产生一个负号。
2. 半圆面积要用半径计算，不能将给出的直径直接代入 $\pi r^2/2$。

答案：B。

解题思路

交换二次积分次序，本质上是用另一种方式描述同一个平面区域。原式先固定 $x$，让 $y$ 从 $\sin x$ 变化到 $1$；换序后需要先确定整个区域的 $y$ 范围，再固定 $y$ 求横向的 $x$ 范围。这里 $x$ 位于正弦函数的下降区间 $[\pi/2,\pi]$，所以求解 $\sin x\le y$ 时必须选用该区间内的反函数分支，而不能直接写成 $x\le\arcsin y$。

详细步骤

原积分区域是

$$D=\left\{(x,y):\frac\pi2\le x\le\pi,\ \sin x\le y\le1\right\}.$$

在给定的 $x$ 区间内，$\sin x$ 从 $1$ 下降到 $0$，所以区域在 $y$ 轴上的投影为 $[0,1]$。固定 $y\in[0,1]$，令 $\alpha=\arcsin y$，则 $0\le\alpha\le\pi/2$。方程 $\sin x=y$ 在 $[\pi/2,\pi]$ 内的解是 $x=\pi-\alpha$。由于正弦在这里递减，条件 $\sin x\le y$ 等价于

$$\pi-\arcsin y\le x\le\pi.$$

因此同一区域也可以写成

$$D=\{(x,y):0\le y\le1,\ \pi-\arcsin y\le x\le\pi\}.$$

题设 $f$ 连续，因而在这个有界闭区域上可积，可以交换积分次序，得到

$$\int_0^1\mathrm dy\int_{\pi-\arcsin y}^{\pi}f(x,y)\,\mathrm dx.$$

这正是选项 B。还可用极端的水平截面检验上下限：当 $y=0$ 时只有 $x=\pi$ 一个边界点；当 $y=1$ 时整个区间 $[\pi/2,\pi]$ 都被包括。这与原区域的底部、顶部相符，也说明不能选择从左端到 $\pi-\arcsin y$ 的范围。

易错点

1. $\arcsin y$ 的值位于 $[0,\pi/2]$，不是本题边界的 $x$ 值；应取 $\pi-\arcsin y$。
2. 换序要保持同一区域，不能仅交换 $\mathrm dx$、$\mathrm dy$ 而照搬上下限。

答案：D，商品价格为 $40$。

解题思路

需求弹性衡量的是需求量相对变化与价格相对变化的比，而不是需求函数的斜率本身。对可微的需求函数 $Q=Q(p)$，其有符号弹性为 $\frac pQ Q'(p)$；由于本题需求随价格上升而下降，弹性为负，题目要求的是它的绝对值。应在需求量为正的价格范围内列出方程，然后求价格。这样既能正确处理负号，也能检查结果是否有经济意义。

详细步骤

由需求函数 $Q(p)=160-2p$，有 $Q'(p)=-2$。取价格 $p\ge0$，并要求 $Q(p)>0$，得到 $0\le p<80$；在此范围内，弹性的绝对值是

$$\left|\frac p{Q(p)}Q'(p)\right| =\left|\frac{-2p}{160-2p}\right| =\frac{2p}{160-2p}=\frac p{80-p}.$$

令它等于 $1$，由于分母在允许范围内为正，可以同乘分母：

$$\frac p{80-p}=1 \quad\Longrightarrow\quad p=80-p \quad\Longrightarrow\quad p=40.$$

检查此时的需求量：$Q(40)=160-80=80>0$；再代回弹性，$2\times40/80=1$，满足题意。因此选 D。这里“弹性绝对值为 $1$”意味着价格发生很小的相对变化时，需求量会发生等幅、反向的相对变化；斜率 $-2$ 并不直接给出这一相对变化关系。

易错点

1. 不能把 $|Q'(p)|=2$ 当作需求弹性，弹性还包含 $p/Q$ 这一比例。
2. $p=80$ 时需求量为零，弹性公式的分母为零，不能作为候选价格。

答案：D，共有 $3$ 条渐近线，分别是 $x=0$、$y=0$、$y=x$。

解题思路

渐近线应分为竖直渐近线和无穷远处的水平、斜渐近线来检查。竖直渐近线来自函数在有限位置的发散；水平和斜渐近线则分别由 $x\to-\infty$、$x\to+\infty$ 的行为决定。本题的 $\ln(1+e^x)$ 在负无穷处趋于零，在正无穷处近似于 $x$。对后一种情况，把对数中的 $e^x$ 提出来，便能直接考察函数与直线 $y=x$ 的距离。

详细步骤

因为 $1+e^x>0$ 对所有实数都成立，唯一的有限定义域缺口来自 $1/x$，即 $x=0$。当 $x\to0$ 时，$\ln(1+e^x)\to\ln2$，而 $1/x$ 在两侧分别发散，所以 $x=0$ 为竖直渐近线。

当 $x\to-\infty$ 时，$1/x\to0$、$e^x\to0$，故

$$\frac1x+\ln(1+e^x)\longrightarrow0,$$

得到水平渐近线 $y=0$。当 $x\to+\infty$ 时，利用

$$\ln(1+e^x)=\ln\bigl(e^x(1+e^{-x})\bigr) =x+\ln(1+e^{-x}),$$

可得

$$\left[\frac1x+\ln(1+e^x)\right]-x =\frac1x+\ln(1+e^{-x})\longrightarrow0.$$

因此 $y=x$ 为正无穷处的斜渐近线。除零点外函数在所有有限点连续。两端的斜率也可用 $k=\lim f(x)/x$ 确认，负无穷处为零，正无穷处为一；截距再由 $\lim[f(x)-kx]$ 确定，两端都为零。所以没有其他水平或斜渐近线，总数为 $3$，选 D。

易错点

1. 正、负无穷必须分别讨论，不能用 $\ln(1+e^x)\sim x$ 概括两端。
2. 斜渐近线需要验证 $f(x)-(kx+b)\to0$，不能仅凭函数增长速度作判断。

答案：A。

解题思路

题设的三个原向量线性无关，因此它们可以作为所张成空间的一组基。新向量组是否相关，等价于它们在这组基下的系数列是否相关，也就是对应的 $3$ 阶系数矩阵是否可逆。A 可以直接观察到三个向量相加为零；再用同一个参数化的系数矩阵检查其余选项，就能确认只有 A 相关，而不是仅凭发现一个关系便结束核对。

详细步骤

对 A，三个向量满足

$$(\alpha_1-\alpha_2)+(\alpha_2-\alpha_3) +(\alpha_3-\alpha_1)=0.$$

这是一组系数均为 $1$ 的非零线性关系，所以 A 线性相关。

为统一检查各项，考虑

$$\beta_1=\alpha_1+k\alpha_2,\quad \beta_2=\alpha_2+k\alpha_3,\quad \beta_3=\alpha_3+k\alpha_1.$$

以各 $\beta_j$ 的系数为列，矩阵是

$$C(k)=\begin{pmatrix}1&0&k\\k&1&0\\0&k&1\end{pmatrix}.$$

按第一行展开行列式，第一项的余子式为 $1$，第三项的余子式为 $k^2$，得到

$$\det C(k)=1\cdot1+k\cdot k^2=1+k^3.$$

若 $\sum_jc_j\beta_j=0$，则原向量线性无关迫使 $C(k)c=0$。因此 $\det C(k)\ne0$ 时只能有 $c=0$，新向量组线性无关。A、B、C、D 对应 $k=-1,1,-2,2$，其行列式依次为 $0,2,-7,9$。所以 B、C、D 都无关，答案确为 A。

易错点

1. 原向量无关并不保证任意线性组合后的向量仍无关，组合系数矩阵必须可逆。
2. 写系数矩阵时要保持列与新向量一一对应，不能漏掉第三个向量中的 $\alpha_1$。

答案：B，矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，但不相似。

解题思路

相似与合同对应不同的变换，不能用同一套判断标准。相似要求存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$，因此必须保留特征值；合同要求 $P^TAP=B$，对实对称矩阵而言，只需正、负、零特征值的个数相同。题中的 $A$ 可以写成单位矩阵与全 $1$ 矩阵的组合，容易求出特征值。随后既可以用惯性定理判断合同，也可以给出一个明确的合同变换。

详细步骤

记 $J$ 为所有元素均为 $1$ 的 $3$ 阶矩阵，则 $A=3E-J$。向量 $(1,1,1)^T$ 满足 $Jv=3v$；对满足 $x_1+x_2+x_3=0$ 的二维子空间，$Jv=0$。所以 $A$ 的特征值为 $0,3,3$。$B$ 已经是对角矩阵，特征值为 $1,1,0$。两者的特征值不同，故不相似。

取正交矩阵

$$Q=\begin{pmatrix} 1/\sqrt2&1/\sqrt6&1/\sqrt3\\ -1/\sqrt2&1/\sqrt6&1/\sqrt3\\ 0&-2/\sqrt6&1/\sqrt3 \end{pmatrix}.$$

前两列属于 $A$ 的特征值 $3$，第三列属于特征值 $0$，故 $Q^TAQ=\operatorname{diag}(3,3,0)$。再令

$$P=Q\operatorname{diag}(1/\sqrt3,1/\sqrt3,1),$$

则 $P$ 可逆，并且

$$P^TAP=\operatorname{diag}(1,1,0)=B.$$

这也直接证明二者合同；它们的正、负、零惯性指数均为 $(2,0,1)$。

易错点

1. 合同允许改变正特征值的大小，相似不允许改变特征值。
2. 只有秩相同一般不能推出合同；本题还需检查实对称矩阵的正负惯性指数。

答案：C，概率为 $3p^2(1-p)^2$。

解题思路

“第 $4$ 次射击恰好第 $2$ 次命中”包含两个要求：前三次恰好命中一次，而且第四次必须命中。因此这与“四次总共命中两次”不同，最后一次的状态已经被指定。前三次是独立重复的伯努利试验，恰好一次命中可用二项分布计算；第四次的命中事件与前三次独立，再将两个概率相乘即可。

详细步骤

记 $A_i$ 为第 $i$ 次射击命中。要求的事件由三个互不相容的情形组成：前三次的命中顺序分别为“中、不中、不中”“不中、中、不中”“不中、不中、中”，且这三种情况下第四次都要命中。

由于每次命中概率为 $p$，未命中概率为 $1-p$，且各次独立，每一种完整顺序的概率都是

$$p(1-p)(1-p)p=p^2(1-p)^2.$$

三种顺序互斥，可以相加，得到 $3p^2(1-p)^2$。也可以分两步写成

$$P(\text{前三次恰好一次命中}) =\binom31p(1-p)^2,$$

$$P(\text{第4次是第2次命中}) =\binom31p(1-p)^2\cdot p =3p^2(1-p)^2.$$

条件 $0<p<1$ 保证命中和未命中都可能发生，但上述计算的核心依据是各次射击的独立性。选项 C 正确。

易错点

1. $\binom42p^2(1-p)^2$ 还计入了第四次未命中的顺序，不符合指定的命中时刻。
2. 只计算前三次恰好命中一次会少乘第四次命中的概率 $p$。

答案：A，$f_{X\mid Y}(x\mid y)=f_X(x)$。

解题思路

对于一般随机变量，“不相关”仅表示协方差为零，通常不能推出独立；二维正态分布是一个特殊情形，其相关系数为零时，联合密度能分解成两个边缘密度的乘积。因此本题先使用联合正态的这一性质，再代入条件密度公式。不能把 $Y=y$ 当作一个具有正概率的普通事件去相除，因为连续随机变量在单点上的概率为零，条件密度应通过联合密度和边缘密度来定义。

详细步骤

记 $X,Y$ 的均值分别为 $\mu_X,\mu_Y$，标准差分别为 $\sigma_X,\sigma_Y$。题中使用概率密度，按非退化正态情形理解，标准差均为正。不相关给出

$$\rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=0.$$

将 $\rho=0$ 代入二维正态密度，得到

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac1{2\pi\sigma_X\sigma_Y} \exp\left[-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2} -\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\right] =f_X(x)f_Y(y).$$

因而 $X$ 与 $Y$ 独立。对 $f_Y(y)>0$ 的点，条件密度公式为

$$f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} =\frac{f_X(x)f_Y(y)}{f_Y(y)}=f_X(x).$$

非退化正态的边缘密度对每个实数 $y$ 都为正，所以该式在本题中适用，选 A。

易错点

1. “不相关推出独立”依赖联合正态条件，不能应用到任意二维分布。
2. 条件密度中的分子是联合密度，不能只把边缘密度 $f_X$ 除以 $f_Y$。

答案：$0$。

解题思路

原式含有 $\sin x+\cos x$，这个因子在正无穷处没有极限，但它始终有界。若另一个因子趋于零，就可以用夹逼定理判断整个乘积，而不必也不能要求两个因子分别有极限。前一个因子的分子是多项式，分母含有底数大于 $1$ 的指数函数 $2^x$，应利用指数增长快于固定次数多项式的性质。把绝对值作上界估计，比对振荡项使用洛必达法则更直接。

详细步骤

先由三角函数合成公式得到

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right), \qquad |\sin x+\cos x|\le\sqrt2.$$

当 $x\ge1$ 时，$x^3+x^2+1\le3x^3$，且 $2^x+x^3\ge2^x>0$，所以

$$0\le\left|\frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)\right| \le3\sqrt2\frac{x^3}{2^x}.$$

为确认右端趋于零，可对 $x^3/2^x$ 的 $\infty/\infty$ 型极限连续使用三次洛必达法则。前两次求导后的分子仍趋于正无穷，分母也趋于正无穷；各次分母的导数非零，得到

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{2^x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{(\ln2)^3\,2^x}=0.$$

由夹逼定理，原式的绝对值趋于零，原极限也等于 $0$。振荡因子的存在不影响这一结论，因为它无法抵消前一因子的衰减。

易错点

1. $\sin x+\cos x$ 没有极限，不可以直接使用两个有限极限的乘积法则。
2. 要比较增长速度，不能仅因分子、分母都含 $x^3$ 就判定比值趋于 $1$。

答案：$\displaystyle y^{(n)}(0)=\frac{(-1)^n2^n n!}{3^{n+1}}$。

解题思路

这是线性表达式负一次幂的高阶导数。每求导一次，幂指数减少 $1$，同时乘上当前幂指数和内部函数 $2x+3$ 的导数 $2$，因此会形成交替符号、$2^n$ 和阶乘 $n!$。先写出前两阶导数寻找规律，再用归纳说明规律对一般非负整数 $n$ 成立，最后代入 $x=0$。这种方法不需要展开幂级数，也能清楚看出每个因子的来源。

详细步骤

函数可写为 $y=(2x+3)^{-1}$，在 $x=-3/2$ 之外光滑，特别是在零点附近可任意次求导。前两阶导数是

$$y'=-2(2x+3)^{-2},\qquad y''=8(2x+3)^{-3}.$$

推测一般公式为

$$y^{(n)}(x)=(-1)^n2^n n!(2x+3)^{-n-1}.$$

当 $n=0$ 时，它正是原函数。假设第 $n$ 阶公式成立，再按链式法则求导，得

$$\begin{aligned} y^{(n+1)}(x) &=(-1)^n2^n n!(-n-1)(2x+3)^{-n-2}\cdot2\\ &=(-1)^{n+1}2^{n+1}(n+1)!(2x+3)^{-n-2}. \end{aligned}$$

所以公式对所有非负整数 $n$ 成立。连续求导中的幂指数因子依次是 $-1,-2,\ldots,-n$，它们的乘积正是 $(-1)^nn!$；这也说明阶乘必须出现在分子而不是分母。代入 $x=0$ 后，分母为 $3^{n+1}$，于是得到所填结果。检查 $n=1$ 时为 $-2/9$，与直接求导一致。

易错点

1. 每一阶都有内部函数导数 $2$，连续求 $n$ 次会产生 $2^n$。
2. 幂级数的第 $n$ 项系数与 $y^{(n)}(0)$ 相差 $n!$，不能混淆。

答案：$\displaystyle -2\frac yx f_u\!\left(\frac yx,\frac xy\right)+2\frac xy f_v\!\left(\frac yx,\frac xy\right)$，其中 $xy\ne0$。

解题思路

$z$ 是二元函数与两个内层函数的复合，求偏导应使用多元链式法则。对 $x$ 求偏导时固定 $y$，对 $y$ 求偏导时固定 $x$，分别计算两个内层函数的变化，再将结果代入题目要求的线性组合。虽然内层变量满足 $uv=1$，但原函数 $f(u,v)$ 是二元可微函数，两个偏导项仍要分别保留，不能只把其中一个变量当作自变量而漏掉另一条变化路径。

详细步骤

令 $u=y/x$、$v=x/y$。原表达式要求 $x\ne0$、$y\ne0$；记 $f_u,f_v$ 为 $f$ 对第一、第二个自变量的偏导，下面都在 $(u,v)=(y/x,x/y)$ 处取值。内层偏导为

$$u_x=-\frac y{x^2},\quad v_x=\frac1y, \qquad u_y=\frac1x,\quad v_y=-\frac x{y^2}.$$

由可微性和链式法则，

$$z_x=-\frac y{x^2}f_u+\frac1y f_v, \qquad z_y=\frac1x f_u-\frac x{y^2}f_v.$$

分别乘以题目给出的系数：

$$xz_x=-\frac yx f_u+\frac xy f_v, \qquad yz_y=\frac yx f_u-\frac xy f_v.$$

相减得到

$$xz_x-yz_y=-2\frac yx f_u+2\frac xy f_v,$$

把偏导的取值点写出即为答案。外层偏导数的取值点是两个比值组成的有序数对，不能误写成 $(x,y)$；两个偏导在合并时使用的取值点相同，才可分别合并系数。两个系数的符号相反，来自 $y/x$ 与 $x/y$ 在固定另一变量时的相反变化方向。

易错点

1. $\partial(y/x)/\partial x=-y/x^2$，分子固定时仍需对倒数求导。
2. 两个分式要求 $xy\ne0$，答案不能无条件延伸到坐标轴上。

答案：$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{1+\ln x}}$，含初始点的最大定义区间为 $(e^{-1},+\infty)$。

解题思路

微分方程的右端只含有比值 $y/x$，属于可以令 $u=y/x$ 化简的齐次型方程。必须把 $y=xu$ 的导数写成 $y'=u+xu'$，再消去等式两端相同的 $u$ 项，就会得到可分离变量方程。初始条件不仅确定积分常数，也决定平方根应选哪一个符号。由于方程含有 $1/x$，而所得实解又含有根号和对数，最后还需要确定包含 $x=1$ 的解区间。

详细步骤

初始点位于正半轴，在该连通分支取 $x>0$。令 $u=y/x$，则

$$u+xu'=u-\frac12u^3 \quad\Longrightarrow\quad xu'=-\frac12u^3.$$

初值给出 $u(1)=1$，故在其附近 $u\ne0$，可以分离变量：

$$u^{-3}\,\mathrm du=-\frac12\frac{\mathrm dx}{x}.$$

积分得 $-1/(2u^2)=-\frac12\ln x+C_0$，即

$$\frac1{u^2}=\ln x+C.$$

由 $u(1)=1$ 得 $C=1$。初值为正，必须取 $u=1/\sqrt{1+\ln x}$，从而 $y=x/\sqrt{1+\ln x}$。实数根号且分母非零要求 $1+\ln x>0$，即 $x>e^{-1}$。在这个区间内直接求导有

$$y'=(1+\ln x)^{-1/2}-\frac12(1+\ln x)^{-3/2} =\frac yx-\frac12\left(\frac yx\right)^3,$$

再次验证了原方程，且 $y(1)=1$。当 $x\downarrow e^{-1}$ 时解发散，不能延伸为有限实值解。因此该区间是包含初始点的最大解区间。

易错点

1. 分离变量除以 $u^3$ 会排除零解 $y=0$，但零解不满足本题初值，故不影响结论。
2. $u=\pm(1+\ln x)^{-1/2}$ 中只有正支满足 $y(1)=1$；也不能只写 $x>0$ 而忽略根号条件。

答案：$\operatorname{rank}(A^3)=1$。

解题思路

这个矩阵的非零元素位于第一条上副对角线。每乘一次 $A$，非零位置向右移动一列，因此 $A^2$、$A^3$ 的非零元素会依次出现在第二、第三条上副对角线上。可以通过矩阵乘法直接验证，也可以考察它对标准基向量的作用。秩表示列空间的维数，最终应数出 $A^3$ 有多少个线性无关的非零列，而不是根据原矩阵的阶数或者原矩阵的秩猜测。

详细步骤

设 $e_1,e_2,e_3,e_4$ 为四维空间的标准基。根据 $A$ 的各列，

$$Ae_1=0,\quad Ae_2=e_1,\quad Ae_3=e_2,\quad Ae_4=e_3.$$

再连续作用三次，得到

$$A^3e_1=A^3e_2=A^3e_3=0,\qquad A^3e_4=e_1.$$

直接乘法给出相同结果：

$$A^2=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}, \qquad A^3=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

因此 $A^3$ 的列空间是 $\operatorname{span}\{e_1\}$：前三列为零，第四列非零，只有一个线性无关的列，故秩为 $1$。也可看到 $A^3x=0$ 恰好要求第四个分量为零，核空间维数为三，由秩与零空间维数之和等于四可再次验证。进一步看，$A^4=0$，说明这种移动在越过矩阵边界后会消失，但 $A^3$ 尚未成为零矩阵。

易错点

1. $A$ 的秩为 $3$，不代表其三次幂的秩也是 $3$；幂次增加时秩可能下降。
2. 三次幂是连续三次矩阵乘法，不是把每个元素分别取三次方。