2024年考研数学三真题

答案：D，即在 $x=1$ 处不连续，在 $x=-1$ 处连续。

解题思路

题目先用关于 $n$ 的极限定义函数，再考查这个函数关于 $x$ 的连续性。因此要先把 $x$ 当作固定常数，求出 $f(x)$ 的具体表达式；随后分别比较两个端点的左极限、右极限和函数值。分母中的 $x^{2n}=|x|^{2n}$ 提示我们按 $|x|<1$、$|x|>1$、$|x|=1$ 分类。

详细步骤

1. 当 $|x|<1$ 时，令 $q=x^2\in[0,1)$。几何衰减的速度快于 $n$ 的增长，所以 $nq^n\to0$。例如 $0<q<1$ 时，相邻项之比为 $q(n+1)/n\to q<1$，足以说明 $nq^n\to0$；$q=0$ 时结论直接成立。因此

   $$f(x)=\frac{1+x}{1+0}=1+x.$$

2. 当 $|x|>1$ 时，$nx^{2n}\to+\infty$，分子是固定的有限数，因此 $f(x)=0$。在 $x=1$ 时，$f(1)=\lim 2/(1+n)=0$；在 $x=-1$ 时，分子恒为零，所以 $f(-1)=0$。合并得

   $$f(x)=\begin{cases}1+x,&-1<x<1,\\0,&x\le-1\text{ 或 }x\ge1.\end{cases}$$

3. 在 $x=-1$ 处，左侧函数为零，右侧函数为 $1+x$，故

   $$\lim_{x\to-1^-}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=0=f(-1).$$

   在 $x=1$ 处，$\lim_{x\to1^-}f(x)=2$，而 $\lim_{x\to1^+}f(x)=0=f(1)$，左右极限不同，所以不连续。选 D。

连续性要求的是在考查点附近函数值能否靠近该点的实际取值，单独知道 $f(1)=0$ 并不够。这个点从左侧接近时，表达式始终采用 $1+x$，所以函数值接近 $2$；从右侧接近时却始终为零。相反，负端点内侧的 $1+x$ 也趋于零，能与外侧的零值接上。分段函数的端点检查应分别列出两侧表达式，而不能把端点代入一条只适用于开区间的公式。

易错点

• 先求 $n\to\infty$ 的极限，得到函数之后，再求 $x$ 的左右极限；这两种极限不能混为一谈。
• $x=-1$ 和 $x=1$ 虽然都满足 $x^{2n}=1$，但分子 $1+x$ 在两个点附近的行为不同，连续性也不同。

答案：B，积分只与 $k$ 有关，且 $I=2k$。

解题思路

带绝对值的正弦函数 $g(x)=|\sin x|$ 的周期是 $\pi$。本题积分区间的长度恰好是整数个周期，关键性质是：周期函数在任意一个完整周期上的积分，与起点无关。因此先求一个周期的积分，再处理正、零、负三种整数 $k$。

详细步骤

1. 因为 $\sin(x+\pi)=-\sin x$，取绝对值后得到 $g(x+\pi)=g(x)$。在 $[0,\pi]$ 上正弦非负，所以

   $$\int_0^\pi g(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x=[-\cos x]_0^\pi=2.$$

2. 说明任意起点的一个周期积分也为 $2$。利用周期性把起点移到 $r\in[0,\pi)$，并拆开区间，可得

   $$\int_r^{r+\pi}g(x)\,\mathrm{d}x =\int_r^\pi g(x)\,\mathrm{d}x+\int_\pi^{r+\pi}g(x)\,\mathrm{d}x =\int_r^\pi g(x)\,\mathrm{d}x+\int_0^r g(u)\,\mathrm{d}u=2.$$

3. 若 $k>0$，把 $[a,a+k\pi]$ 分成 $k$ 个长度为 $\pi$ 的区间，每段积分都是 $2$，故 $I=2k$。若 $k=0$，上下限相同，$I=0=2k$。若 $k<0$，设 $k=-m$，其中 $m>0$，则

   $$I=\int_a^{a-m\pi}g(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{a-m\pi}^a g(x)\,\mathrm{d}x=-2m=2k.$$

因此 $I$ 与起点 $a$ 无关，只取决于 $k$，选 B。

还可以从积分的几何意义理解起点无关：把一个周期的起点向右移动，区间左端被删掉的一小段与右端新添的一小段，在周期平移后完全重合，所以两块面积相等。只要终点与起点相距整周期，整体积分就保持固定。这里长度为 $\pi$ 的一段积分是 $2$，不是周期长度本身；先计算这一份，再按周期数累加才能得到正确数值。

易错点

• $|\sin x|$ 的基本周期是 $\pi$，而不是 $2\pi$。
• 被积函数非负不代表定积分一定非负；$k<0$ 时上下限倒置，积分必须取负号。

答案：A。

解题思路

交换二重积分的积分次序，本质是用另一种方式描述同一个区域。原式先固定 $x$，让 $y$ 从曲线 $y=\sin x$ 向上走到 $y=1$；交换后要先确定区域在 $y$ 轴上的投影，再固定 $y$ 寻找 $x$ 的左右边界。由于 $\sin x$ 在 $[\pi/6,\pi/2]$ 上严格递增，可以安全地用反函数 $\arcsin y$ 描述边界。

详细步骤

1. 原积分区域为

   $$D=\{(x,y):\pi/6\le x\le\pi/2,\ \sin x\le y\le1\}.$$

   在给定的 $x$ 区间内，$\sin x$ 从 $1/2$ 增加到 $1$，所以区域中 $y$ 的最小值是 $1/2$，最大值是 $1$。新积分的外层范围应为 $1/2\le y\le1$。

2. 固定一个 $y\in[1/2,1]$。条件 $\sin x\le y$，结合 $x\in[\pi/6,\pi/2]$ 上正弦的单调性，等价于 $x\le\arcsin y$。再结合原来的左边界 $x\ge\pi/6$，得到

   $$\pi/6\le x\le\arcsin y.$$

   例如 $y=1/2$ 时，水平截线只包含左下端点；$y=1$ 时，水平截线覆盖整个 $x$ 区间。这也能核验边界方向。

3. 因而交换次序后的积分为

   $$\int_{1/2}^1\mathrm{d}y\int_{\pi/6}^{\arcsin y}f(x,y)\,\mathrm{d}x.$$

   被积函数连续，区域有界，满足二重积分交换次序的条件。与选项 A 一致。

一般换序题可以照此分为“外层投影”和“内层截线”两个动作：外层列出区域能够达到的全部高度，内层在每个高度找真正位于区域内的水平线段。如果暂时不确定方向，可取一个中间高度，例如 $y=\sqrt3/2$，此时曲线交点在 $x=\pi/3$，允许的是 $\pi/6$ 到 $\pi/3$ 这一段，而不是从 $\pi/3$ 向右到 $\pi/2$。

易错点

• 区域在曲线 $y=\sin x$ 的上方，对固定 $y$ 来说却位于 $x=\arcsin y$ 的左侧，不能直接凭“上方”猜出新上下限。
• 新外层下限是 $\sin(\pi/6)=1/2$，而不是 $0$。

答案：A，即 $-\dfrac16$。

解题思路

所求是幂级数的偶数次系数，并且每个系数乘上 $n$。先把 $\ln(2+x)$ 转化为熟悉的 $\ln(1+u)$ 展开，再从一般系数中取出 $a_{2n}$。乘上 $n$ 后，分母里的 $2n$ 会简化，最后变成等比级数。

详细步骤

1. 将常数 $2$ 提出来：

   $$\ln(2+x)=\ln2+\ln\left(1+\frac x2\right).$$

   基本展开式为 $\ln(1+u)=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}u^m/m$，在 $|u|<1$ 内成立。因此在 $|x|<2$ 内，

   $$\ln(2+x)=\ln2+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m2^m}x^m.$$

2. 幂级数表示在收敛区间内部的系数唯一，故 $a_0=\ln2$，对 $m\ge1$ 有

   $$a_m=\frac{(-1)^{m-1}}{m2^m}.$$

   取 $m=2n$，其中 $n\ge1$，偶数次项符号为负，得到

   $$a_{2n}=-\frac1{2n\,2^{2n}},\qquad na_{2n}=-\frac1{2\cdot4^n}.$$

3. 原级数中 $n=0$ 的项为 $0\cdot a_0=0$，应单独处理，不把 $n=0$ 代入上面的分母。剩余等比级数的公比为 $1/4$，绝对值小于 $1$，所以

   $$\sum_{n=0}^{\infty}na_{2n}=-\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^n =-\frac12\frac{1/4}{1-1/4}=-\frac16.$$

注意目标中的下标和权重不同：$a_{2n}$ 来自原展开的第 $2n$ 次项，但乘在它前面的权重仍是 $n$。这就是为什么简化后留下了一个 $1/2$。等比求和还要辨认首项是 $1/4$，并非 $1$；若从 $n=0$ 开始套等比公式，就会误多加一项。先分离零项，再确认非零项的首项、公比，是处理这类系数求和的可靠顺序。

易错点

• 取偶数次系数时，应将展开式的指标换成 $m=2n$，分母是 $2n\cdot2^{2n}$。
• $a_0$ 不服从含 $1/m$ 的公式，但它在所求和式中的贡献为零。

答案：C，$|A|=-6$，$\operatorname{tr}A=2$。

解题思路

二次型的矩阵采用对称矩阵表示。一般的非退化线性替换会改变矩阵的特征值，但正交替换具有特殊性质：它既是合同变换，又是相似变换。因此标准形中的平方项系数就是原对称矩阵的特征值，可以直接通过乘积与和求出行列式、迹。

详细步骤

1. 设题中的正交替换为 $x=Qy$。正交矩阵满足 $Q^{\mathsf T}Q=E$，于是 $Q^{\mathsf T}=Q^{-1}$。代入二次型：

   $$x^{\mathsf T}Ax=y^{\mathsf T}(Q^{\mathsf T}AQ)y.$$

   题目给出替换后的二次型为 $y_1^2-2y_2^2+3y_3^2$，故

   $$Q^{\mathsf T}AQ=\operatorname{diag}(1,-2,3).$$

2. 因为 $Q^{\mathsf T}AQ=Q^{-1}AQ$，右侧对角矩阵与 $A$ 相似。相似矩阵具有相同的特征值、行列式和迹。因此 $A$ 的特征值为 $1,-2,3$。

3. 行列式是全部特征值的乘积，迹是全部特征值的和，分别计算：

   $$|A|=1\times(-2)\times3=-6, \qquad \operatorname{tr}A=1-2+3=2.$$

   也可以直接对相似等式取行列式，用 $|Q^{-1}|\,|Q|=1$ 得到同样结果；对角矩阵的迹则直接等于对角元素之和。两个数与选项 C 一致。

易错点

• 利用平方项系数求特征值依赖于这里的“正交变换”；一般合同变换不能这样推断。
• 负系数 $-2$ 要同时带入乘积和求和，行列式与迹的符号需分别计算。

答案：C，即 $A=\operatorname{diag}(a,b,c)$。

解题思路

题目给出的等式是 $P^{\mathsf T}AP^2$，右侧的 $P$ 带二次方。它不能套用标准的 $P^{\mathsf T}AP$ 合同变换结论。正确办法是先算 $P^2$，再利用 $P$ 可逆，把左、右两边的矩阵因子消去，直接求出 $A$。

详细步骤

1. $P$ 是对角元素均为 $1$ 的下三角矩阵，$|P|=1\ne0$，因此可逆。计算得

   $$P^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{pmatrix},\quad P^{-2}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix},\quad (P^{\mathsf T})^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

2. 记右侧矩阵为

   $$C=\begin{pmatrix}a+2c&0&c\\0&b&0\\2c&0&c\end{pmatrix}.$$

   在等式左侧乘 $(P^{\mathsf T})^{-1}$，右侧乘 $P^{-2}$，得到 $A=(P^{\mathsf T})^{-1}CP^{-2}$。先做左乘，它相当于从 $C$ 的第一行减去第三行：

   $$(P^{\mathsf T})^{-1}C=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\2c&0&c\end{pmatrix}.$$

3. 再右乘 $P^{-2}$。新第一列等于原第一列减去原第三列的两倍，第二、三列不变，所以

   $$A=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\2c&0&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}.$$

   两边因子可逆，求得的 $A$ 是唯一的，故选 C。

这题中不需要对 $a,b,c$ 作非零假设，因为消去操作依赖的是已知矩阵 $P$ 的可逆性，而不是 $A$ 或右侧矩阵的可逆性。即使某个参数为零，矩阵乘法计算仍成立。对矩阵等式作“移项除法”时，应理解成指定位置的左乘或右乘逆矩阵；先说明逆存在，再按原因子的顺序消去，才能避免把普通数的交换律错误套到矩阵上。

易错点

• 右侧是 $P^2$，消去它必须右乘 $P^{-2}$，不能右乘 $P^{-1}$。
• 矩阵乘法一般不可交换；消去左因子和右因子时，乘的位置不能互换。

答案：B，即 $a=0$ 或 $a=\dfrac32$。

解题思路

题目同时给出一个行列式值和三个余子式的关系，适合先把余子式条件化成 $a,b$ 的简单关系，再代入行列式方程消去 $b$。注意题中 $M_{ij}$ 是余子式，展开行列式时还需乘 $(-1)^{i+j}$，第二行的三个符号依次为负、正、负。

详细步骤

1. 删去对应的行、列，计算三个二阶余子式：

   $$M_{21}=\begin{vmatrix}b&3\\1&2\end{vmatrix}=2b-3,\quad M_{22}=\begin{vmatrix}a+1&3\\1&2\end{vmatrix}=2a-1,$$

   $$M_{23}=\begin{vmatrix}a+1&b\\1&1\end{vmatrix}=a+1-b.$$

   因而 $-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$ 化为

   $$-(2b-3)+(2a-1)-(a+1-b)=a+1-b=0,$$

   即 $b=a+1$。

2. 沿 $A$ 的第二行展开行列式：

   $$|A|=-aM_{21}+\frac b2M_{22}-M_{23} =-a(2b-3)+\frac b2(2a-1)-(a+1-b).$$

   合并得到 $|A|=-ab+2a+b/2-1=-(b/2-1)(2a-1)$。由 $|A|=-1/2$，得

   $$(b/2-1)(2a-1)=\frac12.$$

3. 代入 $b=a+1$ 并乘以 $2$：

   $$(a-1)(2a-1)=1 \ \Longrightarrow\ 2a^2-3a=0 \ \Longrightarrow\ a(2a-3)=0.$$

   所以 $a=0$ 或 $a=3/2$，对应的 $b$ 分别为 $1$、$5/2$，两个取值都满足原条件，选 B。

余子式条件也可以看成一个辅助行列式：将第二行换成 $(1,1,1)$，再沿第二行展开，恰好得到 $-M_{21}+M_{22}-M_{23}$。这是因为删掉第二行后，余子式只依赖第一、三行，其值不会受到被替换行的影响。这个理解说明辅助条件为什么会产生线性关系，而完整行列式又用原第二行的系数给出另一条方程，两条条件缺一不可。

易错点

• 余子式与代数余子式不同；若把 $M_{21},M_{23}$ 自带负号，会把条件和行列式展开都写错。
• 方程有两个合法根，不能因式分解后漏掉 $a=0$。

答案：B，即三阶中心矩为 $0$。

解题思路

三阶中心矩是 $E[(X-EX)^3]$，必须先确定均值。给定密度 $6x(1-x)$ 关于 $x=1/2$ 对称，均值是对称中心，而关于对称中心的奇数次幂在两侧一正一负、贡献相抵。因此本题可用对称性简化，但仍应说明均值和积分为何抵消。

详细步骤

1. 先计算均值，避免把中心猜错：

   $$EX=\int_0^1x\cdot6x(1-x)\,\mathrm{d}x =6\int_0^1(x^2-x^3)\,\mathrm{d}x =6\left(\frac13-\frac14\right)=\frac12.$$

   密度仅在有限区间上非零，相关矩都存在。

2. 记所求积分为

   $$I=E[(X-EX)^3]=\int_0^1\left(x-\frac12\right)^3 6x(1-x)\,\mathrm{d}x.$$

   令 $u=1-x$，则 $\mathrm{d}x=-\mathrm{d}u$，上下限由 $0,1$ 变为 $1,0$。倒转上下限后，

   $$I=\int_0^1\left(\frac12-u\right)^3 6u(1-u)\,\mathrm{d}u =-\int_0^1\left(u-\frac12\right)^3 6u(1-u)\,\mathrm{d}u=-I.$$

3. $I=-I$ 给出 $2I=0$，因此 $I=0$。也就是说，$x$ 与 $1-x$ 两个位置的密度相同，但偏离均值的三次方互为相反数，积分恰好抵消，选 B。

一般来说，中心矩衡量随机变量相对均值的偏离情况。三次幂保留偏离的正负方向，因此对称分布两侧会抵消；平方则不保留符号，因此方差不会按同样方式抵消。本题的零结果不是因为随机变量没有波动，而是因为向左与向右的三次偏离在密度加权下相互平衡。密度对称只能直接用于关于其对称中心的表达式，均值步骤仍不可省去。

易错点

• 三阶中心矩不是 $EX^3$；后者是非负随机变量的正数矩，不会因这里的对称性等于零。
• 对称抵消适用于围绕 $1/2$ 的奇数次幂，不能据此把方差等偶数阶中心矩也判为零。

答案：B，即 $p_2>p_1>\dfrac12$。

解题思路

相互独立的正态变量的线性组合仍服从正态分布。两个概率可以分别转化成 $2X-Y$、$X-2Y$ 超过给定常数的概率。把它们标准化成同一个标准正态分布函数 $\Phi$ 的值，就能利用 $\Phi$ 严格递增来比较，无须查具体概率数值。

详细步骤

1. 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的第二个参数是方差。因此 $EX=0$、$DX=2$，$EY=-1$、$DY=1$。令 $U=2X-Y$，利用独立性使协方差为零，得到

   $$EU=2EX-EY=1,\qquad DU=4DX+DY=4\times2+1=9.$$

   所以 $U\sim N(1,9)$。将 $U>0$ 标准化，并用标准正态分布的对称性，

   $$p_1=P(U>0)=P\left(\frac{U-1}{3}>-\frac13\right) =1-\Phi(-1/3)=\Phi(1/3).$$

2. 令 $V=X-2Y$，计算其均值和方差：

   $$EV=EX-2EY=2,\qquad DV=DX+4DY=2+4=6.$$

   因而 $V\sim N(2,6)$，

   $$p_2=P(V>1)=P\left(\frac{V-2}{\sqrt6}>-\frac1{\sqrt6}\right) =\Phi(1/\sqrt6).$$

3. 因为 $\sqrt6<3$，所以 $1/\sqrt6>1/3>0$。$\Phi$ 严格递增且 $\Phi(0)=1/2$，于是 $p_2>p_1>1/2$，选 B。

概率大小比较的对象是“阈值距均值有几个标准差”，并不是均值或者方差单独谁大。两次标准化之后，阈值都落在各自均值左侧，所以两个右尾概率都超过一半；第二个阈值的标准化距离更大，右尾概率也就更大。用同一个 $\Phi$ 表示两个概率，可以把概率比较化成实数大小比较，这是正态线性组合选择题最常用的整理方式。

易错点

• 标准化除以标准差 $\sigma$，这里分别为 $3$ 和 $\sqrt6$，不能除以方差。
• 线性组合的方差中系数要平方，$D(-2Y)=4DY$；独立性才允许直接把方差相加。

答案：D，$Z=|X-Y|$ 与 $X$ 同分布。

解题思路

本题指数分布的参数 $\lambda>0$ 是率参数，即密度为 $\lambda e^{-\lambda x}$、$x>0$。要判断绝对差的分布，求尾概率 $P(Z>z)$ 最方便。绝对差超过 $z\ge0$ 包含两种互斥情况：$X>Y+z$ 或 $Y>X+z$；由于 $X,Y$ 独立同分布，两种概率相同。

详细步骤

1. 对 $z\ge0$，

   $$P(Z>z)=P(X>Y+z)+P(Y>X+z)=2P(X>Y+z).$$

   连续型变量满足 $P(X=Y)=0$，所以在 $z=0$ 时这一步也成立。

2. 固定 $Y=y\ge0$。独立性保证 $X$ 的条件分布仍是原来的指数分布，其尾概率为

   $$P(X>y+z)=e^{-\lambda(y+z)}.$$

   对 $Y$ 的密度积分，相当于把每一个可能的 $y$ 对事件的贡献加起来：

   $$P(X>Y+z)=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda(y+z)}\lambda e^{-\lambda y}\,\mathrm{d}y =\lambda e^{-\lambda z}\int_0^{+\infty}e^{-2\lambda y}\,\mathrm{d}y.$$

   由于 $\lambda>0$，最后的积分等于 $1/(2\lambda)$，故 $P(X>Y+z)=e^{-\lambda z}/2$。

3. 得到 $P(Z>z)=e^{-\lambda z}$，即

   $$F_Z(z)=\begin{cases}0,&z<0,\\1-e^{-\lambda z},&z\ge0.\end{cases}$$

   这正是率参数为 $\lambda$ 的指数分布，与 $X$ 相同。$2X$ 的率参数是 $\lambda/2$，而 $X+Y$ 及其一半是两个指数变量之和的缩放，均不等于这里的分布。因此选 D。

这里求的是整条尾概率曲线，而不只是一个点的概率。对所有 $z\ge0$ 都有 $P(Z>z)=e^{-\lambda z}$，再加上 $Z\ge0$，已经唯一确定了分布。对比其他选项也可先看均值：$EX=1/\lambda$，而 $E(X+Y)=2/\lambda$、$E(2X)=2/\lambda$，它们立即排除；$(X+Y)/2$ 虽然均值相同，却不是指数分布，说明均值相同不能单独证明同分布。

易错点

• 把绝对值事件拆成两部分时要保留两倍因子，否则会得到不合法的分布函数。
• 不能仅凭“都由指数变量组成”就判断同分布；需要核对整个分布函数或密度。

答案：$k=3$。

解题思路

同阶无穷小要求两者之比趋于一个有限的非零常数。先观察被积函数：$\sin(t^2)\sim t^2$，分母趋于 $2$，所以被积函数在零点附近相当于 $t^2/2$。对二次小量积分会增加一次幂，提示答案是三次。再用洛必达法则严谨地验证比例常数。

详细步骤

1. 记

   $$H(x)=\int_0^x\frac{(1+t^2)\sin(t^2)}{1+\cos^2t}\,\mathrm{d}t.$$

   被积函数在零点附近连续，且 $1+\cos^2t\ge1$，没有分母为零的问题。因此积分上限求导公式适用：

   $$H'(x)=\frac{(1+x^2)\sin(x^2)}{1+\cos^2x}.$$

2. $x\to0$ 时 $H(x)\to0$、$x^3\to0$。在零点两侧分别使用洛必达法则；$3x^2$ 在去掉零点的邻域内非零，且导数之比有极限：

   $$\lim_{x\to0}\frac{H(x)}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2)\sin(x^2)}{3x^2(1+\cos^2x)} =\frac13\cdot1\cdot1\cdot\frac12=\frac16.$$

   这里用了 $\sin u/u\to1$，其中 $u=x^2\to0$。

3. 因而 $H(x)\sim x^3/6$。它与 $x^3$ 的比值趋于 $1/6\ne0$，正好满足同阶要求，所以 $k=3$。从正、负两侧得到的比例常数相同，即使 $x<0$ 时积分因上下限方向为负，也不改变结果。

“积分增加一次幂”的观察可用简单模型理解：$\int_0^x t^m\mathrm{d}t=x^{m+1}/(m+1)$。本题主项的指数是 $2$，所以预期指数为 $3$；洛必达计算又确定了它的非零比例系数。若尝试与 $x^2$ 比较，比值趋零；与 $x^4$ 比较，绝对值则发散。只有三次幂让比值保持有限非零，这也说明本题指数判断是唯一的。

易错点

• $\sin t^2$ 表示 $\sin(t^2)$，其主项为 $t^2$；并不是 $\sin t$ 的主项 $t$。
• “同阶”不要求比值等于 $1$；本题比值为 $1/6$，仍然是同阶。

答案：$\dfrac12\ln3-\dfrac\pi8$。

解题思路

这是上限为无穷的反常积分。先将四次分母分解为关于 $x^2$ 的两个二次因子，再做部分分式分解，就能分别使用对数和反正切积分公式。计算时应先保留有限上限 $R$，最后让 $R\to+\infty$。

详细步骤

1. 分母分解为

   $$x^4+3x^2-4=(x^2-1)(x^2+4).$$

   在 $x\ge2$ 上两个因子均非零，被积函数连续，且无穷远处为 $O(x^{-4})$，积分收敛。设分解系数为 $A,B$，通分得 $5=A(x^2+4)+B(x^2-1)$。比较系数，$A+B=0$、$4A-B=5$，解得 $A=1$、$B=-1$，所以

   $$\frac5{(x^2-1)(x^2+4)}=\frac1{x^2-1}-\frac1{x^2+4}.$$

2. 第一项还可写成 $\frac12[1/(x-1)-1/(x+1)]$，故一个原函数为

   $$F(x)=\frac12\ln\frac{x-1}{x+1}-\frac12\arctan\frac x2.$$

   在本题区间 $x\ge2$ 上，对数比值为正，所以无需再写绝对值。

3. 计算上下限。$R\to+\infty$ 时，$(R-1)/(R+1)\to1$，$\arctan(R/2)\to\pi/2$，因此 $F(R)\to-\pi/4$。下限处

   $$F(2)=\frac12\ln\frac13-\frac12\arctan1=-\frac12\ln3-\frac\pi8.$$

   所以原积分为

   $$\lim_{R\to+\infty}[F(R)-F(2)]=\frac12\ln3-\frac\pi8.$$

两个分式分别含 $x^2-1$ 和 $x^2+4$，对应的原函数类型不同：前者能分解成实数一次因子，积分产生对数；后者是正平方和，积分产生反正切。面对有理函数积分，先因式分解，再按因子类型选择公式，可以避免盲目换元。最后答案应为正数，因为原被积函数在 $[2,+\infty)$ 上恒正；$\ln3/2-\pi/8$ 的符号与这一基本检查一致。

易错点

• $\int\mathrm{d}x/(x^2+4)=\frac12\arctan(x/2)$，前面的 $1/2$ 不能漏。
• 下限处的对数是 $\ln(1/3)=-\ln3$，代入后还要做“上限减下限”。