2008年考研数学三真题

答案：B，$x=0$ 是可去间断点。

解题思路

判断间断点类型，应分别查看函数在该点有没有定义，以及趋近该点时的极限。这里分母为 $x$，所以原函数在零点没有定义；关键是判断分子积分趋于零的速度。由于 $f$ 连续，短区间上 $f(t)$ 接近 $f(0)$，积分除以区间的有向长度 $x$ 后，应趋于 $f(0)$。可以用积分基本定理，也可以直接把积分中的常数部分分离，后者更容易同时处理左右极限。

详细步骤

对 $x\ne0$，写成

$$g(x)-f(0)=\frac1x\int_0^x[f(t)-f(0)]\,\mathrm dt.$$

当 $x<0$ 时，将积分反向，再取绝对值，与 $x>0$ 时一样，都有

$$|g(x)-f(0)|\le\max_{|t|\le|x|}|f(t)-f(0)|.$$

$f$ 在零点连续，右边随 $x\to0$ 趋于零，因此

$$\lim_{x\to0^-}g(x)=\lim_{x\to0^+}g(x)=f(0).$$

两侧极限相同且有限，而原式在零点无定义，这正是可去间断点的情形。若补充定义 $g(0)=f(0)$，函数就在零点连续，故选 B。此结论并不要求 $f(0)$ 非零，即使 $f(0)=0$ 也成立。

连续性还保证上述积分在零点附近存在，因此这里确实是在原函数定义域内趋近零点，不涉及分子本身无定义的情况。

易错点

分母为零不能直接判为无穷间断点，还必须计算极限。左右积分的方向不同，但积分与 $x$ 同时变号，不能把左极限误算成 $-f(0)$。

答案：C，曲边三角形 $ACD$ 的面积。

解题思路

被积函数含有 $x$ 与 $f'(x)$ 的乘积，且题目要求用图形面积解释，适合先作分部积分：把导数转移到简单因子 $x$ 上，就能得到 $f(x)$ 的积分，从而和曲线下方面积联系。图中 $A=(a,f(a))$、$C=(0,f(a))$，线段 $AC$ 是水平顶边；曲线从 $D$ 连到 $A$。需要找的是顶边与曲线之间的面积，而不是斜线 $AD$ 与曲线之间的面积。

详细步骤

$f$ 在 $[0,a]$ 上有连续导数，满足分部积分的条件。令 $u=x$、$\mathrm dv=f'(x)\mathrm dx$，则 $\mathrm du=\mathrm dx$、$v=f(x)$，于是

$$\int_0^a xf'(x)\,\mathrm dx =[xf(x)]_0^a-\int_0^a f(x)\,\mathrm dx =af(a)-\int_0^a f(x)\,\mathrm dx.$$

其中 $af(a)$ 是矩形 $OBAC$ 的面积；图中的曲线位于水平线 $y=f(a)$ 下方，$\int_0^a f(x)\mathrm dx$ 是曲线、两端竖线和 $x$ 轴围成的曲边梯形 $ABOD$ 的面积。二者相减，剩下由水平线 $AC$、竖直线 $CD$ 和曲线 $DA$ 围成的部分，也可直接写成

$$\int_0^a[f(a)-f(x)]\,\mathrm dx.$$

这就是曲边三角形 $ACD$，所以选 C。若要计算普通三角形 $ACD$，还需要用直线段 $AD$ 代替曲线，这与本积分不同。

从竖直切片看，每条切片的上端高度为 $f(a)$，下端高度为 $f(x)$，长度就是二者之差；把切片长度在横向累加，也直接得到这一面积。

易错点

分部积分的边界项是 $af(a)$，下限项为 $0\cdot f(0)=0$，并不是 $f(0)$。图中虽画有斜线 $AD$，本题对应的边界仍是曲线 $y=f(x)$。

答案：C，$f_x(0,0)$ 不存在，$f_y(0,0)$ 存在且等于 $0$。

解题思路

在原点，根号内为零，直接套用复合函数求导公式会出现零分母，因而必须回到偏导数的定义。求 $x$ 偏导时固定 $y=0$，求 $y$ 偏导时固定 $x=0$。两条坐标轴上的表达式不同：$\sqrt{x^2}=|x|$ 在零点有尖角，而 $\sqrt{y^4}=y^2$ 是光滑函数，所以两个偏导数的存在性不能根据外观对称地判断。

详细步骤

原点处 $f(0,0)=e^0=1$。沿 $x$ 轴有

$$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{e^{|h|}-1}{h},$$

前提是该双侧极限存在。由 $\lim_{s\to0}(e^s-1)/s=1$，当 $h\to0^+$ 时差商趋于 $1$；当 $h\to0^-$ 时，令 $s=-h>0$，则

$$\frac{e^{|h|}-1}{h}=-\frac{e^s-1}{s}\longrightarrow-1.$$

左右极限不同，因此 $f_x(0,0)$ 不存在。沿 $y$ 轴，因为 $\sqrt{k^4}=k^2$，故

$$f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{e^{k^2}-1}{k} =\lim_{k\to0}k\frac{e^{k^2}-1}{k^2}=0.$$

最后一步利用第二个因子趋于 $1$，第一个因子趋于 $0$，双侧极限相同。于是 $y$ 偏导存在而 $x$ 偏导不存在，选 C。这里仅判断偏导数，不需要沿其他方向考察函数的可微性。

两个方向的根本差异是增量的阶数：沿横轴，函数增量主要是 $|h|$，会留下不同符号的一阶差商；沿纵轴，函数增量主要是 $k^2$，除以 $k$ 后仍趋于零。

易错点

$\sqrt{x^2}$ 应写成 $|x|$，不能直接写成 $x$。偏导数是固定另一个变量后的双侧差商极限，只算右侧差商不足以证明存在。

答案：A，$\dfrac{\partial F}{\partial u}=vf(u^2)$。

解题思路

图中区域由两个同心圆和两条射线围成，被积函数也只含 $x^2+y^2$，因此极坐标能够同时简化区域与被积函数。要先分清参数含义：$u$ 是外圆半径，$v$ 是射线与 $x$ 轴的夹角，并不是另一个径向上限。求对 $u$ 的偏导时固定 $v$，再使用连续函数的变上限积分求导公式。

详细步骤

按图示，外圆位于单位圆外，因此 $u>1$，阴影区域的极坐标范围为

$$1\le r\le u,\qquad0\le\theta\le v,$$

其中 $v$ 为图中第一象限内的角度。令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，则 $x^2+y^2=r^2$，面积元为 $\mathrm dx\,\mathrm dy=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$。由于区域内 $r\ge1$，分母不为零，得到

$$F(u,v)=\int_0^v\int_1^u\frac{f(r^2)}r\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta =v\int_1^u f(r^2)\,\mathrm dr.$$

$f$ 连续，所以 $r\mapsto f(r^2)$ 连续。固定 $v$，由微积分基本定理，变上限积分的导数等于上限处的被积函数，故

$$F_u(u,v)=v f(u^2).$$

因此选 A。此处没有再作 $r^2$ 的换元，上限仍是 $u$，所以不出现额外的 $2u$ 因子。

几何上也能理解这一结果：外半径增加一个很小的量时，新增的是窄扇环，其面积近似为 $vu$ 乘以半径增量；被积函数近似为 $f(u^2)/u$，相乘后半径因子恰好抵消。

易错点

极坐标面积元中的 $r$ 必须写出，它恰好抵消原分母。不要把外圆方程 $x^2+y^2=u^2$ 误读成半径为 $\sqrt u$，否则会把 $f(u^2)$ 写错。

答案：C，$E-A$ 与 $E+A$ 都可逆。

解题思路

条件 $A^3=0$ 表示 $A$ 是幂零矩阵。判断 $E\pm A$ 可逆，最直接的方法是构造逆矩阵：标量几何级数中的恒等式也适用于同一个矩阵的多项式，因为 $A$ 与 $A^2$ 可以交换。三次幂已经为零，所以只需要保留到二次项，乘积中的其余部分全部消失，不必计算高阶行列式。

详细步骤

先考虑 $E-A$。将候选逆矩阵取为 $E+A+A^2$，展开乘积：

$$\begin{aligned} (E-A)(E+A+A^2) &=E+A+A^2-A-A^2-A^3\\ &=E-A^3=E. \end{aligned}$$

反向相乘也得到 $E$，故

$$(E-A)^{-1}=E+A+A^2.$$

再考虑 $E+A$，取交替符号的多项式 $E-A+A^2$，同样计算

$$\begin{aligned} (E+A)(E-A+A^2) &=E-A+A^2+A-A^2+A^3\\ &=E+A^3=E. \end{aligned}$$

反向乘积同样为单位矩阵，因此

$$(E+A)^{-1}=E-A+A^2.$$

两个矩阵都具有明确的逆矩阵，故选 C。题设中 $A$ 非零并不妨碍这一构造；虽然 $A$ 本身因幂零而不可逆，给它加减单位矩阵后却能够可逆。

这里的消项来自矩阵乘法的分配律和 $AA^2=A^2A=A^3$，并没有对任意两个矩阵使用交换律。有限多项式已经给出精确逆矩阵，也无需讨论无穷级数是否收敛。

易错点

不能从 $A^3=0$ 推出 $A=0$；非零矩阵也可能幂零。$E+A$ 的逆矩阵中二次项仍是 $+A^2$，若写成 $-A^2$，乘法后无法消项。

答案：D，$\begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}$。

解题思路

实矩阵合同指存在可逆实矩阵 $P$，使另一矩阵等于 $P^{\mathsf T}AP$。本题的矩阵均为实对称矩阵，可以用二次型的正负惯性指数判断。先求出 $A$ 有多少个正、负特征值，再排除正定或负定选项。找到候选矩阵后，还可以直接写出一个合同变换，这样既验证结果，又避免把合同与相似混为一谈。

详细步骤

$A$ 的特征多项式为

$$|\lambda E-A|=(\lambda-1)^2-4=(\lambda-3)(\lambda+1).$$

因此两个特征值是 $3$ 和 $-1$，相应二次型的正、负惯性指数各为 $1$。选项 A 的特征值为 $-1,-3$，是负定矩阵；选项 B 和 C 的特征值都是 $1,3$，均为正定矩阵。这三项的惯性指数与 $A$ 不同，依据实对称矩阵的惯性定理，不能与 $A$ 合同。

选项 D 可以直接验证。令

$$P=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad |P|=-1\ne0.$$

它对应将二次型中的第二个变量变号。逐次相乘得

$$AP=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-1\end{pmatrix},\qquad P^{\mathsf T}AP=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}.$$

该矩阵正是 D，且 $P$ 可逆，因此选 D。直接构造已经满足合同的定义，不需要再依赖特征值相同来论证。

易错点

合同要求 $P^{\mathsf T}AP$，相似要求 $P^{-1}AP$，一般不是同一变换。判断实对称矩阵合同看的是正负惯性指数，不要求特征值的具体数值相同。

答案：A，$F_Z(x)=[F(x)]^2$。

解题思路

求最大值的分布函数，应从分布函数定义 $F_Z(x)=P(Z\le x)$ 出发，把关于最大值的不等式改写成关于两个原变量的事件。最大值不超过 $x$，等价于两个变量都不超过 $x$，所以出现交事件。随后分别用独立性把交事件的概率拆成乘积，再用同分布条件把两个因子写成相同的分布函数。

详细步骤

对任意实数 $x$，事件之间有严格的等价关系

$$\{\max(X,Y)\le x\}=\{X\le x\}\cap\{Y\le x\}.$$

一个方向是：最大值不超过 $x$ 时，$X$ 和 $Y$ 各自都不超过 $x$。另一个方向是：二者均不超过 $x$，其最大值当然也不超过 $x$。因此

$$\begin{aligned} F_Z(x) &=P(X\le x,Y\le x)\\ &=P(X\le x)P(Y\le x)\\ &=F(x)F(x)=[F(x)]^2. \end{aligned}$$

第二步使用独立性，第三步使用同分布，两个条件分别承担不同作用。这里不需要假设变量连续，也不需要概率密度存在；离散变量在跳跃点处仍可以用 $\le$ 写出同一公式，故选 A。作为检查，$F_Z$ 非减，且两端极限为 $0$ 和 $1$，符合分布函数的基本性质。

易错点

最大值对应“同时不超过”，不要写成“至少一个不超过”。$1-[1-F(x)]^2$ 是独立同分布变量的最小值的分布函数，本题不能使用该式。

答案：D，$P\{Y=2X+1\}=1$。

解题思路

相关系数为 $1$ 表示两个非退化随机变量之间存在正向的完全线性关系。为了明确斜率和截距，并说明为什么等式以概率 $1$ 成立，可以构造 $Y-2X$，计算它的方差：当随机变量的方差为零时，它几乎必然等于自己的期望。斜率 $2$ 来自标准差之比，而截距来自两个均值，不宜只凭正态分布的外形猜测。

详细步骤

由 $X\sim N(0,1)$、$Y\sim N(1,4)$，得到

$$EX=0,\quad EY=1,\quad DX=1,\quad DY=4.$$

这里正态分布的第二个参数是方差，故标准差分别为 $1$ 和 $2$。根据相关系数定义，

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}=1\cdot1\cdot2=2.$$

于是

$$\begin{aligned} D(Y-2X)&=DY+4DX-4\operatorname{Cov}(X,Y)\\ &=4+4-8=0, \end{aligned}$$

同时 $E(Y-2X)=1$。方差为零意味着 $E[(Y-2X-1)^2]=0$；因为平方非负，它只能以概率 $1$ 等于零，所以 $Y-2X=1$ 几乎必然成立。最终有 $P\{Y=2X+1\}=1$，选 D。这个推理仅依赖给定均值、方差及相关系数，无需额外假设 $X,Y$ 联合正态。

“几乎必然”表示等式成立的事件概率为一，允许在概率为零的样本点上例外。题目的选项采用概率等于一的写法，正好表达了这个结论，而不是要求逐个样本点都满足等式。

易错点

$N(1,4)$ 的标准差为 $2$，不是 $4$。相关系数为 $+1$ 决定正斜率，关系中的常数项应根据期望确定为 $+1$。

答案：$c=1$。

解题思路

分段函数在整条实轴上连续，首先必须在每个实数处有定义，因此要先检查参数是否使零点落入 $2/|x|$ 这一分支。排除不合法参数后，两段各自在自己的内部连续，剩下只需要检查拼接点 $x=c$ 和 $x=-c$。函数的两个表达式都只依赖 $x^2$ 或 $|x|$，具有偶对称性，因此两个拼接点给出的方程相同。

详细步骤

若 $c<0$，所有实数都满足 $|x|>c$，零点将使用 $2/|x|$，函数在零点没有定义，不能在实轴上连续。若 $c=0$，虽有 $f(0)=1$，但当 $x\to0$ 且 $x\ne0$ 时，$f(x)=2/|x|\to+\infty$，仍不连续。因此必有 $c>0$。

在 $x=c$ 处，函数值及来自内段的极限为 $c^2+1$，来自外段的极限为 $2/c$。连续条件为

$$c^2+1=\frac2c.$$

因 $c>0$，两边乘以 $c$，得到

$$c^3+c-2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (c-1)(c^2+c+2)=0.$$

其中 $c^2+c+2=(c+\tfrac12)^2+\tfrac74>0$，所以唯一实根为 $c=1$。在 $x=-1$ 处，两侧同样都趋于 $2$；零点附近使用多项式，各段内部也连续，所以该值确实使函数处处连续。

在拼接点，题设的等号属于内段，因此函数值也必须与外段的极限相等，这一步是验证连续性而非仅验证左右极限相等。

易错点

先确立 $c>0$ 才能使用拼接方程 $2/c$，否则可能漏查零点。求得代数方程的根后，还应检查两个拼接点，而不是只说明 $x=c$ 处连续。

答案：$\dfrac12\ln3$。

解题思路

题目给出的函数关系中，$f$ 的自变量是 $x+1/x$，而积分中的自变量只是记号，不能把两个 $x$ 直接等同。先用另一字母 $s\ne0$ 表示关系式中的变量，并令 $t=s+1/s$。观察分子分母，把它们同时除以 $s^2$，即可把右边改写成只含 $t$ 的式子，然后在积分区间上使用得到的 $f(t)$。

详细步骤

由题设，对 $s\ne0$ 有

$$f\left(s+\frac1s\right) =\frac{s+s^3}{1+s^4} =\frac{s+s^{-1}}{s^2+s^{-2}}.$$

令 $t=s+s^{-1}$，利用

$$t^2=s^2+2+s^{-2},$$

得到 $f(t)=t/(t^2-2)$。当 $s>0$ 时，$s+1/s$ 的取值范围为 $[2,+\infty)$：对任意 $t\ge2$，方程 $s^2-ts+1=0$ 都有正实根。因此积分区间 $[2,2\sqrt2]$ 上的每个自变量都能由原关系式得到，使用这个表达式合法，无需确定 $f$ 在 $(-2,2)$ 内的取值。

同一个 $t>2$ 会对应互为倒数的两个正数 $s$，但化简后的右边只含 $t$，所以两个取法得到相同函数值。积分时也不必反解 $s$：已经明确知道被积函数，就直接以 $t$ 为积分变量即可。分子正好是分母导数的一半，因而原函数是对数。

区间内 $t^2-2>0$，故

$$\begin{aligned} \int_2^{2\sqrt2}f(t)\,\mathrm dt &=\int_2^{2\sqrt2}\frac{t}{t^2-2}\,\mathrm dt\\ &=\left[\frac12\ln(t^2-2)\right]_2^{2\sqrt2}\\ &=\frac12(\ln6-\ln2)=\frac12\ln3. \end{aligned}$$

易错点

不能把 $f(x+1/x)$ 当作 $f(x)$ 直接积分。原关系只确定 $|t|\ge2$ 上的函数值，但本题积分恰好处于这个范围，不能无理由宣称它确定了所有实数上的 $f$。

答案：$\dfrac\pi4$。

解题思路

积分区域是以原点为中心的单位圆盘，适合先利用对称性消去奇函数部分，再对剩余的 $x^2$ 使用极坐标。这里 $y$ 关于 $y\mapsto-y$ 是奇函数，而圆盘关于 $x$ 轴对称，所以该项的积分为零。$x^2$ 虽然是偶函数，却不会因对称性消失；把圆盘改写成简单的径向和角度范围后，可以分离为两个一维积分。

详细步骤

积分的线性性给出

$$I=\iint_D x^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy-\iint_D y\,\mathrm dx\,\mathrm dy.$$

圆盘中每个点 $(x,y)$ 都与 $(x,-y)$ 配对，二者的 $y$ 值相反而面积元相同，所以第二个积分为零。剩下的积分令

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\quad0\le\theta\le2\pi.$$

由面积元 $\mathrm dx\,\mathrm dy=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$，得到

$$I=\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2\cos^2\theta\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta =\left(\int_0^1r^3\,\mathrm dr\right) \left(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,\mathrm d\theta\right).$$

径向积分为 $1/4$；利用 $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$，角度积分为 $\pi$，所以 $I=\pi/4$。这也表明结果为正，符合 $x^2$ 非负而奇函数部分相互抵消的判断。

将两个积分相乘是因为变换后被积函数分离为只含半径与只含角度的因子，且两者的取值范围彼此独立。原函数在圆盘上连续有界，定积分存在，分离和对称性的运用均有依据。

易错点

对称性仅消去关于对应坐标为奇函数的项，不能把 $x^2$ 也消去。极坐标下有一个额外的面积因子 $r$，所以径向幂次应为 $r^3$。

答案：$y=\dfrac1x$，含初值点的最大解区间为 $(0,+\infty)$。

解题思路

方程左端恰好是乘积 $xy$ 的导数，因为 $(xy)'=xy'+y$。识别这一点，可以直接积分，不必先分离变量，也避免除以 $y$ 时需要另行检查零解。求出常数后还要考虑定义域：初值给在 $x=1$，所以应选择含有该点的连通区间；所得表达式在零点奇异，不能将它作为整个实轴上的解。

详细步骤

在一个解的区间上，原微分方程等价于

$$(xy)'=0.$$

导数恒为零，说明 $xy=C$，其中 $C$ 为常数。由初值 $y(1)=1$，得到 $C=1\cdot1=1$，故对 $x\ne0$ 有

$$y(x)=\frac1x.$$

代回检查：$y'(x)=-1/x^2$，因此 $xy'+y=-1/x+1/x=0$，并且 $y(1)=1$，满足方程和初值。由于该函数在 $x=0$ 无定义，且当 $x\to0^+$ 时趋于无穷，不能以有限函数值延拓经过零点。含有 $1$ 的最大连通解区间便是 $(0,+\infty)$。

若在不含零点的负半轴上单独考虑方程，也会有 $y=C/x$ 的解族，但那些区间不含初值点 $1$，不能把负半轴上的任意解与本初值解混在一起。原方程若在零点有可微解，则代入零点要求 $y(0)=0$，这也与本初值解的发散行为不相容。

易错点

写出 $1/x$ 时必须排除 $x=0$。初值问题的解定义在含初值点的区间上，不能只写“$x\ne0$”而忽略正、负半轴彼此分离。

答案：$3$。

解题思路

行列式等于全部特征值的乘积，但不应额外假定有重特征值的矩阵一定能够对角化。本题可以先把 $4A^{-1}-E$ 提成 $A^{-1}(4E-A)$，分别求两个行列式。已知特征值均非零，保证 $A^{-1}$ 存在；$4E-A$ 的行列式则由 $A$ 的特征多项式在 $4$ 处的取值确定，整个过程不需要特征向量。

详细步骤

$A$ 的三个特征值为 $1,2,2$，其中重复的 $2$ 应按代数重数计算两次。于是

$$|A|=1\cdot2\cdot2=4\ne0,$$

所以 $A$ 可逆。由矩阵恒等式

$$4A^{-1}-E=A^{-1}(4E-A)$$

及行列式乘法公式，得到

$$|4A^{-1}-E|=|A^{-1}|\,|4E-A|=\frac{|4E-A|}{|A|}.$$

特征多项式为 $|\lambda E-A|=(\lambda-1)(\lambda-2)^2$，因而

$$|4E-A|=(4-1)(4-2)^2=12.$$

最终所求为 $12/4=3$。也可以理解为 $A^{-1}$ 的特征值依次为 $1,1/2,1/2$，所以 $4A^{-1}-E$ 的特征值为 $3,1,1$，乘积仍是 $3$。这一特征值变换规律对不可对角化矩阵也成立。

重特征值只影响它在特征多项式中重复出现的次数，题目未给特征空间的维数，也就不能由重根自行推断可对角化。这里利用行列式与特征多项式的关系，正好绕开了这种不必要的附加假设。

易错点

矩阵可逆应先由非零特征值或非零行列式确认。行列式不满足一般的加减法，不能把 $|4A^{-1}-E|$ 拆成 $|4A^{-1}|-|E|$。

答案：$\dfrac1{2e}$。

解题思路

事件中的 $EX^2$ 表示随机变量平方的期望 $E(X^2)$，它是确定的数。先用泊松分布的均值与方差求二阶矩，再把事件写成某个具体点的事件，最后套用泊松概率公式。要区分 $E(X^2)$ 与 $(EX)^2$，两者相差方差，在这里恰好相差 $1$。

详细步骤

参数为 $\lambda$ 的泊松随机变量满足

$$EX=\lambda,\qquad DX=\lambda,\qquad P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots.$$

本题 $\lambda=1$，所以 $EX=1$、$DX=1$。由方差定义 $DX=E(X^2)-(EX)^2$，得到

$$EX^2=E(X^2)=DX+(EX)^2=1+1=2.$$

因此题目中的事件为 $\{X=2\}$，它并不是 $\{X=1\}$。代入概率质量函数：

$$P\{X=EX^2\}=P(X=2)=e^{-1}\frac{1^2}{2!}=\frac1{2e}.$$

这里 $2$ 是泊松变量可能取到的非负整数，故使用上述单点概率公式合法。也可从 $E[X(X-1)]=\lambda^2$ 检查二阶矩：$E(X^2)=E[X(X-1)]+EX=1+1=2$，与前面的结果一致。

期望符号表示按整个分布求平均，所以计算完二阶矩后，事件右侧已经是一个固定常数，并不再随随机结果改变。由于泊松变量为离散型，在单个取值处可以有正概率；这里无需把点事件转成区间积分，只需读取对应的概率质量。

易错点

$EX^2$ 的平方作用于 $X$，不是作用于期望符号；$(EX)^2$ 应明确写出括号。泊松概率公式的分母是 $2!=2$，不能遗漏阶乘。

答案：$-\dfrac16$。

解题思路

当 $x\to0$ 时，$\sin x/x\to1$，对数趋于零，因此原式属于 $0/0$ 型。分母是 $x^2$，提示要将 $\sin x/x$ 展开到二次项；只用 $\sin x\sim x$ 只能得到比值趋于 $1$，无法确定对数的二阶系数。再使用 $\ln(1+h)=h+o(h)$，就能保留决定结果的最低阶项。

详细步骤

首先检查实对数的定义域。对充分小的非零 $x$，$\sin x$ 与 $x$ 同号，故 $\sin x/x>0$，原式在零点两侧均有定义，可以求双侧极限。由正弦函数在零点的泰勒展开，

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

在 $x\ne0$ 时除以 $x$，得

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2).$$

令 $h(x)=\sin x/x-1$，则 $h(x)\to0$，且 $h(x)/x^2\to-1/6$。由对数在零附近的基本极限 $\ln(1+h)/h\to1$，得到

$$\frac1{x^2}\ln\frac{\sin x}{x} =\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)}\frac{h(x)}{x^2} \longrightarrow1\cdot\left(-\frac16\right).$$

对充分小的非零 $x$，有 $\sin x/x<1$，因此对数为负，也与结果的负号一致。最终极限为 $-1/6$。

正弦函数具有所需阶数的连续导数，所以上述泰勒展开及其余项适用。三次余项除以 $x$ 后变成相对于 $x^2$ 的高阶无穷小，进一步除以 $x^2$ 时趋于零，因而不会改变极限。取对数后保留的是同一个二次项系数，这解释了为什么只须展开到这里。

易错点

不能只把 $\sin x$ 换成 $x$，这样会抹掉所需的三次项。实对数要求真数为正，应说明零点附近的非零 $x$ 满足这一条件。