2006年考研数学三真题

答案：$1$。

解题思路

先看清指数的变化：$(-1)^n$ 只有 $1$ 和 $-1$ 两个值，并没有随 $n$ 增大而变得无穷大。因此本题不能直接套用得到 $e$ 的重要极限。遇到由奇偶性决定表达式的数列，可以分别考察奇数项、偶数项；也可以把两种取值放在同一对上下界之间，利用夹逼定理。这里底数始终为正，所以取倒数没有定义域问题。

详细步骤

当 $n$ 为偶数时，指数为 $1$，原式的第 $n$ 项是

$$u_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n\longrightarrow1.$$

当 $n$ 为奇数时，指数为 $-1$，于是

$$u_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-1}=\frac{n}{n+1} =1-\frac1{n+1}\longrightarrow1.$$

两条子列覆盖了数列的所有项，且极限相同，故整个数列趋于 $1$。也可直接写出对每个正整数 $n$ 都成立的界：

$$\frac{n}{n+1}\le u_n\le\frac{n+1}{n}.$$

左右两端均趋于 $1$，夹逼定理给出同一结论。奇偶项分别位于 $1$ 的两侧并不妨碍收敛，关键是它们与 $1$ 的距离都趋于零。

具体地，对所有项都有 $|u_n-1|\le1/n$。给定任意正误差，只需让 $n$ 足够大，奇数项和偶数项便同时进入这个误差范围，这也直接符合数列极限的定义。

易错点

不要把指数 $(-1)^n$ 看成 $n$，误用 $\lim(1+1/n)^n=e$；指数取负值表示倒数，不表示给底数加负号。

答案：$2e^3$。

解题思路

题目把一阶导数写成了函数自身的指数，求高阶导数时应对等式逐次求导，每次都使用复合函数的链式法则。因为只问某一点的三阶导数，没有必要先解出 $f(x)$ 的完整表达式。题设虽只直接说可导，但 $f'=e^f$ 又保证右端可导，因而可以递推得到所需的更高阶导数。

详细步骤

从给定关系出发，对 $x$ 求导：

$$f''(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{f(x)} =e^{f(x)}f'(x).$$

再把 $f'(x)=e^{f(x)}$ 代入，得到

$$f''(x)=e^{2f(x)}.$$

这个表达式仍是可导的复合函数。继续求导时，指数中的 $2f(x)$ 要整体求导，因此

$$f'''(x)=e^{2f(x)}\cdot2f'(x) =2e^{2f(x)}e^{f(x)}=2e^{3f(x)}.$$

最后使用初值 $f(2)=1$，可得

$$f'''(2)=2e^{3\cdot1}=2e^3.$$

还可从 $f''=e^ff'$ 用乘积法则检验：$f'''=e^f(f')^2+e^ff''$，两项在 $x=2$ 处均为 $e^3$。这样既能核对系数 $2$，也说明求导和代入初值的顺序。

初值给的是函数值，不是导数值。必须结合题设关系，依次得到 $f'(2)=e$、$f''(2)=e^2$，再得到三阶导数。这里每一步都使用了同一个点的函数值，所求结果并不依赖邻域外如何定义这个函数。

易错点

对 $e^{f(x)}$ 求导必须乘 $f'(x)$；对 $e^{2f(x)}$ 求导还必须保留系数 $2$，不能提前把 $f(x)$ 换成常数 $1$ 再求导。

答案：$4\,\mathrm{d}x-2\,\mathrm{d}y$。

解题思路

$z=f(4x^2-y^2)$ 是一个一元函数与二元函数的复合。题目只给出了外层函数在 $0$ 处的导数，因此应先检查指定点的内层函数值是不是 $0$。全微分保留的是关于 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 的一次部分，用链式法则分别求偏导数后代入即可，不需要知道外层函数的具体形式。

详细步骤

记内层函数为 $u(x,y)=4x^2-y^2$。在点 $(1,2)$，

$$u(1,2)=4\cdot1^2-2^2=0,$$

所以本题恰好可以使用 $f'(0)=1/2$。多项式 $u$ 可微，外层 $f$ 也可微，复合函数因此可微，且

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} =8x f'(4x^2-y^2), \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-2y f'(4x^2-y^2).$$

将 $x=1,y=2$ 和 $f'(0)=1/2$ 代入，得到 $z_x(1,2)=4$、$z_y(1,2)=-2$。由可微函数全微分的定义，

$$\mathrm{d}z\big|_{(1,2)} =z_x(1,2)\mathrm{d}x+z_y(1,2)\mathrm{d}y =4\,\mathrm{d}x-2\,\mathrm{d}y.$$

点坐标用于计算系数，$\mathrm{d}x$ 与 $\mathrm{d}y$ 仍表示独立的微小变化量，不能把它们也替换成 $1$、$2$。

若从该点实际移动到 $(1+h,2+k)$，可微性的含义是函数增量等于 $4h-2k$ 加上一个比移动距离更小阶的余项。全微分只取其中的线性部分，因此答案不是函数值，也不是整个有限增量。题设外层可微还保证链式法则产生的这一线性近似确实成立。

易错点

$f'(0)$ 是外层导数，并非整个复合函数的偏导数；对 $-y^2$ 求导的负号不能遗漏。

答案：$|B|=2$。

解题思路

题目要求的是行列式而不是矩阵全部元素，因此先把含 $B$ 的项整理成矩阵乘积，再使用行列式的乘法性质。这比逐个设未知元素求解更直接。特别要注意，行列式不具有对加法的线性分配关系，不能把 $|B+2E|$ 拆成 $|B|+|2E|$。

详细步骤

由 $BA=B+2E$，移项并在左侧提取共同的左因子 $B$，得到

$$BA-BE=B(A-E)=2E.$$

单位矩阵 $E$ 满足 $BE=B$。先计算

$$A-E=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}, \qquad |A-E|=1\cdot1-1\cdot(-1)=2.$$

因为这是一个非零行列式，$A-E$ 可逆，原矩阵方程确实存在唯一解 $B=2(A-E)^{-1}$。对乘积等式取行列式，利用二阶矩阵的数量因子规律，

$$|B|\,|A-E|=|2E|=2^2|E|=4.$$

于是 $2|B|=4$，所以 $|B|=2$。若作进一步检验，则

$$B=2\cdot\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix},$$

其行列式也是 $1-(-1)=2$。乘积取行列式和直接求逆的两种方法结果一致。

整理时保持乘法顺序也很重要：共同因子 $B$ 出现在两个项的左侧，因而得到 $B(A-E)$。矩阵乘法一般不可交换，不能未经验证就把这一步改写成 $(A-E)B$；本题只用已知乘积的行列式性质即可完成计算。

易错点

$|2E|$ 对二阶矩阵等于 $4$，不是 $2$；应先整理矩阵等式，再取行列式，不能对矩阵和随意拆分。

答案：$1/9$。

解题思路

求两个数最大值的分布时，先把最大值事件改写为原变量的事件：最大值不超过一个数，当且仅当每个变量都不超过这个数。此后使用均匀分布的区间长度比求单个概率，再由相互独立把交事件的概率写成乘积。这里的独立性是乘法公式成立的关键条件。

详细步骤

设 $M=\max\{X,Y\}$。事件之间有严格的等价关系：

$$\{M\le1\}=\{X\le1\}\cap\{Y\le1\}.$$

由于 $X$、$Y$ 均服从 $[0,3]$ 上的均匀分布，各自的概率密度在该区间内为 $1/3$，区间外为零。因此

$$P(X\le1)=\int_0^1\frac13\,\mathrm{d}x=\frac13, \qquad P(Y\le1)=\frac13.$$

独立随机变量关于自身的事件仍相互独立，故

$$P(M\le1)=P(X\le1)P(Y\le1)=\frac13\cdot\frac13=\frac19.$$

从几何上也可以核对：联合分布均匀地落在边长为 $3$ 的正方形内，目标事件对应其中边长为 $1$ 的小正方形，其面积比为 $1/9$。由于均匀分布是连续型分布，边界 $X=1$、$Y=1$ 的概率为零，不影响使用闭区间计算。

易错点

最大值不超过 $1$ 要求两个条件同时成立；若把它改成“至少一个变量不超过 $1$”，计算的就是最小值事件。

答案：$ES^2=2$，其中 $S^2=\dfrac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$，$n\ge2$。

解题思路

简单随机样本意味着样本变量独立同分布。按统计学中样本方差 $S^2$ 的标准定义，它是总体方差的无偏估计，所以先算总体方差即可。密度关于原点对称，均值为零，方差便等于二阶原点矩。无偏性还需要总体具有有限二阶矩，本题通过积分可以直接验证。

详细步骤

密度 $f(x)=e^{-|x|}/2$ 为偶函数，$xf(x)$ 为奇函数且绝对可积，所以 $EX=0$。二阶矩为

$$EX^2=\frac12\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-|x|}\,\mathrm{d}x =\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}\,\mathrm{d}x.$$

分部积分两次，边界项因指数衰减均为零：

$$\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}\,\mathrm{d}x =2\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,\mathrm{d}x =2\int_0^{+\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x=2.$$

因此 $DX=EX^2-(EX)^2=2$。利用恒等式

$$\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2 =\sum_{i=1}^n(X_i-EX)^2-n(\overline X-EX)^2,$$

取期望并用独立性给出的 $D\overline X=DX/n$，分子期望等于 $nDX-n(DX/n)=(n-1)DX$。除以 $n-1$ 即得 $ES^2=DX=2$。

分部积分中的边界项分别含 $x^2e^{-x}$ 与 $xe^{-x}$；它们在无穷远趋于零，在零点也为零，所以没有遗漏边界贡献。使用偶函数对称性时，密度自带的二分之一与两侧积分的倍数相消，最后只保留一个正半轴积分。

易错点

本题采用分母 $n-1$ 的标准样本方差；若另定义分母为 $n$ 的经验方差，其期望为 $2(n-1)/n$，不可混用。无偏性不要求总体为正态分布。

答案：A，即 $0<\mathrm{d}y<\Delta y$。

解题思路

增量 $\Delta y$ 是函数值的实际变化，微分 $\mathrm{d}y$ 是切线给出的线性变化。由 $f'>0$ 可以先判断微分为正；由 $f''>0$ 可知一阶导数严格递增，向右移动后平均变化率大于起点的变化率。把这些几何直觉用中值定理写成严格的不等式，就能确定两者的大小顺序。

详细步骤

在题设导数条件成立的区间内，增量和微分分别为

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0), \qquad \mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x.$$

由 $f'(x_0)>0$ 且 $\Delta x>0$，有 $\mathrm{d}y>0$。函数具有二阶导数，故在所考察的闭区间上连续、开区间内可导，中值定理给出某个 $\xi\in(x_0,x_0+\Delta x)$，使

$$\Delta y=f'(\xi)\Delta x.$$

再对 $f'$ 使用单调性判定：由于 $f''(x)>0$，$f'$ 严格递增，且 $\xi>x_0$，所以 $f'(\xi)>f'(x_0)$。乘以正数 $\Delta x$，不等号方向不变，得到

$$\Delta y=f'(\xi)\Delta x>f'(x_0)\Delta x=\mathrm{d}y>0.$$

因此只有 A 正确。这里是有限正增量下的严格比较，不只是“增量与微分在很小增量下近似相等”的说法。

若把二阶导数条件弱化为非负，只能一般地得到微分不超过增量；本题处处严格为正，才保证比较中不能取等号。

易错点

可微不代表 $\Delta y=\mathrm{d}y$；比较大小还要利用二阶导数及增量的符号，不能只用 $f'>0$。

答案：C；$f(0)=0$，且 $f'_+(0)=1$。

解题思路

虽然题目中 $h$ 从左右两侧趋于零，但代入函数的自变量是 $h^2$，它只能从右侧趋于零。先由已知有限极限和连续性确定 $f(0)$，再把 $t=h^2$ 换成普通的右侧自变量，识别右导数定义。左半轴没有出现在极限条件中，不能据此推断左导数存在。

详细步骤

已知 $f(h^2)/h^2\to1$，于是

$$f(h^2)=h^2\frac{f(h^2)}{h^2}\longrightarrow0.$$

另一方面，$f$ 在零点连续，且 $h^2\to0$，所以同一函数值还趋于 $f(0)$。极限唯一性给出 $f(0)=0$。现在令 $t=h^2$，当 $h\to0$ 时 $t\to0^+$；任意足够小的正数 $t$ 都可以取 $h=\sqrt t$，因此这不只是限制在个别点上的极限，而是完整的右侧极限：

$$f'_+(0)=\lim_{t\to0^+}\frac{f(t)-f(0)}t =\lim_{t\to0^+}\frac{f(t)}t=1.$$

为了说明左导数确实不能保证，可取连续函数

$$f(x)=\begin{cases}x,&x\ge0,\\\sqrt{-x},&x<0.\end{cases}$$

它满足题设极限，但左差商为 $\sqrt{-x}/x=-1/\sqrt{-x}$，没有有限极限。故 A 不能由题设推出，B、D 则与 $f(0)=0$ 矛盾。

连续性在这里确实不可省：若只保留给定极限，零点以外的函数值仍满足条件，但单独改变 $f(0)$ 就会破坏右导数结论。

易错点

$h$ 的双侧变化不等于 $h^2$ 的双侧变化；求导数必须先确定被减去的函数值 $f(0)$，不能未经说明就写成 $f(t)/t$。

答案：D。

解题思路

“级数收敛”只保证部分和趋于有限值，并不保证绝对收敛。对 D 中相邻两项的平均，直接整理有限部分和最稳妥，因为这样只用到了原题给出的收敛条件。其余选项可以用条件收敛级数检验：若找到一个满足题设却使选项级数发散的例子，就能排除“必然收敛”的断言。

详细步骤

设原级数的部分和为 $s_N=\sum_{n=1}^Na_n$，已知 $s_N\to s$。收敛级数的通项必须趋于零，所以 $a_{N+1}\to0$。D 对应的部分和为

$$\begin{aligned} t_N&=\frac12\left(\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=1}^Na_{n+1}\right)\\ &=\frac12\left(s_N+s_N-a_1+a_{N+1}\right) =s_N-\frac{a_1}{2}+\frac{a_{N+1}}2. \end{aligned}$$

于是 $t_N\to s-a_1/2$，D 所给级数必收敛。为排除另外三项，取

$$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}.$$

$1/\sqrt n$ 单调趋于零，原交错级数由莱布尼茨判别法收敛。但 A 是发散的 $p$ 级数 $\sum1/\sqrt n$；B 是 $-\sum1/\sqrt n$，也发散。C 的通项为

$$a_na_{n+1}=-\frac1{\sqrt{n(n+1)}}.$$

由于 $1/\sqrt{n(n+1)}\ge1/(n+1)$，其绝对值组成的正项级数发散，所有项又同为负数，故 C 的部分和趋于负无穷。

相邻项平均后的级数和通常不是原级数和，而是少了首项的一半；部分和中的末端修正则因通项趋于零而消失。证明收敛与计算其和可以在同一个恒等式中完成。

易错点

$a_n\to0$ 是级数收敛的必要条件，不能单独用来证明 C 收敛；不能把条件收敛等同于绝对收敛。

答案：B，即 $y=y_1+C(y_1-y_2)$。

解题思路

线性非齐次方程的通解由“一个非齐次特解”和“对应齐次方程的通解”相加得到。题目已经提供两个不同的特解，它们的差会消去右端的非齐次项，产生一个非零齐次解。一阶齐次方程的解空间只有一个自由常数，因此这个差的任意常数倍就能表示齐次通解。

详细步骤

两个已知解分别满足

$$y_1'+P(x)y_1=Q(x),\qquad y_2'+P(x)y_2=Q(x).$$

两式相减，令 $w=y_1-y_2$，得到

$$w'+P(x)w=0.$$

因为 $y_1,y_2$ 是不同的解，$w$ 不是恒等于零的函数。在同一解区间内，一阶线性齐次方程的通解结构为

$$y_h=K e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}.$$

已知非零齐次解 $w$ 对应一个非零常数系数，所以所有齐次解也可写成 $Cw$。于是非齐次通解为 $y_1+Cw=y_1+C(y_1-y_2)$。代回原方程还可检验：

$$(y_1+Cw)'+P(y_1+Cw) =Q+C(w'+Pw)=Q.$$

A 只包含齐次部分，缺少非齐次特解；而 $y_1+y_2$ 满足的右端为 $2Q$，其任意倍不能作为所需的齐次通解，因此 C、D 不符合通解结构。

易错点

两个非齐次解的差是齐次解，和一般不是齐次解；任意线性组合 $(1+C)y_1-Cy_2$ 的系数和为 $1$，这正是右端仍为 $Q$ 的原因。

答案：D。

解题思路

约束极值不能直接要求 $f_x=f_y=0$，因为允许移动的方向受到 $\varphi=0$ 限制。题设 $\varphi_y\ne0$ 使约束在极值点附近可以写成 $y=y(x)$，于是问题变成一元复合函数的极值。对该复合函数求导为零，便能得到两个偏导数之间的必要关系。

详细步骤

以下偏导数均在 $(x_0,y_0)$ 处取值。由约束恒等式 $\varphi(x,y(x))=0$，沿约束求导：

$$\varphi_x+\varphi_y y'(x_0)=0, \qquad y'(x_0)=-\frac{\varphi_x}{\varphi_y}.$$

题设分母非零，因此可以除。令 $F(x)=f(x,y(x))$，约束极值对应 $F$ 的局部极值，由可导函数极值的必要条件，

$$0=F'(x_0)=f_x+f_y y'(x_0) =f_x-f_y\frac{\varphi_x}{\varphi_y}.$$

等价地，$f_x\varphi_y-f_y\varphi_x=0$。若 $f_x\ne0$ 却有 $f_y=0$，该等式会变成 $f_x\varphi_y=0$，与两个因子非零矛盾，所以必有 $f_y\ne0$，D 正确。

本题没有说偏导数连续，不能擅自把它写成已知条件。题设 $\varphi_y(x,y)$ 在讨论邻域处处非零，结合可微函数的连续性与沿 $y$ 的严格单调性，可以建立此处所需的局部隐函数及上述导数关系。对 A、B，也可用约束 $y=0$ 检验：$f=x^2+y$ 在原点沿约束取极小值，却有 $f_x=0,f_y=1$；$f=x^2$ 同样取极小值，却有 $f_x=f_y=0$。因此 $f_x=0$ 时，$f_y$ 可以为零，也可以不为零。

C 也有实际反例：取约束 $\varphi=y-x=0$，目标函数 $f=(x+y)^2+x-y$。沿约束目标函数为 $4x^2$，在原点取极小值，但该点 $f_x=1,f_y=-1$，并不满足 C 要求的 $f_y=0$。

易错点

只可使用约束方向上的导数为零，不能套用无约束驻点条件；$\varphi_y\ne0$ 是排除 D 中反例的关键，必须保留。

答案：A。

解题思路

判断线性相关应回到定义：是否存在一组不全为零的系数，使向量的线性组合等于零。矩阵乘法是线性映射，它会保留已经存在的线性关系；但若映射把某些非零向量送到零向量，就可能使原来的线性无关组变成相关组。因此两个方向的结论不能混为一谈。

详细步骤

已知 $a_1,\ldots,a_s$ 线性相关，按定义存在不全为零的实数 $k_1,\ldots,k_s$，使

$$k_1a_1+\cdots+k_sa_s=0.$$

在等式两边左乘尺寸匹配的 $m\times n$ 矩阵 $A$，并利用乘法对加法的分配律，得到

$$k_1Aa_1+\cdots+k_sAa_s =A(k_1a_1+\cdots+k_sa_s)=A0=0.$$

系数仍是原来的 $k_i$，仍不全为零，故像向量组 $Aa_1,\ldots,Aa_s$ 线性相关，A 正确，B 与此直接矛盾。

C、D 都不能对任意矩阵成立。为反驳 C，可以取 $m=n$、$A=E$，则原线性无关组经过变换仍保持原样。为反驳 D，可以取 $A=0$，原组即使无关，所有像向量也都是零向量，必然相关。要让无关性对任意原无关组都保持，还需线性映射是单射，例如 $A$ 列满秩，而题目没有这样的条件。

易错点

证明相关时必须说明系数“不全为零”；左乘任意矩阵可以保留相关性，但保持无关性需要额外的秩条件。

答案：B，即 $C=PAP^{-1}$。

解题思路

矩阵的行变换对应左乘初等矩阵，列变换对应右乘初等矩阵。先确定每一次操作的位置和方向，再把两个乘积接起来。本题给出的 $P$ 正好表示“第 2 行加到第 1 行”，而列操作的矩阵需要单独识别，不能机械地把 $P$ 转置。

详细步骤

记 $A$ 的三行为 $r_1,r_2,r_3$，则

$$PA= \begin{pmatrix} r_1+r_2\\r_2\\r_3 \end{pmatrix}=B.$$

这与题目第一步一致。接下来要求把 $B$ 的第 1 列的负一倍加到第 2 列，即保持第 1、3 列不动，把第 2 列改为“原第 2 列减原第 1 列”。设右乘矩阵

$$R=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

若 $B=(b_1,b_2,b_3)$ 按列表示，则

$$BR=(b_1,b_2-b_1,b_3)=C.$$

再直接计算 $PR=RP=E$，可见 $R=P^{-1}$。因此

$$C=BR=(PA)P^{-1}=PAP^{-1}.$$

这说明两次操作组合为相似变换。A 交换了左右初等矩阵，C、D 使用的 $P^T$ 则把非零的非对角元素放在了错误位置，不能表示指定的列操作。

识别右乘矩阵时看它的各列最可靠：第二列 $(-1,1,0)^T$ 正好指定新列为负的第一旧列加第二旧列。这个检查也能避免把“第几列加到第几列”记反。

易错点

行操作左乘、列操作右乘，次序必须保持；$P^{-1}$ 与 $P^T$ 在本题不相等，不能因两者都有相同的对角线就混用。

答案：A，即 $\sigma_1<\sigma_2$。

解题思路

概率事件以各自均值为中心，所以均值的位置会在标准化时消失。中心区间的半宽固定为 $1$，标准差越小，分布越集中，落在这个区间内的概率越大。要把这一直觉变成严格推导，应使用标准正态分布函数的严格递增性质。

详细步骤

正态分布的标准差 $\sigma_1,\sigma_2$ 均为正数。标准化后，令

$$Z_1=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1},\qquad Z_2=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2},$$

二者各自均服从 $N(0,1)$。不需要假设 $X,Y$ 独立，因为这里比较的都是单个变量的概率。记标准正态分布函数为 $\Phi$，利用分布的对称性，得到

$$P(|X-\mu_1|<1) =P\left(-\frac1{\sigma_1}<Z_1<\frac1{\sigma_1}\right) =2\Phi(1/\sigma_1)-1,$$

同理，$P(|Y-\mu_2|<1)=2\Phi(1/\sigma_2)-1$。由给定的严格概率不等式，

$$\Phi(1/\sigma_1)>\Phi(1/\sigma_2).$$

标准正态密度处处为正，因此 $\Phi$ 严格递增，故 $1/\sigma_1>1/\sigma_2$。两标准差均为正，取倒数后不等号反向，得到 $\sigma_1<\sigma_2$。整个过程没有留下关于均值的限制，所以 C、D 均不能推出。

若两者标准差相等，这两个中心区间的概率就相等，无论均值相隔多远。因此题设的严格概率比较确实只能来自标准差差异。

易错点

比较的是围绕各自均值的区间概率，不能据此比较均值大小；对正数取倒数会改变不等号方向。

答案：$g(x)=\dfrac1x-\dfrac{1-\pi x}{\arctan x}$（$x>0$）；$\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=\pi$。

解题思路

这是先对 $y$ 再对 $x$ 求极限的两步问题。第一步应把 $x>0$ 固定，使用 $\sin t/t\to1$ 处理带 $y$ 的正弦项。第二步中两个无穷大的差不能分别取极限，应合并成一个分式，揭示抵消后实际剩下的阶数，最后再处理有限的那一项。

详细步骤

（1）固定 $x>0$。此时 $1+xy>0$，且 $\arctan x>0$，原函数的分母合法。对于第一项，

$$\frac{y}{1+xy}=\frac1{1/y+x}\longrightarrow\frac1x.$$

令 $t=\pi x/y$，则 $y\to+\infty$ 时 $t\to0^+$，并且

$$y\sin\frac{\pi x}{y} =\pi x\frac{\sin t}{t}\longrightarrow\pi x.$$

故 $g(x)=1/x-(1-\pi x)/\arctan x$。

（2）拆分并合并有抵消的部分：

$$g(x)=\frac{\arctan x-x}{x\arctan x} +\pi\frac{x}{\arctan x}.$$

由 $\arctan x/x\to1$，第二项趋于 $\pi$。第一项可以利用积分给出严格估计：当 $x>0$ 时，

$$0\le x-\arctan x =\int_0^x\frac{t^2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t \le\int_0^xt^2\,\mathrm{d}t=\frac{x^3}{3}.$$

因此

$$\left|\frac{\arctan x-x}{x\arctan x}\right| \le\frac{x^2}{3\arctan x} =\frac{x}{3}\frac{x}{\arctan x}\longrightarrow0.$$

夹逼定理说明第一项趋于零，合起来得到所求极限 $\pi$。

这里用到的反正切比值极限也有直接依据：反正切在零点的函数值为零，导数为一，因此按导数定义，其函数值与自变量之比趋于一。第一项的分子与分母都趋于零，但分子至多为三次小量，分母相当于二次小量，所以相除仍趋于零；上述积分估计把这一阶数比较写成了严格的界。

易错点

不能把两个趋于正无穷的项作“无穷减无穷”的算术；第一步固定 $x$ 后才令 $y$ 趋于无穷，不能擅自交换两次极限。